1北京市房山区高三年级第一学期期末数学试题答案.docx
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1北京市房山区高三年级第一学期期末数学试题答案
房山区2019-2020学年度第一期末期末检测
高三数学
本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无
效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
A1）已知集合（1x2B0,1,2,3ABx，则，≤≤
0,11,0,1）（B（A）
1,0,1,20,1,2）D（C（）
izz2）已知复数（的虚部为，则i2
12）（B（A）33
12）D（（C）33
aaa6S{a}S{a}（3）等差数列
n的前项和，则，中，若为n74n71n
2821（A）（B）
147））D（C（320203门统一高考成绩和考生选考门年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语）从4（的AB、、．等级性考试成绩位次由高到低分为普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成A15%BECD40%C30%D，、，各等级人数所占比例依次为：
，等级等级等级，、E1%20014%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取等级，等级
AB等级的学生人数为或人作为样本，则该样本中获得5580）（A）（B11090D（）（C）
）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（5
1
22
正（主）视图侧（左）视图11
俯视图
2A）（4）（B
33
42）（DC（）
5π5πM（costan26）若点（的终边上，则）,sin在角
66
33））（B（A
33
33（）D）（C
22CPxQy1PQ（7）已知双曲线的方程为分别在双曲线的左支和右支上，则直线，点，的
4
斜率的取值范围是
）11（（2,2））（A）B（
221）（,）1（,（D）（）（2,2）,（C）
22πbb3aa||ba”是“与夹角为”的均为单位向量，则“）设（8，
3
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（D（C）充分必要条件）既不充分也不必要条件
MABPBCCBCBDABCDA及其边界中，在平面的中点，动点为棱）如图，在正方体（9111111
PMAPD的轨迹为，则动点上运动，总有1
D1C1
BA11
DC
ABM
（A）两个点（B）线段
）圆的一部分（C（D）抛物线的一部分
（）．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名10具体积分规则1如表．
2所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表
1表田径综合赛项目及积分规则
积分规则项目
0.150.15
秒扣分，每多秒加6013100分为标准，每少以秒得米跑分
0.0220.0221.260分跳高分为标准，每多米加米得分，每少米扣以5600.10.111.55
以米得分为标准，每多掷实心球米加分，每少米扣分
表2某队模拟成绩明细
100米跑（秒）跳高（米）掷实心球（米）姓名
1.2411.813.3甲
11.41.312.6乙
11.71.2612.9丙
11.61.2213.1丁
根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是：
（B）乙）甲（A
）丁DC）丙（（
第二部分（非选择题共110分）
6小题，每小题5分，共30分。
二、填空题共
M（2,0）N（0,2）MN为直径的圆的方程为）已知点，以线段，（11___________．
a）f（x）f
（2）（x1）（x___________．（12）若函数是偶函数，则
}aanSSS{a，请写出一个符合上述条件的项和，且其前满足满足13）已知数列（nnnnnn11a数列的通项公式__________．n
π）（0f（x）f（x）cos（2x+，___________若周期为的最小（14）已知正若，）
2πx都成立，则____________.）f（f（x）对任意的实数≤
12
2x,x1,f（x））已知函数（15x21.xa,≤
a1f（x）时，函数①当；__________的值域是
1ayf（x）只有一个公共点，则实的取值范围是．__________的图象与直线②若函数
数ABCD12ADAB1,2,3,4,5,6）（i1，中，当每个）已知矩形（16时，取遍i
CDABBD|DAAC|BC___________，最大值是的最小值是3
164
2
5
___________．
三、解答题共6题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（17）（本小题13分）
333BCCDABCDABsinDBC33AB，，，中，，如图，在平面四边形
14
C.A3
sinBDC（Ⅰ）求的值；
DBDAD.，（Ⅱ）求的值
BC
（18）（本小题13分）
某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养茶业．该县农科
20两种茶叶各，B，B两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了A所为了对比A亩，所
得亩产数据（单位：
千克）如下：
41.347.348.149.251.251.352.753.354.255.356.457.658.9，，，，，，A：
，，，，，，，
59.359.659.760.660.761.162.2；，，，，，，
46.348.248.348.949.250.150.250.350.751.552.352.552.6，，，，，，，，，，，，，B：
52.753.454.955.656.756.958.7；，，，，，，55的概率；两种茶叶亩产数据中各任取BA，个，求这两个数据都不低于1（Ⅰ）从
55XX2的个数为的分布个，记这两个数据中不低于，求品种茶叶的亩产数据中任取B（Ⅱ）从
列及数学期望；A还是茶叶B？
说明理由．（Ⅲ）根据以上数据，你认为选择该县应种植茶叶
（19）（本小题14分）AD//BCCDPADABCDPADP，为等边三角形，，△中，平面如图，在四棱锥
ADCD2BC2EFPDPB．，，，的中点分别为棱
P
AEPCD（Ⅰ）求证：
；平面
AEFPAD所成锐二面角的余弦值；与平面（Ⅱ）求平面E
FAEFDG//PCG？
上是否存在点，使得平面（Ⅲ）在棱
DCPG
若存在，求．的值，若不存在，说明理由
PCB
A
（20）（本小题14分）
xy22（0,2）E1（ab0）（2,0），且经过点的右焦点为：
已知椭圆．
22ba
E的方程以及离心率；（Ⅰ）求椭圆
EPx4xmQykx轴是否存在定．在相交于点与椭圆相切于点，与直线（Ⅱ）若直线
MQMMMP的坐标；若不存在，说明理由点？
若存在，求出点．，使
（21）（本小题13分）
f（x）（2x1）lnxx1.已知函数
f（x）（1,f
（1））y处的切线方程；在点（Ⅰ）求曲线
f（x）1.（Ⅱ）求证：
（22）（本小题13分）
aa5ann构成的集合，，，的正整数，考察个不同的正整数设为给定的不小于n21
PP},a,,aP{a的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等，，若集合为则称集合n21
“差异集合”．
A{1,3,8,13,23}B{1,2,4,8,16}，集合是否是“差异集合”；（只需写出结分别判断集合（Ⅰ）
论）
i1（i1,2,,n）{b}2ab},a,,a{aP的是“差异集合”，记，求证：
数列（Ⅱ）设集合inii21
k0（k1,2,,n）D≥；项和前k
111,,aP{a设集合（Ⅲ）},a的最大值．是“差异集合”，求21n
aaa21n
房山区2019-2020学年度第一学期期末检测答案
高三数学
分，共40分）一、选择题（每小题5
题号23451678910
答案BDBCCABADC
分，共303分，第二空2分）分，有两空的第一空二、填空题（每小题5
22（x1）（y1）211）（
3）（1211
n1）
（1）（或）（13（答案不唯一）
2n
（14）；
6
（,1]（1,1]；）（15
021716）；（
三、解答题（共6小题，共80分）
（17）（本小题13分）解：
22sinDBCcossinDBC1,0DBC33DBC，（Ⅰ）∵
214
13∴
cosDBC14BDCCDBCBDC,C=中，在△3DBCcossinsinCDBCcosCsin（DBCBDCC）sin∴
33113343
2141427
BD3BDCBDCD中，由正弦定理得（Ⅱ）在△，即
333sinCsinDBC
214
BD7解得
33sinDBCABD，∵DBC，
142
33cosABD∴
14
ABDAB33中，在△，根据余弦定理，
222ADBDABBDcosABD2AB
223）（3749332337
14
AD7解得
分）（18）（本小题13
解：
个，1155的有（Ⅰ）从A种茶叶亩产数据中任取一个，不低于
个，的有554从B种茶叶亩产数据中任取一个，不低于
A”为事件设“所取两个数据都不低于55，则
11114=P（A）=
1002020
X0,1,2的所有可能取值为（Ⅱ）
60CCP（X020）==，416
2C9520
32CCP（X1）=
11=，416
2C9520
3CCP（X202）=
=，416
2C9520
X的分布列为
X210
31232P959519231232E（X）0期望21
5199595．的亩产数据的中位数或平均值比AA，可以从（Ⅲ）如果选择高等方面叙述理由B
如果选择B，可以从B的亩产数据比A的方差小，比较稳定等方面叙述理由．
分）19）（本小题14（
解：
AEPAD（Ⅰ）因为ADPADCD平面
PAD，，平面平面
ADCDAECD所以，．PADPDE为等边三角形，又因为△，为的中点AEPD．所以AEPCD所以．平面
ADOOB//CDOB
ADOBOPOP,OB，的中点，，连结（Ⅱ）取，则易知．
PADOPAD为等边三角形，所以因为△．
OOA、OB、OPx、y、z所在直线分别为为原点，以以轴如图建系，
133
z）,B（0,2,0））,F（0,1,,0,A（1,0,0）,E（P222
1E33,1,0）（AE（EF,0,）F，
2C22D
AEFn（x,y,z）的法向量设平面，则：
OB
y
Azx3300nAEx22，，即
1nEF00xy2
AEFnx2（2,1,23）的一个法向量，得平面令
PADOB（0,2,0）的一个法向量为易知平面
OBn217cosOB,n
12171OBn24
17PADAEF．所成锐二面角的余弦值为所以平面与平面
17
DG//AEFPCG，且，使得上存在点平面（Ⅲ）假设棱
PG,0,1PGPC设，则，
PC
P（0,03）,C（1,2,0）,D（1,0,0）PC（1,2,3）G（,2,33），则，
DG（1,2,33）
4AEFDG//06262DG2n，得，则平面要使得，5
PGAEFDG//PCG，，使得所以线段平面上存在点4．
5PC
（20）（本小题14分）
222a2cbb28c，，（Ⅰ）由已知得，
x2E2的方程为椭圆y1
48
c2e离心率为2a
MMMPMQ（0），2x使，轴存在定点为（Ⅱ）在
证明：
ykxm设直线方程为
2222222xy（2k81x2mm）1）x82（kx4kmx0代入，化简得得
48
2222222m8k8k4（2km1）（2m（4km）04048），，得，由
2km8kx22k1m
22m8k8k8k48k4xmy,y）kxmkP（x，则,）P（，设，则00000
mmmmmm
）yQ（4,4km）Q（4,ym4k，则设，则11
（x）（2,y）MPMQ2,yyy2（x2）100001
8k416k4042（4k（m）4km）
（2）
mmmm
MMPMQ0，2x．使所以在轴存在定点
）（y,yP（x0）M（x,0）．与解法二：
由椭圆的对称性不妨设000
222
xxxy0y112得．k得
2y4880
）xxyy4x（x，令切线方程为得000
2y0
22x2x4xx2y2（x2）4000000（4x）yy）Q（4,．，
010y2y2yy0000
2（x2）02,y2,y）2（x）0（y（xMP2）MQ．所以，00010y0
0，2MQMMPx．轴存在定点使所以在
分））（本小题13（21
f'（x）f（x）32lnx1（2x1）lnxx1，得（Ⅰ）由
x
f
（1），2f
（1）0
y22x则切线方程为.
1）（0,3,xf'（x）2lnx，1：
（Ⅱ）证法x
1）（0,3,xh（x），令2lnx
x
12x12h（x））（0,0.上单调递增在，故h'（x）22xxxe1又ln
0,h（h
（1）2））（0,h（x）ln410上连续，，又在
421（x0）f'（x）,1）h（x0，即使得，000212lnx30）（.*0x0f'（x）,f（x）x的变化情况如下：
随x）,x（0,x）（x000f'（x）0f（x）↗极小值↘
x）（2x1）lnxf（x）f（x1.0000min
31，代入上式得lnx）式得由（*02x20
1）1）（
3）（2xf（x）xf（x2x131.
00min00
2x2x220013令,1）,x（t（x），12x
22x21t（x）（0,1）.，故上单调递减在2x）t'（x）1（122x）（1
222x2x2
t
（1）t
（1）t（x）1，又，.
）f（x）1f（x1即.0
f（x）（0,）1,xlnxx1）lnxx12xlnx（2x，证法2：
）h（x）2xlnx,t（x）lnx（0,x1,x，令
1h'（x）1）2（lnxh'（x），令x.0得
e
h'（x）,h（x）的变化情况如下：
x随
1x,（）1（0,1）
eee
h'（x）0
h（x）↘极小值↗
1）h（2xlnxh（x）x122，即，当且仅当时取到等号.min
eeee
x1x10t'（x）.得t'（x），令
x
t'（x）,t（x）的变化情况如下：
随x
x（0,1）1（1,）
t'（x）0
t（x）↘极小值↗
xxt（x）101lnxt
（1）0，当且仅当，即时取到等号.min
21x1）lnx2xlnx（.e
f（x）1.即
（22）（本小题13分）
A1233813{3,8,13}{1,23}元素之和相等；，即子集（Ⅰ）集合不是，因为与子集
BB的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等集合是，因为集合.
P是“差异集合”知：
（Ⅱ）由集合
kk
122},,a{a,a,a1个非空子集元素和为互不相等的的个正整数，k213
ka2aa1于是，1k2
所以
01k1）D））（a2（a（a22kk21
k）（2a（aa1）0k21
aaaa（Ⅲ））不妨设，考虑21n31））（）（）（
111111（1n1
aa2a4a2n231
n122aa1aa4n213
n1aa2a4a2213nDDDDDDD2n2131n1
n1aa22a4an123
11111110）D（D）（D）D（n1n22n1n1n12aaaa22a2a2a22n212n3n111211111112，所以而
222aaa2421nn1n1n1
；1111n1P,2{1,2,4,当2}1
时，naa2an121111综上，.n2aaa2的最大值为1n12
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