《集合的基本运算》专题复习与训练.docx

《集合的基本运算》专题复习与训练.docx

《《集合的基本运算》专题复习与训练.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《集合的基本运算》专题复习与训练.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

《集合的基本运算》专题复习与训练

《1.3　集合的基本运算》专题复习与训练

第1课时　并集与交集

学习目标

核心素养

1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集．（重点、难点）

2．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．（难点）

1.借助Venn图培养直观想象素养．

2．通过集合并集、交集的运算提升数学运算素养.

【新课导入】

1．并集

思考：

（1）“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？

（2）集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？

提示：

（1）“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：

x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.用Venn图表示如图所示．

（2）不等于，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．

2．交集

3．并集与交集的运算性质

并集的运算性质

交集的运算性质

A∪B＝B∪A

A∩B＝B∩A

A∪A＝A

A∩A＝A

A∪∅＝A

A∩∅＝∅

1．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝________，M∩N＝________.

{－1,0,1,2}　{0,1}　[∵M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，∴M∩N＝{0,1}，M∪N＝{－1,0,1,2}．]

2．若集合A＝{x|－32}，则A∪B＝________.

{x|x>－3}　[如图：

故A∪B＝{x|x>－3}．]

3．满足{1}∪B＝{1,2}的集合B可能等于________．

{2}或{1,2}　[∵{1}∪B＝{1,2}，∴B可能为{2}或{1,2}．]

【合作探究】

并集概念及其应用

【例1】　

（1）设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝（　　）

A．{0}　　B．{0,2}

C．{－2,0}D．{－2,0,2}

（2）已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝（　　）

A．{x|x<－5或x>－3}B．{x|－5

C．{x|－35}

（1）D　

（2）A　[M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，故选D.

（2）在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．

]

求集合并集的两种基本方法

1定义法：

若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；

2数形结合法：

若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解.

1．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5}，则A∪B＝________.

{0,1,2,3,4,5}　[A∪B＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}．]

交集概念及其应用

【例2】　

（1）设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于（　　）

A．{x|0≤x≤2}　　B．{x|1≤x≤2}

C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}

（2）已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为（　　）

A．5　　　　B．4C．3　　　　D．2

（1）A　

（2）D　[

（1）∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，如图，

故A∩B＝{x|0≤x≤2}．

（2）∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，

∴8∈A,14∈A，

∴A∩B＝{8,14}，故选D.]

1．求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为：

（1）定义法，

（2）数形结合法．

2．若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．

2．（2018·全国卷Ⅰ）已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝（　　）

A．{0,2}　　　B．{1,2}

C．{0}D．{－2，－1,0,1,2}

A　[由题意知A∩B＝{0,2}．]

3．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x

A．－12

C．a≥－1D．a>－1

D　[因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知a>－1.]

集合交、并运算的性质及综合应用

[探究问题]

1．设A，B是两个集合，若A∩B＝A，A∪B＝B，则集合A与B具有什么关系？

提示：

A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B.

2．若A∩B＝A∪B，则集合A，B间存在怎样的关系？

提示：

若A∩B＝A∪B，则集合A＝B.

【例3】　已知集合A＝{x|－3

[思路点拨]　

[解]　

（1）当B＝∅，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A.

（2）当B≠∅时，要使A∪B＝A，

只需

解得2≤k≤

.

综合

（1）

（2）可知k≤

.

1．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围．

[解]　由A∩B＝A可知A⊆B.

所以

即

所以k∈∅.

所以k的取值范围为∅.

2．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3

[解]　由题意可知

解得k＝3.

所以k的值为3.

1．对并集、交集概念的理解

（1）对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：

x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．

（2）A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分．特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.

2．集合的交、并运算中的注意事项

（1）对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．

（2）对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到．

【课堂达标】

1．思考辨析

（1）集合A∪B中的元素个数就是集合A和集合B中的所有元素的个数和．（　　）

（2）当集合A与集合B没有公共元素时，集合A与集合B就没有交集.（　　）

（3）若A∪B＝A∪C，则B＝C.（　　）

（4）A∩B⊆A∪B.（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√

2．已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是（　　）

A．{0,1}　　　　B．{0}

C．{－1,2,3}D．{－1,0,1,2,3}

D　[由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．故选D.]

3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|（x＋1）（x－2）＝0，x∈Z}，则A∩B＝（　　）

A．{1}B．{2}

C．{－1,2}D．{1,2,3}

B　[∵B＝{x|（x＋1）（x－2）＝0，x∈Z}＝{－1,2}，A＝{1,2,3}∴A∩B＝{2}．]

4．设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}．

（1）求a，b的值及A，B；

（2）求（A∪B）∩C.

[解]　

（1）∵A∩B＝{2}，∴4＋2a＋12＝0，即a＝－8，4＋6＋2b＝0，即b＝－5，

∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2,6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．

（2）∵A∪B＝{－5,2,6}，C＝{2，－3}，∴（A∪B）∩C＝{2}．

《并集与交集》专题训练

[合格基础练]

一、选择题

1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝（　　）

A．{1,2,3,4}　　B．{1,2,3}

C．{2,3,4}D．{1,3,4}

A　[∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，∴A∪B＝{1,2,3,4}．

故选A.]

2．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为（　　）

A．1　　　　B．2C．3　　　　D．4

B　[∵A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，∴A∩B＝{2,4}．

∴A∩B中元素的个数为2.故选B.]

3．已知集合A＝{x|x＋1<0}，B＝{x|x－3<0}，那么集合A∪B等于（　　）

A．{x|－1≤x<3}B．{x|x<3}

C．{x|x<－1}D．{x|x>3}

B　[A＝{x|x＋1<0}＝{x|x<－1}，B＝{x|x－3<0}＝{x|x<3}．

∴A∪B＝{x|x<3}，选B.]

4．已知集合A＝{1,3}，B＝{1,2，m}，若A∩B＝{1,3}，则A∪B＝（　　）

A．{1,2}B．{1,3}

C．{1,2,3}D．{2,3}

C　[∵A∩B＝{1,3}，∴3∈B，∴m＝3，

∴B＝{1,2,3}，∴A∪B＝{1,2,3}．]

5．设集合A＝{（x，y）|y＝ax＋1}，B＝{（x，y）|y＝x＋b}，且A∩B＝{（2,5）}，则（　　）

A．a＝3，b＝2B．a＝2，b＝3

C．a＝－3，b＝－2D．a＝－2，b＝－3

B　[∵A∩B＝{（2,5）}，∴

解得a＝2，b＝3，故选B.]

二、填空题

6．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝________.

{1,3}　[A∩B＝{1,2,3}∩{y|y＝2x－1，x∈A}

＝{1,2,3}∩{1,3,5}

＝{1,3}．]

7．若集合A＝{x|－1

R　{x|－1

A∪B＝R，A∩B＝{x|－1

8．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．

12　[设所求人数为x，则x＋10＝30－8⇒x＝12.]

三、解答题

9．已知集合A＝

，集合B＝{x|2x－1<3}，求A∩B，A∪B.

[解]　解不等式组

得－2

即A＝{x|－2

解不等式2x－1<3，得x<2，即B＝{x|x<2}，

在数轴上分别表示集合A，B，如图所示．

则A∩B＝{x|－2

10．已知集合A＝{x|－2

（1）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；

（2）若A∪B＝B，求实数m的取值范围．

[解]　

（1）∵A＝{x|－2

又A∩B＝∅，∴m≤－2.

（2）∵A＝{x|－2

[等级过关练]

1．若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有（　　）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

B　[∵A∪B＝A，∴B⊆A.∵A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，∴x2＝0或x2＝2或x2＝x，解得x＝0或

或－

或1.经检验，当x＝

或－

时满足题意，故选B.]

2．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则符合条件的实数m的值组成的集合为（　　）

A.

B.

C.

D.

C　[当m＝0时，B＝∅，A∩B＝B；

当m≠0时，x＝

，要使A∩B＝B，则

＝1或

＝2，即m＝1或m＝

.]

3．已知集合A＝{x|x≥5}，集合B＝{x|x≤m}，且A∩B＝{x|5≤x≤6}，则实数m＝________.

6　[用数轴表示集合A，B如图所示．由A∩B＝{x|5≤x≤6}，得m＝6.]

4．设S＝{x|x<－1或x>5}，T＝{x|a

－3

解得－3

]

5．已知A＝{x|x>a}，B＝{x|－2

[解]　如图所示．

当a<－2时，A∪B＝{x|x>a}，A∩B＝{x|－2

当－2≤a<2时，A∪B＝{x|x>－2}，A∩B＝{x|a

当a≥2时，A∪B＝{x|－2a}，A∩B＝∅.

第2课时　补集

学习目标

核心素养

1.了解全集的含义及其符号表示．（易混点）

2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．（重点、难点）

3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．（重点）

1.通过补集的运算培养数学运算素养．

2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养.

【新课导入】

1．全集

（1）定义：

如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．

（2）记法：

全集通常记作U.

思考：

全集一定是实数集R吗？

提示：

全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.

2．补集

文字语言

对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA

符号语言

∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}

图形语言

1．已知全集U＝{0,1,2}，且∁UA＝{2}，则A＝（　　）

A．{0}　　B．{1}

C．∅D．{0,1}

D　[∵U＝{0,1,2}，∁UA＝{2}，

∴A＝{0,1}，故选D.]

2．设全集为U，M＝{0,2,4}，∁UM＝{6}，则U等于（　　）

A．{0,2,4,6}B．{0,2,4}

C．{6}D．∅

A　[∵M＝{0,2,4}，∁UM＝{6}，

∴U＝M∪∁UM＝{0,2,4,6}，故选A.]

3．若集合A＝{x|x>1}，则∁RA＝________.

{x|x≤1}　[∵A＝{x|x>1}，

∴∁RA＝{x|x≤1}．]

【合作探究】

补集的运算

【例1】　

（1）已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________；

（2）已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________.

（1）{2,3,5,7}　

（2）{x|x<－3或x＝5}　[

（1）法一（定义法）：

因为A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．

又∁UB＝{1,4,6}，

所以B＝{2,3,5,7}．

法二（Venn图法）：

满足题意的Venn图如图所示．

由图可知B＝{2,3,5,7}．

（2）将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．

由补集的定义可知∁UA＝{x|x<－3或x＝5}．]

求集合的补集的方法

1定义法：

当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解.

2Venn图法：

借助Venn图可直观地求出全集及补集.

3数轴法：

当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题.

1．

（1）设集合A＝{x∈N*|x≤6}，B＝{2,4}，则∁AB等于（　　）

A．{2,4}　　　　B．{0,1,3,5}

C．{1,3,5,6}D．{x∈N*|x≤6}

（2）已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，则∁UA＝______.

（1）C　

（2）{x|0

（1）因为A＝{x∈N*|x≤6}＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{2,4}，所以∁AB＝{1,3,5,6}．故选C.

（2）如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，∁UA＝{x|0

集合交、并、补集的综合运算

【例2】　设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2

[解]　把集合A，B在数轴上表示如下：

由图知∁RB＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2

因为∁RA＝{x|x<3，或x≥7}，

所以（∁RA）∩B＝{x|2

解决集合交、并、补运算的技巧

1如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.

2如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.

2．全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，（∁UB）∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，（∁UA）∩（∁UB）＝{4,6,7}，求集合A，B.

[解]　法一（Venn图法）：

根据题意作出Venn图如图所示．

由图可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}．

法二（定义法）：

（∁UB）∩A＝{1,9}，（∁UA）∩（∁UB）＝{4,6,7}，∴∁UB＝{1,4,6,7,9}．

又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，

∴B＝{2,3,5,8}．

∵（∁UB）∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，

∴A＝{1,3,9}．

与补集有关的参数值的求解

[探究问题]

1．若A，B是全集U的子集，且（∁UA）∩B＝∅，则集合A，B存在怎样的关系？

提示：

B⊆A.

2．若A，B是全集U的子集，且（∁UA）∪B＝U，则集合A，B存在怎样的关系？

提示：

A⊆B.

【例3】　设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2

[思路点拨]　法一：

法二：

[解]　法一（直接法）：

由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}．

因为B＝{x|－2

所以－m≤－2，即m≥2，

所以m的取值范围是{m|m≥2}．

法二（集合间的关系）：

由（∁UA）∩B＝∅可知B⊆A，

又B＝{x|－2

结合数轴：

得－m≤－2，即m≥2.

1．（变条件）将本例中条件“（∁UA）∩B＝∅”改为“（∁UA）∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？

[解]　由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x<－m}，又（∁UA）∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4.

2．（变条件）将本例中条件“（∁UA）∩B＝∅”改为“（∁UB）∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？

[解]　由已知A＝{x|x≥－m}，

∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}．

又（∁UB）∪A＝R，

所以－m≤－2，解得m≥2.

由集合的补集求解参数的方法

1如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解.

2如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解.

1．求某一集合的补集的前提必须明确全集，同一集合在不同全集下的补集是不同的．

2．补集作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思路，在正向思维受阻时，改用逆向思维，如若直接求A困难，则使用“正难则反”策略，先求∁UA，再由∁U（∁UA）＝A求A.

【课堂达标】

1．思考辨析

（1）全集一定含有任何元素．（　　）

（2）集合∁RA＝∁QA.（　　）

（3）一个集合的补集一定含有元素．（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）×

2．U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则（∁UA）∪B为（　　）

A．{1,2,4}　　B．{2,3,4}

C．{0,2,3,4}D．{0,2,4}

D　[∵∁UA＝{0,4}，B＝{2,4}，∴（∁UA）∪B＝{0,2,4}．]

3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则（∁RS）∪T等于（　　）

A．{x|－2

C．{x|x≤1}D．{x|x≥1}

C　[因为S＝{x|x>－2}，

所以∁RS＝{x|x≤－2}．

而T＝{x|－4≤x≤1}，

所以（∁RS）∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．]

4．已知全集U＝{2,0,3－a2}，U的子集P＝{2，a2－a－2}，∁UP＝{－1}，求实数a的值．

[解]　由已知，得－1∈U，且－1∉P，

因此

解得a＝2.

当a＝2时，U＝{2,0，－1}，

P＝{2,0}，∁UP＝{－1}，满足题意．

因此实数a的值为2.

《补集》专题训练

[合格基础练]

一、选择题

1．若全集U＝{0,1,2,3}且∁UA＝{2}，则集合A的真子集共有（　　）

A．3个　　B．5个

C．7个D．8个

C　[A＝{0,1,3}，真子集有23－1＝7个．]

2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）＝（　　）

A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}

C．{x|0≤x≤1}D．{x|0

D　[由题意可知，A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}，所以∁U（A∪B）＝{x|0＜x＜1}．]

3．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U（A∪B）＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁UB等于（　　）

A．{3}　　　B．{4}C．{3,4}　　　D．∅

A　[∵U＝{1,2,3,4}，∁U（A∪B）＝{4}，

∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，

∴{3}⊆A⊆{1,2,3}．

又∁UB＝{3,4}，∴A∩∁UB＝{3}．]

4．设全集U为实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x≥3或x<1}都是全集U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（　　）

A．{x|－2≤x<1}B．{x|－2≤x≤2}

C．{x|1

A　[阴影部分表示的集合为N∩（∁UM）＝{x|－2≤x<1}，故选A.]

5．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁IM＝∅，则M∪N等于（　　）

A．M　　　　B．NC．I　　　　D．∅

A　[因为N∩∁IM＝∅，所以N⊆M（如图），所以M∪N＝M.

二、填空题

6．设全集U＝R，A＝{x|x<1}，B＝{x|x>m}，若∁UA⊆B，则实数m的取值范围是