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1、1北京市房山区高三年级第一学期期末数学试题答案 房山区 2019-2020 学年度第一期末期末检测 高三数学 本试卷共 5 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无 效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 A 1）已知集合（1 x 2 B0,1,2,3 A Bx，则， 0,11,0,1）（B（ A） 1,0,1,20,1,2）D（ C（） i z z 2）已知复数（的虚部为，则 i2 12 ）（B（ A） 3

2、3 12 ）D（ C） 33 aaa6S aS a （ 3）等差数列 n的前项和，则，中，若为 n 7 4 n7 1n 2821（ A）（B） 147）D（ C（ 32020 3 门统一高考成绩和考生选考门年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语）从 4（ 的 AB、等级性考试成绩位次由高到低分为普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成 A15% B E CD40%C30%D，、，各等级人数 所占比例依次为：，等级等级等级，、 E 1% 200 14% 现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取等级，等级 A B 等级的学生人数为或人作为样本，则该样本中获得 5580 ）（A

3、）（B 11090 D（） （C） ）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ 5 1 22 正（主）视图 侧（左）视图 11 俯视图 2 A）（4）（B 33 42 ） （DC（） 55 M (cos tan 2 6）若点（的终边上，则) ,sin 在角 66 33 ）（B（ A 33 33（）D）（ C 22CPx Q y 1PQ （ 7）已知双曲线 的方程为分别在双曲线的左支和右支上，则直线，点，的 4 斜率的取值范围是 ,)11(2,2) ）（A） B（ 22 1)(, )1(, （D）()(2,2), （C） 22 bb3 a a |b a”是“与夹角为”的均为单位向量，则“）

4、设（ 8 ， 3 （ A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （D（ C）充分必要条件）既不充分也不必要条件 MABP BCC B CBD ABCD A及其边界中，在平面的中点，动点为棱）如图，在正方体（ 9111111 P M AP D的轨迹为，则动点上运动，总有1 D 1C 1 B A11 D C A B M （ A）两个点（B）线段 ）圆的一部分（ C（D）抛物线的一部分 （）已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名 10具体积分规则 1如表 2所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表 1表田径综合赛项目及积分规则 积分规则项目 0.1 5 0.1 5 秒扣分，

5、每多秒加60 13 100 分为标准，每少以秒得米跑分 0.0220.0221.260 分跳高分为标准，每多米加米得分，每少米扣以 5600.10.111.55 以米得分为标准，每多掷实心球米加分，每少米扣分 表 2 某队模拟成绩明细 100 米跑（秒）跳高（米）掷实心球（米）姓名 1.2411.813.3甲 11.41.312.6乙 11.71.2612.9丙 11.61.2213.1丁 根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是： （B）乙）甲（ A ）丁D C）丙（ 第二部分 （非选择题 共 110 分） 6 小题，每小题5 分，共 30 分。二、填空题共 M (2,0)N (0,2) M

6、N 为直径的圆的方程为 ）已知点 ，以线段 ，（ 11_ a) f ( x)f (2) ( x 1)(x_（ 12）若函数 是偶函数，则 aa n S SS a，请写出一个符合上述条件的项和，且其前满足 满足 13）已知数列（nnnnnn 1 1 a数列的通项公式_ n )(0f (x) f (x) cos(2x+， _若周 期 为的 最 小 （ 14 ）已 知正 若， ) 2 x 都成立，则_.) f (f ( x) 对任意的实数 12 2x ,x1, f ( x)）已知函数（ 15 x2 1.x a, a1 f( x) 时，函数当；_的值域是 1a yf ( x)只有一个公共点，则实的取值

7、范围是_ 的图象与直线若函数 数 ABCD 12 ADAB1,2,3, 4,5,6)(i1，中，当每个）已知矩形（ 16时， 取遍 i CDABBD |DAAC|BC_，最大值是的最小值是 3 1 6 4 2 5 _ 三、解答题共 6 题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （ 17）（本小题 13 分） 3 3 3 BC CDABCD ABsin DBC3 3AB，中，如图，在平面四边形 14 C.A 3 sinBDC （）求的值； D BD AD .，（）求的值 BC （ 18）（本小题 13 分） 某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养茶

8、业该县农科 20 两种茶叶各，B ， B 两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了A所为了对比 A亩，所 得亩产数据（单位：千克）如下： 41.347.348.149.251.251.352.753.354.255.356.457.658.9， ， ， ， ， A：， ， ， ， ， ， 59.3 59.6 59.7 60.6 60.7 61.1 62.2 ；， 46.348.248.348.949.250.150.250.350.751.552.352.552.6， ， ， ， ， ， ， ， ， ， B： 52.7 53.4 54.9 55.6 56.7 56.9 58.7 ；， 55

9、 的概率；两种茶叶亩产数据中各任取 B A，个，求这两个数据都不低于1 （）从 55 XX2 的个数为的分布个，记这两个数据中不低于，求品种茶叶的亩产数据中任取B （）从 列及数学期望； A 还是茶叶B？说明理由（）根据以上数据，你认为选择该县应种植茶叶 （ 19）（本小题 14 分） AD / BCCDPAD ABCD PAD P，为等边三角形，中，平面如图，在四棱锥 AD CD 2BC 2 E F PD PB ，的中点分别为棱 P AE PCD（）求证： ；平面 AEF PAD 所成锐二面角的余弦值；与平面（）求平面 E F AEFDG / PC G ？上是否存在点，使得平面（）在棱 DC

10、 PG 若存在，求的值，若不存在，说明理由 PC B A （20 ）（本小题 14 分） xy22(0, 2) E 1(a b 0) (2,0) ，且经过点的右焦点为：已知椭圆 22ba E 的方程以及离心率；（）求椭圆 EPx4 x m Qykx轴是否存在定在相交于点与椭圆相切于点，与直线（）若直线 MQ M M MP的坐标；若不存在，说明理由点？若存在，求出点，使 （ 21）（本小题13 分） f ( x)(2 x1)ln x x 1 .已知函数 f ( x) (1, f (1)y处的切线方程；在点（）求曲线 f ( x)1.（）求证： （ 22）（本小题13 分） a a 5 an n

11、构成的集合，的正整数，考察个不同的正整数设为给定的不小于n21 P P , a , aP a的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等，若集合为则称集合n21 “差异集合” A 1,3,8,13,23 B 1,2,4,8,16，集合是否是“差异集合” ；（只需写出结 分别判断集合（） 论） i1 (i 1,2, , n) b 2 a b , a , ,a a P的是“差异集合” ，记，求证：数列（）设集合inii21 k 0 (k1,2, , n) D；项和前k 111 , , a P a设集合（） , a的最大值是“差异集合” ，求21 n aaa21n 房山区 2019-2020 学年

12、度第一学期期末检测答案 高三数学 分，共 40分）一、选择题（每小题5 题号23451678910 答案BDBCCABADC 分，共 303 分，第二空 2 分）分，有两空的第一空二、填空题（每小题5 22(x 1)( y 1)2 11）（ 3 ） （ 1211 n 1)( 1) (或 ）（ 13（答案不唯一） 2n （14）； 6 (,1 ( 1,1；） （ 15 02 17 16）；（ 三、解答题（共 6 小题，共 80 分） （ 17）（本小题 13 分）解： 22 sin DBC cos sinDBC 1,0DBC3 3DBC，（） 214 13 cosDBC 14 BDC CDBCB

13、DC,C =中，在 3 DBCcossinsin CDBC cosCsin(DBCBDCC ) sin 33113343 2141427 BD3 BDC BDCD中，由正弦定理得（）在，即 33 3sin Csin DBC 214 BD7解得 33 sinDBC ABD ，DBC， 142 33 cosABD 14 ABD AB3 3中，在，根据余弦定理， 222AD BD ABBD cos ABD2AB 223) (3749332 337 14 AD7解得 分）（ 18）（本小题13 解： 个， 11 55 的有（）从 A 种茶叶亩产数据中任取一个，不低于 个，的有55 4从 B 种茶叶亩产

14、数据中任取一个，不低于 A ”为事件设“所取两个数据都不低于55，则 11114 =P( A)= 1002020 X 0,1,2的所有可能取值为（） 60CCP(X020)= =， 416 2C9520 32CCP(X1)= 11=， 416 2C9520 3CCP(X202)= = ， 416 2C9520 X 的分布列为 X210 31232 P 959519 231232 E(X) 0期望21 5199595 的亩产数据的中位数或平均值比A A，可以从（）如果选择高等方面叙述理由B 如果选择 B，可以从 B 的亩产数据比 A 的方差小，比较稳定等方面叙述理由 分）19）（本小题 14 （

15、 解： AE PAD （）因为 AD PAD CD平面 PAD，平面平面 ADCD AECD所以， PAD PD E 为等边三角形，又因为，为 的中点 AE PD 所以 AEPCD所以平面 AD O OB / CD OB AD OBOP OP, OB，的中点，连结（）取，则易知 PAD OPAD 为等边三角形，所以因为 O OA、 OB、 OP x、y、 z 所在直线分别为为原点，以以轴如图建系， 133 z ), B(0, 2,0), F (0,1, ,0,A(1,0,0), E( P 222 1E 33 ,1,0)( AE ( EF,0,)F， 2C22D AEF n( x, y, z)

16、的法向量设平面，则：O B y A zx3 3 0 0n AEx 22 ，即 1n EF0 0x y 2 AEF n x 2(2, 1,23)的一个法向量，得平面令 PAD OB(0, 2,0)的一个法向量为易知平面 OB n217 cos OB,n 12171OB n 2 4 17 PAD AEF 所成锐二面角的余弦值为所以平面与平面 17 DG /AEF PC G ，且，使得上存在点平面（）假设棱 PG,0,1 PGPC 设，则， PC P(0,0 3), C( 1,2,0), D( 1,0,0) PC ( 1,2, 3) G( , 2 , 33 )，则， DG (1,2, 33) 4 A

17、EF DG / 0 6262DG2n，得，则平面要使得， 5 PGAEFDG / PC G ，使得所以线段平面上存在点4 5PC （ 20）（本小题14 分） 222 a2 cb b2 8c，（）由已知得， x2 E 2的方程为椭圆y1 48 c2 e离心率为 2a M M MPMQ(0)，2 x使，轴存在定点为（）在 证明： ykxm设直线方程为 2222222 xy (2k 81 x2mm)1)x82( kx4kmx0代入，化简得得 48 2222222 m8k8k 4(2km1)(2m(4km)0 4048)，得，由 2km8k x 22k1m 22m8k8k8k48k4 xm y ,

18、y ) kxm k P(x，则, ) P(，设，则00000 mmmmmm ) yQ(4,4km) Q( 4, y m 4k，则设，则11 (x ) (2, y)MP MQ2, y yy2( x2)100001 8k416k4 042(4k(m)4km)(2) mmmm M MPMQ 0，2 x 使所以在轴存在定点 )( y , yP(x0) M (x,0) 与解法二：由椭圆的对称性不妨设000 222 xxxy0 y1 12得 k 得 2 y4880 ) xx y y4x( x，令切线方程为得000 2 y0 22x 2x4xx2 y2( x2)4000000 ( 4 x ) yy ) Q(

19、 4,， 01 0y 2 y2 yy0000 2( x2)0 2, y2, y )2( x )0 (y( x MP2)MQ所以，00010 y0 0，2MQ M MP x轴存在定点使所以在 分）（本小题13 （ 21 f (x) f ( x)32ln x1(2 x 1)ln xx1，得（）由 x f (1)，2f (1)0 y2 2 x则切线方程为. 1 ) (0,3, xf ( x) 2lnx， 1：（）证法 x 1 ) (0,3, x h(x)，令2ln x x 12 x12 h( x) (0, 0 .上单调递增在，故h ( x) 22xxx e1又ln 0, h( h(1) 2 ) (0

20、,h(x)ln 41 0 上连续，又在 42 1 (x0 )f ( x ),1) h(x0 ，即使得，00 0 2 1 2ln x 3 0）（.*0 x0 f (x), f (x) x的变化情况如下：随 x) ,x(0, x )( x 000 f ( x)0 f (x) 极小值 x ) (2 x1)lnxf (x) f ( x1 .0000min 31 ，代入上式得ln x ）式得由（ * 02x20 1)1)( 3 ) (2 xf ( x) xf ( x2x131. 00min00 2x2x2200 13令,1) , x( t (x)，12x 22 x2 1t (x) (0 ,1) .，故上

21、单调递减在2x)t (x)1(122x)(1 222 x2x2 t (1) t(1)t (x)1 ，又，. )f (x)1 f ( x1 即.0 f ( x)(0, )1,xln xx1)lnxx12 x ln x(2 x， 证法 2： ) h(x)2x ln x, t (x)ln x(0,x1,x，令 1 h (x)1)2(ln xh(x)，令 x.0 得 e h(x), h( x) 的变化情况如下：x随 1x ,( )1(0,1) eee h (x)0 h(x)极小值 1 )h( 2 xln xh( x) x122，即，当且仅当时取到等号 . min eeee x1 x 1 0 t (x)

22、.得 t (x)，令 x t (x),t (x) 的变化情况如下：随x x(0,1)1(1,) t (x)0 t (x)极小值 x xt( x) 101ln x t (1) 0，当且仅当，即时取到等号 .min 2 1x1)ln x2 xln x(. e f ( x) 1. 即 （ 22）（本小题 13 分） A 1 23 3 8 13 3,8,131,23元素之和相等；，即子集（）集合不是，因为与子集 B B 的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等集合是，因为集合. P 是“差异集合”知：（）由集合 kk 122 , , a a, a , a1个非空子集元素和为互不相等的的个正整数，

23、k213 k a2aa1于是，1k2 所以 01k 1 )D) ) ( a2(a(a22kk21 k ) (2a(aa1) 0k21 aaa a （）不妨设，考虑21 n3 1) () ()( 11111 1 (1n 1 aa2 a4 a2n231 n 1 2 2 aa 1 aa4n213 n 1 aa2a4a2213n D DDD D DD2n2131 n 1 n 1 aa22a4an123 1111111 0) D (D) ( D) D(n1 n 22 n 1 n 1n 1 2aaaa22a2a2a22n212n3 n 1 11211 111112 ，所以而 222aaa2 421n n 1n 1n 1 ；1111 n1 P, 21, 2, 4,当2 1 时， naa2an12 1111 综上， .n2aaa 2的最大值为1 n12