【针对训练】1、下面列举的哪几种情况下所做的功是零（）
A．卫星做匀速圆周运动，地球引力对卫星做的功
B．平抛运动中，重力对物体做的功
C．举重运动员，扛着杠铃在头上的上方停留10s，运动员对杠铃做的功
D．木块在粗糙水平面上滑动，支持力对木块做的功
2、如图所示，力F大小相等，ABCD物体运动的位移s也相同，哪种情况F做功最小（）
3、 关于力对物体做功，以下说法正确的是（d）
A．一对作用力和反作用力在相同时间内做的功一定大小相等，正负相反
B．不论怎样的力对物体做功，都可以用W=Fscosα
C．合外力对物体不作功，物体必定做匀速直线运动
D．滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体做正功或负功
4、如图2-2-1所示，木块A放在木块B的左上端，用恒力F将A拉至B的右端．第一次将B固定在地面上，F做的功为W1；第二次让B可以在光滑的地面上自由滑动，F做的功为W2．比较两次做功，应有（A）
A．
B．
C．
D．无法比较．
5、质量为M的长木板放在光滑的水平面上（如图2-2-4所示），一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面从A点滑至B点，在木板上前进了Lm，而木板前进Sm．若滑块与木板间动摩擦因数为μ，问：
（1）摩擦力对滑块所做功多大？
（2）摩擦力对木板所做功多大？
解：
（1）滑块受力情况如图2-2-5（甲）所示，摩擦力对滑块
所做的功为：
Wm＝－μmg（s＋L）
（2）木板受力情况如图2-2-5（乙）所示，摩擦力对木板
所做的功为：
WM＝μmg·s
【归纳提升】常用的判断力做功的方法1、根据力与位移方向的夹角判断2、根据力与瞬时速度方向夹角判断3、根据物体或系统能量是否变化来判断
【例4】如图所示，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置。
在下列三种情况下，分别用水平拉力F将小球拉到细线与竖直方向成θ角的位置。
在此过程中，拉力F做的功各是多少？
⑴用F缓慢地拉；
⑵F为恒力；
⑶若F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零。
A.
B.
C.
D.
解析：
⑴若用F缓慢地拉，则显然F为变力，只能用动能定理求解。
F做的功等于该过程克服重力做的功。
选D
⑵若F为恒力，则可以直接按定义求功。
选B
⑶若F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零，那么按定义直接求功和按动能定理求功都是正确的。
选B、D
在第三种情况下，由
=
，可以得到
，可见在摆角为
时小球的速度最大。
实际上，因为F与mg的合力也是恒力，而绳的拉力始终不做功，所以其效果相当于一个摆，我们可以把这样的装置叫做“歪摆”。
【针对训练】1、如图所示，线拴小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，圆的半径是1m，球的质量是0.1kg，线速度v=1m/s，小球由A点运动到B点恰好是半个圆周。
那么在这段运动中线的拉力做的功是（）
A．0B．0.1JC．0.314JD．无法确定
解析：
小球做匀速圆周运动，线的拉力为小球做圆周运动的向心力，由于它总是与运动方向垂直，所以，这个力不做功。
故A是正确的。
2、如图所示，在光滑的水平面上，物块在恒力F=100N作用下从A点运动到B点，不计滑轮的大小，不计绳、滑轮间摩擦，H=2.4m，α=37°，β=53°，求拉力F所做的功。
解：
在功的定义式W=Fscosθ中，s是指力F的作用点的位移。
当物块从A点运动到B点时，连接物块的绳子在定滑轮左侧的长度变小，
，由于绳不能伸缩，故力F的作用点的位移大小等于s。
而这里物块移动的位移大小为（Hcotα-Hcotβ），可见本题力F作用点的位移大小不等于物块移动的位移大小。
根据功的定义式，有
J
3、用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是（）
A、
B、
C、
D、
解：
∴
（3）作出变力变化的F－l图象，图象与位移轴所围的“面积”即为变力做的功。
在F-l图象中，图线与坐标轴所围成的“面积”表示功。
对于方向不变，大小随位移变化的力，作出F-l图象，求出图线与坐标轴所围成的“面积”，就求出了变力所做的功，上述例题也可用图象法来求解。
因为木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，则F=kd，其图象为图2-2-7所示。
铁锤两次对钉子做功相同，则三角形OAB的面积与梯形ABCD的面积相等，
即
解得
例4、如图3所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为0.8m，BC是水平轨道，长L=3m，BC处的摩擦系数为1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。
求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。
分析与解：
物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、AC段的摩擦力共三个力做功，重力做功WG=mgR，水平面上摩擦力做功Wf1=-μmgL，由于物体在AB段受的阻力是变力，做的功不能直接求。
根据动能定理可知：
W外=0，
所以mgR-umgL-WAB=0
即WAB=mgR-umgL=6（J）
5、用机械能守恒定律求变力做功
例5、如图5所示，质量m=2kg的物体，从光滑斜面的
顶端A点以V0=5m/s的初速度滑下，在D点与弹簧接触
并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖
直高度h=5m，求弹簧的弹力对物体所做的功。
分析与解：
由于斜面光滑故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。
取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D点为弹性势能的零参考点，则状态A：
EA=mgh+mV02/2
对状态B：
EB=－W弹簧+0
由机械能守恒定律得：
W弹簧=－（mgh+mv02/2）=－125（J）。
【归纳提升】1、求变力的功:
（1）化变力为恒力：
①分段计算功，然后用求和的方法求变力所做的功②用转换研究对象的方法
（2）若F是位移l的线性函数时，先求平均值
，由
求其功。
（3）作出变力变化的F－l图象，图象与位移轴所围的“面积”即为变力做的功。
（4）动能定理、功能关系。
2、关于相互作用力的功：
作用力和反作用力所做功的数值没有必然的联系。
一对作用力和反作用力，可以两个力均不做功；可以一个力做功，另一个力不做功；也可以一个力做正功，另一个力做负功；也可以两个力均做正功或均做负功。
【知识点二、功率——功率是描述做功快慢的物理量】
⑴功率的定义式：
注：
所求出的功率是时间t内的平均功率。
⑵功率的计算式：
P=Fvcosθ，其中θ是夹角。
该公式有两种用法：
①求某一时刻的。
这时F是该时刻的作用力大小，v取瞬时值，对应的P为F在该时刻的瞬时功率；②当v为某段位移（时间）内的平均速度时，则要求这段位移（时间）内F必须为恒力，对应的P为F在该段时间内的。
P的正负取决于cosθ的正负，即功的正负
⑶重力的功率可表示为，即重力的瞬时功率等于重力和物体在该时刻的竖直分速度之积。
【探究学习】
【例5】质量为0.5kg的物体从高处自由下落，在下落的前2s内重力对物体做的功是多少？
这2s内重力对物体做功的平均功率是多少？
2s末，重力对物体做功的即时功率是多少？
（g取
）
解析：
前2s，
m，
，
平均功率
W，2s末速度
，
2s末即时功率
W。
【针对训练】1．关于功率，下列说法中正确的是（）
A．功率是说明力做功多少的物理量B．功率是说明力做功快慢的物理量
C．做功时间越长，功率一定小D．力做功越多，功率一定大
2．一个物体从光滑斜面上下滑，关于重力做功的功率的说法正确的是（）
A．重力不变，重力做功的功率也不变
B．重力做功的功率在下滑过程中不断增大
C．重力做功的功率等于重力和下滑速度的乘积
D．重力做功的功率小于重力和下滑速度的乘积
【知识点三、汽车的两种加速问题】
①恒定功率的加速。
由公式P=Fv和F-f=ma知，由于P恒定，随着v的增大，F必将，a也必将，汽车做加速度不断减小的加速运动，直到F=f，a=0，这时v达到。
vm=可见恒定功率的加速一定不是匀加速。
这种加速过程发动机做的功只能用W=Pt计算，不能用W=Fs计算（因为F为变力）。
②恒定牵引力的加速。
由公式P=Fv和F-f=ma知，由于F恒定，所以a，汽车做运动，而随着v的增大，P也将，直到P达到额定功率Pm，功率不能再增大了。
这时匀加速运动结束，其最大速度为
，此后汽车要想继续加速就只能做恒定功率的变加速运动了。
可见恒定牵引力的加速时功率一定不恒定。
这种加速过程发动机做的功只能用W=Fs计算，不能用W=Pt计算（因为P为变功率）。
要注意两种加速运动过程的最大速度的区别。
【例4】质量为m、额定功率为P的汽车在平直公路上行驶。
若汽车行驶时所受阻力大小不变，并以额定功率行驶，汽车最大速度为v1，当汽车以速率v2（v2解析：
F-f=ma其中
，
得
【例5】质量是2000kg、额定功率为80kW的汽车，在平直公路上行驶中的最大速度为20m/s。
若汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为2m/s2，运动中的阻力不变。
求：
①汽车所受阻力的大小。
②汽车做匀加速运动的时间。
③3s末汽车的瞬时功率。
④汽车在匀加速运动中牵引力所做的功。
解析：
①所求的是运动中的阻力，若不注意“运动中的阻力不变”，则阻力不易求出。
以最大速度行驶时，根据P=Fv，可求得F=4000N。
而此时牵引力和阻力大小相等。
②设匀加速运动的时间为t，则t时刻的速度为v=at=2t，这时汽车的功率为额定功率。
由P=Fv，将F=8000N和v=2t代入得t=5s。
③由于3s时的速度v=at=6m/s，而牵引力由F—Ff=ma得F=8000N，故此时的功率为P=Fv=4.8×104W。
④虽然功率在不断变化，但功率却与速度成正比，故平均功率为额定功率的一半，从而得牵引力的功为W=Pt=40000×5J=2×105J.
【针对训练】
2．火车从车站开出作匀加速运动，若阻力与速率成正比，则（ACD）
A．火车发动机的功率一定越来越大，牵引力也越来越大
B．火车发动机的功率恒定不变，牵引力也越来越小
C．当火车达到某一速率时，若要保持此速率作匀速运动，发动机的功率这时应减小
D．当火车达到某一速率时，若要保持此速率作匀速运动，则发动机的功率一定跟此时速率的平方成正比
解析：
A、C、D根据P=Fv，F-f=ma，f=kv，∴
。
这表明，在题设条件下，火车发动机的功率和牵引力都随速率v的增大而增大，∴A正确。
当火车达到某一速率时，欲使火车作匀速运动，则a=0，∴此时
，减小mav，∴C、D对。
例8、汽车发动机额定功率为60kW，汽车质量为5.0×103kg，汽车在水平路面行驶时，受到的阻力大小是车重的0.1倍，试求：
若汽车从静止开始，以0.5m/s2的加速度匀加速运动，则这一加速度能维持多长时间？
解：
【课堂达标】
3．同一恒力按同样方式施于物体上，使它分别沿着粗糙水平地面和光滑水平抛面移动相同一段距离时，恒力的功和平均功率分别为
、
和
、
，则二者的关系（B）
A．
、
B．
、
C．
、
D．
、
D1．以初速度v0竖直向上抛出一个质量为m的小球，上升最大高度是h．如果空气阻力的大小恒定，则从抛出到落回出发点的整个过程中，空气阻力对小球做的功为 [ ]
A．零B．-fhC．-2mghD．-2fh
B2．小物块A位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上，从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力
A．垂直于接触面，做功为零B．垂直于接触面，做功不为零
C．不垂直于接触面，做功为零D．不垂直于接触面，做功不为零
BCD4．如图5-14所示的四种情况中，A、B两物体相对静止，一起向右运动，则
A．情况甲中，A、B间的摩擦力对A做正功
B．情况乙中，A、B间的摩擦力对B做负功
C．情况丙中，A、B间的摩擦力对B做正功
D．情况丁中，A、B间的摩擦力对A做负功
A6．在粗糙程度不同的水平面上推车，如果两种情况下所用的水平推力和车子
通过的路程相同，则推力对车做功
A．两种情况一样多．B．在较光滑的水平面上所做的功多．
C．在较粗糙的水平面上所做的功多．D．条件不足，无法比较两种情况下功的多少
BCD7．沿坡度不同，粗糙程度相同的斜面向上拉完全相同的物体，如果上升的高度相同，下列说法正确的是
A．沿坡度小的斜面拉力做的功小些．B．沿各斜面克服重力做的功一样大．
C．沿坡度小的斜面克服摩擦力做的功大些．D．因运动状态不清楚，故沿各斜面拉力做功的大小无法比较．
5．物体静止在光滑水平面上，先对物体施一水平向右的恒力F1，经时间t后撤去F1，立即再对它施加一水平向左的恒力F2，又经时间t后物体回到原出发点，在这一过程中，F1、F2分别对物体做的功W1、W2之比为多少？
解：
经t时间的位移
①
此时速度
，之后受恒力
向左，与v方向相反，则物体做匀减速直线运动：
F2＝ma2，加速度a2＝F2／m，经t时间又回到原出发点，此过程位移为s，方向向左，则力
做正功。
因位移与v的方向相反，则有
即
②
②与①式联立可得
，
则力F2做的功
。
所以
【总结反思】
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