二次函数的图像与性质练习题及答案.docx
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二次函数的图像与性质练习题及答案
6.3二次函数y=ax2+k的图象和性质练习题
一、精心选一选
1﹒二次函数y＝－x2－1的图象大致是（）
A.
B.
C.
D.
2﹒在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（）
A.
B.
C.
D.
3﹒二次函数y＝
x2+1与y＝
x2+2的图象的不同之处是（）
A.对称轴B.开口方向C.顶点D.形状
4﹒函数y＝x+1，y＝x2+2，y＝x2，y＝－2x2+1中，当x＞0时，y随x的增大而增大的函数共有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
5﹒抛物线y＝2x2+1的顶点坐标是（）
A.（2，1）B.（0，1）C.（1，0）D.（1，2）
6﹒关于二次函数y＝2x2+3，下列说法中正确的是（）
A.它的开口方向是向下B.当x＜－1时，y随x的增大而减小
C.它的对称轴是直线x＝2D.当x＝0时，y有最大值是3
7﹒抛物线y＝－x2+9与y轴的交点坐标是（）
A.（0，9）B.（3，0）C.（－3，0）D.（－3，0）或（3，0）
8﹒将抛物线y＝－x2向上平移2个单位后，得到的函数表达式是（）
A.y＝－x2+2B.y＝－（x+2）2C.y＝－（x－1）2D.y＝－x2－2
9﹒已知：
x2+y＝3，当－1≤x≤2时，y的最小值是（）
A.－1B.2C.
D.3
10.二次函数y＝－x2+1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（）
A.点C的坐标是（0，1）B.线段AB的长为2
C.△ABC是等腰直角三角形D.当x＞0时，y随x的增大而增大
二、细心填一填
11.抛物线y＝2
+（m－5）的顶点在x轴的下方，则m＝_________.
12.抛物线y＝2x2－1在y轴右侧的部分是__________.（填“上升”或“下降”）
13.若在二次函数y＝－x2+5，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为____________________.
14.已知直线y＝2x－1与抛物线y＝5x2+k的交点横坐标为2，则k＝____，交点坐标为______.
15.对于抛物线y＝x2－m，若y的最小值是1，则m＝____________.
16.两条抛物线y1＝－
x2+1，y2＝－
x2－1与分别经过点（－2，0），（2，0），且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为_________________.
第17题图第17题图第18题图
17.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+4与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝
x2于点B、C，则BC的长为_____________.
18.如图，二次函数y＝ax2+c（a＜0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是___________.
三、解答题
19.在同一直角坐标系中画出二次函数y＝
x2+1与二次函数y＝－
x2－1的图象.
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出这两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出这两个函数图象的性质有何相同点与不同点.
20.已知：
一次函数y1＝2x，二次函数y2＝x2+1.
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
y1＝2x
y2＝x2+1
（1）根据表中给出的x的值，计算对应的函数值y1、y2，并填写在表格中；
（2）观察上表所填数据，猜想：
在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1与y2有何大小关系？
并证明你的结论.
21.已知：
抛物线y＝2x2+n与直线y＝2x－1交于点（m，3）.
（1）求m和n的值；
（2）试说出抛物线y＝2x2+n的顶点坐标和对称轴；
（3）当x何值时，二次函数y＝2x2+n中y随x的增大而减小；
（4）函数y＝2x2+n与y＝2x－1的图象是否还存在其它交点，若存在，请求出交点坐标；若没有，请说明理由.
22.如图，抛物线y1＝－x2－1与直线y2＝－x－3交于A、B两点.
（1）求A、B两点的坐标；
（2）根据图象填空：
①当x取何值时，y1的值随x的增大而增大？
②当x取何值时，y2的值随x的增大而减小？
（3）设抛物线y1＝－x2－1的顶点为C，试求△ABC的面积.
23.如图，坐标系中有抛物线c：
y＝x2+m和直线l：
y＝－2x－2.
（1）求m取何值时，抛物线c与直线l没有公共点；
（2）移动抛物线c，当抛物线c的顶点在直线l上时，求直线l被抛物线c所截得的线段长.
24.如图所示，隧道的截面是由抛物线和矩形构成，矩形的长为8cm，宽为2cm，抛物线可用y＝
x2+4表示.
（1）一辆货车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可能通过？
6.3二次函数y=ax2+k的图象和性质课时练习题
参考答案
一、精心选一选
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
C
B
B
A
A
D
D
1﹒二次函数y＝－x2－1的图象大致是（）
A.
B.
C.
D.
解答：
抛物线y＝－x2－1的开口向下，顶点坐标为（0，－1），所以B选项符合要求，
故选：
B.
2﹒在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（）
A.
B.
C.
D.
解答：
∵二次函数y＝x2+a的图象开口向上，∴首先排除B错误，
当a＞0时，一次函数y＝ax+2图象经过一、二、三象限，二次函数y＝x2+a的图象的开口向上，顶点在x轴的上方，∴排除A、D错误，
当a＜0时，一次函数y＝ax+2图象经过一、二、四象限，二次函数y＝x2+a的图象的开口向上，顶点在x轴的下方，故C符合要求，
故选：
C.
3﹒二次函数y＝
x2+1与y＝
x2+2的图象的不同之处是（）
A.对称轴B.开口方向C.顶点D.形状
解答：
∵抛物线y＝
x2+1的顶点坐标为（0，1），y＝
x2+2的顶点坐标是（0，2），
∴它们的顶点坐标位置不同，
故选：
C.
4﹒函数y＝x+1，y＝x2+2，y＝x2，y＝－2x2+1中，当x＞0时，y随x的增大而增大的函数共有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
解答：
当x＞0时，y随x的增大而增大的函数有：
y＝x+1，y＝x2+2，y＝x2，
故选：
C.
5﹒抛物线y＝2x2+1的顶点坐标是（）
A.（2，1）B.（0，1）C.（1，0）D.（1，2）
解答：
抛物线y＝2x2+1的顶点坐标是（0，1），
故选：
B.
6﹒关于二次函数y＝2x2+3，下列说法中正确的是（）
A.它的开口方向是向下B.当x＜－1时，y随x的增大而减小
C.它的对称轴是直线x＝2D.当x＝0时，y有最大值是3
解答：
A.它的开口方向是向上，故A选项错误；
B.当x＜－1时，y随x的增大而减小，故B选项正确；
C.它的对称轴是直线x＝0，故C选项错误；
D.当x＝0时，y有最小值是3，故D选项错误，
故选：
B.
7﹒抛物线y＝－x2+9与y轴的交点坐标是（）
A.（0，9）B.（3，0）C.（－3，0）D.（－3，0）或（3，0）
解答：
抛物线y＝－x2+9与y轴的交点坐标是（0，9），
故选：
A.
8﹒将抛物线y＝－x2向上平移2个单位后，得到的函数表达式是（）
A.y＝－x2+2B.y＝－（x+2）2C.y＝－（x－1）2D.y＝－x2－2
解答：
将抛物线y＝－x2向上平移2个单位后，得到的函数表达式是y＝－x2+2，
故选：
A.
9﹒已知：
x2+y＝3，当－1≤x≤2时，y的最小值是（）
A.3B.2C.
D.－1
解答：
由x2+y＝3得：
y＝－x2+3，
当x＝－1时，y＝2，当x＝2时，y＝－1，
∴y的最小值为－1，
故选：
D.
10.二次函数y＝－x2+1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（）
A.点C的坐标是（0，1）B.线段AB的长为2
C.△ABC是等腰直角三角形D.当x＞0时，y随x的增大而增大
解答：
二次函数y＝－x2+1的图象与y轴交于点坐标为（0，1），故A选项正确；
当y＝0时，即－x2+1＝0，x1＝1，x2＝－1，所以A、B两点坐标分别为（1，0），（－1，0），故AB＝2，所以B选项正确；
∵二次函数图象是轴对称图形，该抛物线又是以y轴为对称轴，∴△ABC是等腰直角三角形，故C选项正确；
∵抛物线y＝－x2+1的开口向下，且以y轴为对称轴，∴当x＞0时，y随x的增大而减小，故D选项错误.
故选：
D.
二、细心填一填
11.－1；12.上升；13.5；
14.－17，（2，3）；15.－1；16.8；
17.8；18.－2.
11.抛物线y＝2
+（m－5）的顶点在x轴的下方，则m＝_________.
解答：
由题意知：
y＝2
+（m－5）是二次函数，
∴m2－4m－3＝2，解得：
m1＝－1，m2＝5，
又∵抛物线的顶点在x轴的下方，
∴m－5＜0，故m＜5，
∴m只能取－1，
故答案为：
－1.
12.抛物线y＝2x2－1在y轴右侧的部分是__________.（填“上升”或“下降”）
解答：
抛物线y＝2x2－1在y轴右侧的部分是上升的，
故答案为：
上升.
13.若在二次函数y＝－x2+5，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为____________________.
解答：
根据抛物线是轴对称图形，∵当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，∴x1与x2互为相反数，即x1+x2＝0，∴当x＝0时，y＝5，
故答案为：
5.
14.已知直线y＝2x－1与抛物线y＝5x2+k的交点横坐标为2，则k＝____，交点坐标为______.
解答：
把x＝2代入y＝2x－1得：
y＝3，∴它们的交点坐标为（2，3），
把（2，3）代入y＝5x2+k得：
3＝5×22+k，解得：
k＝－17，
故答案为：
－17，（2，3）.
15.对于抛物线y＝x2－m，若y的最小值是1，则m＝____________.
解答：
抛物线y＝x2－m的开口向上，有最小值－m，而y的最小值是1，
∴－m＝1，故m＝－1，
故答案为：
－1.
16.两条抛物线y1＝－
x2+1，y2＝－
x2－1与分别经过点（－2，0），（2，0），且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为_________________.
解答：
如图，过y2＝－
x2－1的顶点（0，－1）作平行于x轴的直线与y1＝－
x2+1围成的阴影，同过点（0，－3）作平行于x轴的直线与y2＝－
x2－1围成的形状相同，
故把阴影部分向下平移2个单位即可拼成一个矩形，
因此矩形的面积为4×2＝8，
故答案为：
8.
17.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+4与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝
x2于点B、C，则BC的长为_____________.
解答：
∵抛物线y＝ax2+4与y轴交于点A，
∴A（0，4），
把y＝4代入y＝
x2得：
x2＝4，
解得：
x＝±4，
又∵过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝
x2于点B、C，
∴B、C两点的横坐标分别为－4，4，
∴BC＝
＝8，
故答案为：
8.
18.如图，二次函数y＝ax2+c（a＜0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是___________.
解答：
设正方形的对角线OA长为2m，
则B（－m，m），C（m，m）,A（0，2m），
把A、C的坐标代入解析式可得：
c＝2m①，am2+c＝m②，
把①代入②得：
m2a+2m＝m，解得：
a＝－
，
则ac＝－
×2m＝－2，
故答案为：
－2.
三、解答题
19.在同一直角坐标系中画出二次函数y＝
x2+1与二次函数y＝－
x2－1的图象.
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出这两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出这两个函数图象的性质有何相同点与不同点.
解答：
如图：
（1）y＝
x2+1与y＝－
x2－1的相同点是：
形状都是抛物线，对称轴都是y轴，
不同点是：
y＝
x2+1开口向上，顶点坐标是（0，1），y＝－
x2－1开口向下，顶点坐标是（0，1）；
（2）它们性质的相同点是：
开口程度相同，不同点是：
y＝
x2+1当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小；y＝－
x2－1当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大.
20.已知：
一次函数y1＝2x，二次函数y2＝x2+1.
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
y1＝2x
y2＝x2+1
（1）根据表中给出的x的值，计算对应的函数值y1、y2，并填写在表格中；
（2）观察上表所填数据，猜想：
在实数范围内，对于x的同一个数值，这两个函数所对应的函数值y1与y2有何大小关系？
并证明你的结论.
解答：
（1）填表如下：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
y1＝2x
－6
－4
－2
0
2
4
6
y2＝x2+1
10
5
2
1
2
5
10
（2）当x取同一数值时，y2≥y1，
证明：
∵y2－y1＝x2+1－2x＝（x－1）2，
而（x－1）2≥0，
∴y2－y1≥0，
即y2≥y1.
21.已知：
抛物线y＝2x2+n与直线y＝2x－1交于点（m，3）.
（1）求m和n的值；
（2）试说出抛物线y＝2x2+n的顶点坐标和对称轴；
（3）当x何值时，二次函数y＝2x2+n中y随x的增大而减小；
（4）函数y＝2x2+n与y＝2x－1的图象是否还存在其它交点，若存在，请求出交点坐标；若没有，请说明理由.
解答：
（1）把x＝m，y＝3代入y＝2x－1得：
2m－1＝3，
解得：
m＝2，则交点坐标为（2，3），
把（2，3）代入y＝2x2+n得：
3＝8+n，
解得：
n＝－5，
故m＝2，n＝－5；
（2）由
（1）知：
抛物线为y＝2x2－5，
∴该抛物线的顶点坐标为（0，－5），对称轴为y轴；
（3）当x＜0时，二次函数y＝2x2+n中y随x的增大而减小；
（4）有，根据题意得：
，解得：
，
，
∴两函数图象还有一个交点，其坐标为（－1，－3）.
22.如图，抛物线y1＝－x2－1与直线y2＝－x－3交于A、B两点.
（1）求A、B两点的坐标；
（2）根据图象填空：
①当x取何值时，y1的值随x的增大而增大？
②当x取何值时，y2的值随x的增大而减小？
（3）设抛物线y1＝－x2－1的顶点为C，试求△ABC的面积.
解答：
（1）由
得：
，
，
∵点A在第三象限，点B在第四象限，
∴A（－1，－2），B（2，－5）；
（2）①当x＜0时，y1的值随x的增大而增大？
②当x取任何实数时，y2的值随x的增大而减小？
（3）∵抛物线y1＝－x2－1的顶点坐标为（0，－1），
∴C（0，－1），
设直线AB与y轴交于点D，则点D的坐标为（0，－3），
∴CD＝
＝2，
∴S△ACD＝
×2×1＝1，S△BCD＝
×2×5＝5，
∴S△ABC＝S△ACD+S△BCD＝1+5＝6，
即△ABC的面积为6.
23.如图，坐标系中有抛物线c：
y＝x2+m和直线l：
y＝－2x－2.
（1）求m取何值时，抛物线c与直线l没有公共点；
（2）移动抛物线c，当抛物线c的顶点在直线l上时，求直线l被抛物线c所截得的线段长.
解答：
（1）根据题意得：
x2+m＝－2x－2，
整理得：
x2+2x+m+2＝0，
∵抛物线c与直线l没有公共点，
∴△＝22－4（m+2）＜0，
解得：
m＞－1，
∴当m＞－1时，抛物线c与直线l没有公共点；
（2）∵抛物线c的顶点在直线l上，
∴抛物线c的顶点为（0，－2），
将（0，－2）代入y＝x2+m得：
m＝－2，
∴抛物线c的解析式为y＝x2－2，
由
得：
或
，
∴直线l与抛物线c的交点为（0，－2），（－2，2）
∴直线l被抛物线c所截得的线段长为
＝2
.
24.如图所示，隧道的截面是由抛物线和矩形构成，矩形的长为8cm，宽为2cm，抛物线可用y＝
x2+4表示.
（1）一辆货车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可能通过？
解答：
（1）当货车沿着路面中线行驶时，货车边沿的横坐标为1或－1，
当x＝±1时，y＝－
×（±1）2+4＝
，
此处隧道高为
+2＝
＞4，
故货车能通过隧道.
（2）若隧道内设双行道，此时货车一边靠近隧道中线，另一边沿横坐标为2或－2，
反x＝2或－2代入y＝
x2+4得：
y＝3，
此处隧道高为3+2＝5＞4，
故货车能通过隧道.
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