知识点236钟面角解答.docx
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知识点236钟面角解答
一．解答题（共27小题）
1．（2005•江西）某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时，欲使长方形的宽为20厘米，时钟的中心在长方形对角线的交点上，数字2在长方形的顶点上，数字3，6，9，12标在所在边的中点上，如图所示．
（1）当时针指向数字2时，时针与分针的夹角是多少度？
（2）请你在长方框上点出数字1的位置，并说明确定该位置的方法；
（3）请你在长方框上点出钟面上其余数字的位置，并写出相应的数字（说明：
要画出必要的、反映解题思路的辅助线）；
（4）问长方形的长应为多少？
考点：
钟面角；特殊角的三角函数值。
专题：
应用题。
分析：
画出图形，根据钟表表盘的特征解答．
解答：
解：
（1）时针与分针的夹角是2×30°=60°；
（2）如图，设长方形对角线的交点为O，数字12、2在长方形中所对应的点分别为A、B，连接OA、OB．
方法一：
作∠AOB的平分线，交AB于点C，则点C处为数字1的位置．
方法二：
设数字1标在AB上的点C处，连接OC，则∠AOC=30°，AC=OA•tan30°=
，由此可确定数字1的位置；
（3）如图所示：
（4）∵OA=10，∠AOB=60°，∠OAB=90°，tan60°=
，
∴AB=OA•tan60°=10
，
∴长方形的长为
厘米．
点评：
本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：
分针每转动1°时针转动（
）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
2．魏老师到市场去买菜，发现若把10千克的菜放到秤上，指针盘上的指针转了180°．如图，第二天魏老师就给同学们出了两个问题：
（1）如果把0.5千克的菜放在秤上，指针转过多少角度？
（2）如果指针转了540，这些菜有多少千克？
考点：
钟面角。
专题：
应用题。
分析：
（1）算出秤上放1千克菜转过的角度为多少，乘以0.5即可；
（2）让540除以1千克菜转过的角度即可．
解答：
解：
（1）
，0.5×18°=9°，
0.5千克的菜放在秤上，指针转过9°；
（2）540÷18=30（（千克），
答：
共有3千克菜．
点评：
解决本题的关键是得到秤上放1千克菜转过的角度为多少．
3．分别确定四个城市相应钟表上时针与分钟所成的角的度数．
考点：
钟面角。
专题：
计算题。
分析：
此类钟表问题，先理清时针每小时的转动角度，然后再进行求解．
解答：
解：
时针每小时转动360÷12=30°；
巴黎时间：
时针与分钟所成的角的度数为30°；
伦敦时间：
时针与分钟所成的角的度数为0°；
北京时间：
时针与分钟所成的角的度数为360°﹣（8×30°）=120°；
东京时间：
时针与分钟所成的角的度数为360°﹣（9×30°）=90°．
点评：
此题考查的是钟表类问题，掌握时针每小时转动360÷12=30°是关键所在．
4．某校七年级学生李刚在周六下午六点多钟外出买东西时，看手表上的时针和分针的夹角是110°，下午近七点回家时，发现时针和分针的夹角又是110°，你能知道李刚同学外出用了多长时间吗？
你是怎么知道的呢？
考点：
钟面角。
分析：
根据题意，设李刚外出到回家时针走了x°，则分钟走了（2×110°+x°），可得到时针的度数，又因为时针每小时走30°，故李刚外出用的时间可求．
解答：
解：
设时针从李刚外出到回家走了x°，则分针走了（2×110°+x°），
由题意，得
，
解得x=20°，
因时针每小时走30°，
则
小时，即李刚外出用了40分钟时间．
点评：
本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：
分针每转动1°时针转动（
）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
5．
（1）若时针由2点30分走到2点55分，问分针，时针各转过多大的角度？
（2）钟表上2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数是多少？
考点：
钟面角。
分析：
（1）若时针由2点30分走到2点55分，共经过25分钟，时针一小时即60分钟转30°，一分钟转动0.5°，分针一小时转360°，一分钟转6°，据此作答；
（2）钟表上2时，时针指到2上，再过15分钟，转过的角度是15×0.5=7.5°，2时15分钟时，分针指到3上，与2构成的角度是30°，则时针与分针所成的锐角的度数是30°﹣7.5°=22.5°．
解答：
解：
（1）分针转过的角度：
（360°÷60）×（55﹣30）=150°，
时针转过的角度：
（360°÷60÷12）×（55﹣30）=12.5°，
∴分针，时针各转过150°、12.5°；
（2）（360°÷12）﹣15×（360°÷60÷12）=30°﹣7.5°=22.5°，
∴时针与分针所成的锐角的度数是22.5°．
点评：
时针一小时即60分钟转30°，一分钟转动0.5°，分针一小时转360°，一分钟转6°．记住这一结论，并结合钟表的图形解决这类问题就不会出错．
6．在4点与5点之间，时针与分针在何时
（1）成120°（图）；
（2）成90°（图）．
考点：
钟面角。
专题：
计算题；分类讨论。
分析：
（1）在4点整时，时针与分针恰成120°．由于所问的时间是介于4点到5点之间，因此，这个时间不能计入．从4点开始，分针与时针之间的角度先逐步减少，直至两针重合（夹角为0°）．之后，分针“超过”时针，两针之间的夹角又逐渐增大（此时，分针在时针的前面）．直到两针夹角又一次成为120°，这个时间正是我们所要求的．
（2）由于在整4点时，时针与分针夹角为120°，因此，在4点与5点之间，时针与分针成90°有两种情况：
（i）时针在分针之前；（ii）时针在分针之后．
解答：
解：
（1）设时针顺时针转过a角后，时针与分针（分针在时钟前）成120°，则
12a=120+a+120，
a=21
．
由于时针每转过30°（如从指向数字4转到指向数字5）相当于1小时（60分钟），
21
×2=43
分钟．
故在4点43
分时，时针与分针成120°；
（2）如图（a），（b）所示．
由于在整4点时，时针与分针夹角为120°，因此，在4点与5点之间，时针与分针成90°有两种情况：
（i）时针在分针之前（如图（a））．设时针转了a度，分针转了12a度，有
120°+α=90°+12α，
所以11α=30°，
a=
．
用时
×2=5
分钟．
（ii）时针在分针之后（如图（b）），此时，有关系
12α﹣α=120°+90°，
11α=210°，
a=
．
用时
×2=38
分钟．
故在4点与5点之间，在4点5
分与4点38
分时，时针与分针成90°．
点评：
本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：
分针每转动1°时针转动（
）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．转化为方程解决．说由于时针与分针所成角依时针与分针的“前”“后”次序有两种情况，因此，求两针夹角情况会出现一解或两解．
7．如图，在表盘上请你画出时针与分针，使时针与分针恰好互相垂直，且此时恰好为整点．
（1）此时表示的时间是 3或9 点．
（2）一天24小时，时针与分针互相垂直 44 次．
考点：
钟面角；垂线。
专题：
计算题。
分析：
可画出草图，利用钟表表盘的特征解答．
解答：
解：
（1）∵时针与分针恰好互相垂直，且此时恰好为整点．
∴此时表示的时间是3或9点；
（2）1﹣3时之间，时针在90角内移动，分针超过时针构成垂直，即时针角度加90度和270度均为垂直状态，且在360度一圈内，故每圈垂直两次；3﹣4时之间，从垂直开始，分针超过时针，时针加90度垂直1次，加270即超过了360度盘面，故该圈垂直1次；5﹣9时之间，时针超过了120度，分针先在后面和时针构成垂直，即分针角度加90度垂直一次，后分针超过时针，即时针角度加90度垂直1次，故每圈垂直2次；9﹣10时之间，从垂直开始，分针在后面追赶时针构成垂直1次，时针角度加90度超过360度盘面，故垂直1次；10﹣12时，分针在后面追赶时针时构成垂直2次．
可见12小时构成垂直22次，故一昼夜构成垂直44次．
点评：
本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：
分针每转动1°时针转动（
）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
8．若时钟由2点30分走到2点50分，问时针、分针各转过多大的角度？
考点：
钟面角。
专题：
计算题。
分析：
分析解这个问题的难处在于时针转过多大的角度，这就要弄清楚时针与分针转动速度的关系．每一小时，分针转动360°，而时针转动30°，以此可求出时针和分针分别转动的度数．
解答：
解：
在2点30时，时钟的分针指向数字6；在2点50时，时钟的分针指向数字10，因此，分针共转过“四格”，每转“一格”为30°，故分针共转过了4×30°=120°．
由于时针转动的速度是分针转动速度的
，因此，时针转动了120°×
=10°．
点评：
本题考查钟表分针所转过的角度计算．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：
分针每转动1°时针转动（
）°．
9．在晚6点到7点之间，时针与分针何时成90°角？
考点：
钟面角。
分析：
本题要分两种情况进行讨论：
（1）分针在时针后成90度角；
（2）分针在时针前成90度角．再可画出草图，利用钟表表盘的特征解答．
解答：
解：
设在晚6点x分钟时，
（1）分针在时针后成90度角．
6x﹣0.5x=180﹣90，
解得x=16
；
（2）分针在时针前成90度角．
6x﹣0.5x=180+90，
解得x=49
．
答：
在晚6点16
分与49
分时时针与分针成90度角．
点评：
此类问题应结合方程思想求解，解题的关键是找准相等关系．
10．在汶川大地震后，许许多多志愿者到灾区投入了抗震救灾行列中．都江堰市志愿者小方八点多准备前去为灾民服务，临出门他一看钟，时针与分针正好是重合的，下午两点多他拖着疲惫的身体回到家中，一进门看见钟的时针与分针方向相反，正好成一条直线，问小方是几点钟去为灾民服务？
几点钟回到家？
共用了多少时间？
考点：
钟面角；一元一次方程的应用。
专题：
应用题。
分析：
在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：
分针每转动1°时针转动（
）°依据这一关系列出方程，可以求出．
解答：
解：
设8点x分时针与分针重合，
则：
x﹣
=40，
解得：
x=43．
即8点43分时出门．
设2点y分时，时针与分针方向相反．
则：
y﹣
=10+30，
解得：
y=43．
即2点43分时回家
所以14点43分﹣8点43分=6点．
答：
共用了6个小时．
点评：
本题考查钟表分针所转过的角度计算．解题的关键是明确时针与分针转动的度数关系．
11．在下列说法中，正确的个数是 3 个．
①钟表上九点一刻时，时针和分针形成的角是平角；
②钟表上六点整时，时针和分针形成的角是平角；
③钟表上十二点整时，时针和分针形成的角是周角；
④钟表上差﹣刻六点时，时针和分针形成的角是直角；
⑤钟表上九点整时，时针和分针形成的角是直角
考点：
钟面角。
分析：
画出图形，利用时钟特征解答．
解答：
解：
①钟表上九点一刻时，时针和分针形成的角是180°﹣30°÷4，不是平角，错误；
②钟表上六点整时，时针指向6，分针指向12，形成的角是平角，正确；
③钟表上十二点整时，时针和分针都指向12，形成的角是周角，正确；
④钟表上差﹣刻六点时，时针和分针形成的角是90+30°÷4，不是直角，错误；
⑤钟表上九点整时，时针指向9，分针指向12，形成的角是直角，正确．
∴正确的个数是3个．
点评：
本题考查钟表分针所转过的角度计算．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：
分针每转动1°时针转动（
）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
12．
（1）求上午10时30分，钟面上时针和分针的夹角；
（2）在上午10时30分到11时30分之间，时针和分针何时成直角？
考点：
钟面角。
专题：
计算题。
分析：
画出图形，利用钟表表盘的特征解答．
解答：
解：
（1）如图，钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，
上午10时30分，钟面上时针和分针的夹角是4.5个等份，因而时针和分针的夹角是4.5×30=135°；
（2）时针一小时即60分钟转30度，一分钟转动0.5°，分针一小时转360度，一分钟转6度，
可以设从上午10时30分再经过x分钟，时针和分针成直角，
列方程得到：
135﹣6x+0.5x=90，
解得x=8
，即10时38
分时，时针和分针成直角；
11时时针与分针的夹角是30度，设再过y分钟，时针与分针的夹角是直角，
根据题意得到：
30+6y﹣0.5y=90，解得y=10
，
则当在11时10
分时，时针和分针成直角．
点评：
本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：
分针每转动1°时针转动（
）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．转化为方程解决．
13．时钟里，时针从5点整的位置起，顺时针方向转多少度时，分钟与时针第一次重合？
考点：
钟面角。
专题：
数形结合。
分析：
在开始时，从顺时针方向看，时针在分针的“前方”，它们相差5×30°=150°．由于分针转动速度远远大于时针转动速度（是它的12倍），因此，总有一刻，分针“追上”时针（即两者重合）．具体追上的时刻决定于开始时，分针与时针的角度差及它们的速度比．
解答：
解：
在开始时，分针“落后”于时针150°．设分针与时针第一次重合时，时针转动了α角，那么，分针转动了（150°+α）．因为分钟转速是时针的12倍，
所以150°+α=12α，
a=
=13
．
即时钟里，时针从5点整的位置起，顺时针方向转13
度时，分钟与时针第一次重合．
点评：
本题考查钟表分针所转过的角度计算．说明钟表里的分钟与时针的转动问题本质上与行程问题中的两人追及问题非常相似．行程问题中的距离相当于这里的角度；行程问题中的速度相当于这里时（分）针的转动速度．
14．钟面上从2点到4点有几次时针与分针的夹角为60°？
分别是几点几分？
考点：
钟面角。
专题：
计算题。
分析：
根据时针、分针转动的速度可知分针比时针每分钟转动的快5.5°，时针与分针的夹角为60°，依此列方程求解．
解答：
解：
第一次正好为两点整；
第二次设为两点x分时，时针与分针的夹角为60°，则5.5x=60×2，解之得x=21
（分）；
第三次设为三点y分时，时针与分针的夹角为60°，则5.5y=90﹣60，解之得y=5
（分）；
第四次设为3点z分，时针与分针的夹角为60°，则5.5z=90﹣60+60×2，解之得z=27
（分）．
故钟面上从2点到4点时针与分针的夹角为60°，分别是2点整，2点21
分，3点5
分，3点27
分．
点评：
此题考查了钟面上的路程问题．时钟问题的关键是将时针、分针、秒针转动的速度用角表示出来．时针转动的速度为0.5°/分，分针为6°/分，秒针为360°/分．
15．同学们，闹钟都见过吧！
它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？
分针每分针走多少度？
当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题：
（1）三点整时时针与分针所夹的角是 90 度．
（2）7点25分时针与分针所夹的角是 72.5 度．
（3）一昼夜（0点到24点）时针与分针互相垂直的次数有多少次？
考点：
钟面角。
专题：
计算题。
分析：
（1）看时针和分针之间相隔几个大格，一个大格表示30°；
（2）方法同
（1）；
（3）时针与分针垂直时，夹角为90°，先得到经过多少分就能垂直一次，再看24小时里有几个得到的分钟数即可．
解答：
解：
（1）3×30=90°；
（2）2
×30°=72.5；
（3）设一次垂直到下一次垂直经过x分钟，则
6x﹣0.5x=2×90
5.5x=180
x=
，
24×60÷
=24×60×
=44（次）．
答：
一昼夜时针与分针互相垂直的次数为44次．
点评：
用到的知识点为：
钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°；分针每分走6度，时针每分走0.5度．
16．时间从8点到8点20分，钟表的时针和分针各转了多少度？
在8点20分，时针和分针所成的小于平角的角是多少度？
考点：
钟面角。
专题：
计算题。
分析：
根据时钟上的时针匀速旋转一分钟的度数为0.5°，即可得出从8点到8点20分时针旋转的度数．先求出时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为6°，再求从8点到8点20分分针旋转的度数．
因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出8点20分时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可．
解答：
解：
从8点到8点20分有20分钟，
∵时钟上的时针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的时针匀速旋转一周需要12小时，
则时钟上的时针匀速旋转一分钟的度数为：
360÷12÷60=0.5°，
那么从8点到8点20分，时针旋转了20×0.5°=10°；
∵时钟上的分针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，
则时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为：
360÷60=6°，
那么从8点到8点20分，分针旋转了20×6°=120°．
∵时针在钟面上每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，
∴钟表上8时20分钟时，时针与分针的夹角可以看成时针转过8时0.5°×20=10°，分针在数字4上．
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴8时20分钟时分针与时针的夹角4×30°+10°=130°．
故钟表的时针转了10度，分针转了120度．在8点20分，时针和分针所成的小于平角的角是130度．
点评：
本题考查了钟面上的路程问题和钟表分针所转过的角度计算．
在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：
分针每转动1°时针转动（
）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．：
分针：
60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：
360°÷60=6°；
时针：
12小时转一圈，每分钟转动的角度为：
360°÷12÷60=0.5°．
17．在4点到6点之间，时针与分针何时成120°角？
考点：
钟面角。
专题：
计算题。
分析：
在4点整时，时针与分针恰成120°．由于所问的时间是介于4点到6点之间，因此，这个时间不能计入．从4点开始，分针与时针之间的角度先逐步减少，直至两针重合（夹角为0°）．之后，分针“超过”时针，两针之间的夹角又逐渐增大（此时，分针在时针的前面）．直到两针夹角又一次成为120°，再分针“追赶”时针，（分针在时钟后）成120°，最后（分针在时钟前）成120°，这个时间正是我们所要求的．
解答：
解：
①设从4点整时针顺时针转过a角后，时针与分针（分针在时钟前）成120°，则
12a=120+a+120，
a=21
．
由于时针每转过30°（如从指向数字4转到指向数字5）相当于1小时（60分钟），
21
×2=43
分钟．
故在4点43
分时，时针与分针成120°；
②设从4点43
分时针顺时针转过a角后，时针与分针（分针在时钟后）成120°，则
12a=a+（240﹣120），
a=10
．
由于时针每转过30°（如从指向数字4转到指向数字5）相当于1小时（60分钟），
10
×2=21
分钟．
故在4点43
+21
分=5点5
分时，时针与分针成120°；
③设从5点5
分时针顺时针转过a角后，时针与分针（分针在时钟前）成120°，则
12a=120+a+120，
a=21
．
由于时针每转过30°（如从指向数字4转到指向数字5）相当于1小时（60分钟），
21
×2=43
分钟．
故在5点5
分+43
分=5点49
分时，时针与分针成120°．
即在4点43
分，5点5
分，5点49
分时，时针与分针何时成120°角．
点评：
本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：
分针每转动1°时针转动（
）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．转化为方程解决．由于时针与分针所成角依时针与分针的“前”“后”次序有两种情况，因此，求两针夹角情况会出现多解．
18．意大利制的A厂牌时钟，每天时针只转1圈，分针转24圈；而一般的普通时钟，每天时针转两圈，分针转24圈．假设两种时钟的钟面一样大，时针、分针也分别一样长，但分针略长于时针．两种时钟『零时』的刻痕都固定位于钟面的正上方．问24小时内，有多少种情形时针、分针和『零时』的相对位置，相同地出现在两种时钟上（这时候两种时钟显示的时间可能不同）？
考点：
钟面角。
专题：
应用题。
分析：
由题意可知意大利制的A厂牌时钟，每分钟时针转0.25°，每分钟分针6°；一般的普通时钟，每分钟时针转0.5°，每分钟分针6°．故时针24小时相遇2次，分针处处在相同位置．依此可知24小时内，有2种情形时针、分针和『零时』的相对位置，相同地出现在两种时钟上．
解答：
解：
∵意大利制的A厂牌时钟，每分钟时针转0.25°，每分钟分针6°；
一般的普通时钟，每分钟时针转0.5°，每分钟分针6°．
∴意大利制的A厂牌时钟和一般的普通时钟，时针24小时在相同位置2次，分针处处在相同位置．
故24小时内，有2种情形时针、分针和『零时』的相对位置，相同地出现在两种时钟上．
点评：
本题考查了钟表时针与分针的位置问题．注意意大利制的A厂牌时钟，每分钟时针转0.25°，每分钟分针6°；一般的普通时钟，每分钟时针转0.5°，每分钟分针6°．
19．时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转．以下请你解答有关时钟的问题：
（1）分针每分钟转了几度？
（2）中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会等于121°？
（3）在
（2）中所述分针与时针所成的钝角等于121°后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次等于121°？
考点：
钟面角。
分析：
（1）钟表表盘被分成12大格，每一大格又被分为5小格，故表盘共被分成60小格，每一小格所对角的度数为6°．分针每分钟转一个小格，1分钟转动了6度的角；
（2）分针与时针所成的钝角等于121°，可设经过x分钟，然后根据上面的等量关系列方程求解．
（3）两针所成的钝角会第二次等于121°，即360°﹣121°=239°，然后根据上面的等量关系列方程求解．
解答：
解：
（1）分针每分钟转的度数为360÷60=6（度）；
（2）时针每分钟转的度数为360÷（60×12）=0.5（度），设经过x分钟后分针和时针所成的钝角第一次为121度，则（6﹣0.5）x=121，即5.5x=121，解得x=22（分），
故中午12时整后再经过22分钟，分针与时针所成的钝角会等于121°；
（3）设经过y分钟后分针和时针所成的钝角第二次为121度，两针第二次成121度，也就是360﹣121=239（度）时，在第一次成121度基础上那就是再经过239﹣121=118（度），则（6﹣0.5）y=118，即5.5y=118，解得y=
（分）
故分针与时针所成的钝角等于121°后，再经过
分钟两针所成的钝角会第二次等于121°．
点评：
本题考查的是钟表表盘与角度相关的特征．钟表表盘被分成12大格，每一大格又被分为5小格，故表盘共被分成60小格，每一小格所对角的度数为6°．分针转动一圈，时间为60分钟，则时针转1大格，即时针转动30°．也就是说，分
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