MBA联考数学方程和不等式四.docx

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MBA联考数学方程和不等式四

MBA联考数学-方程和不等式（四）

（总分：

126.00，做题时间：

90分钟）

一、问题求解

（总题数：

42，分数：

126.00）

1.不等式的解集为（）·

（A）0.1＜x＜1（B）-0.1＜x＜1

（C）0.1＜x＜100（D）0.1＜x＜1或x＞100

（E）以上结论均不正确

 A.

 B.

 C.

 D. √

 E.

通分为，即，当lgx＞0时，三项都为正数，所以解为-1、0、2．

．

2.不等式组表示的平面区域是（）．

 A.

 B.

 C.

 D. √

 E.

x＞2，x-y+3＜0分别如图2.3.2（a）和（b）所示，从而合并以后如图2.3.2（C）所示．

3.关于x的方程的解为（）．

 A.

 B.

 C. √

 D.

 E.

（2x）2+2·2x-2=0，令t=2x，

则原式可变为t2+2t-2=0，解得t=，

其中舍去，

则，

所以.

4.已知m、n是方程x2-3x+1=0的两个实根，则2m2+4n2-6n的值为（）．

（A）4（B）12（C）15（D）17（E）18

 A.

 B. √

 C.

 D.

 E.

由韦达定理，m+n=3，mn=1，又（m+n）2=9，m2+n2+2mn=9，则m2+n2=9-2·1=7，所以2m2+4n2-6n=2m2+2n2+2n2-6n=2（m2+n2）+2n（n-3）=2（m2+n2）+2n（-m）=2（m2+n2）-2mn=2·7-2·1=12．

5.已知方程x3+2x2-5x-6=0的根为x1=-1，x2，x3，则=（）．

 A.

 B. √

 C.

 D.

 E.

x3+2x2-5x-6=（x+1）（x2+x-6），所以x2，x3是方程x2+x-6=0的两根，则根据韦达定理有．

6.分式不等式的解集为（）．

（A）-3＜x＜3（B）-2＜x＜3

（C）-13＜x＜3（D）-3＜x＜14

（E）以上结论均不正确

 A.

 B. √

 C.

 D.

 E.

原不等式，所以原不等式的解为-2＜x＜3．

7.不等式（1+x）（1-|x|）＞0的解集为（）．

（A）x＜1且x≠-1（B）x＜1且x≠-2

（C）x＜1且x≠-3（D）x＜1

（E）以上结论均不正确

 A. √

 B.

 C.

 D.

 E.

原不等式

8.已知分式的值恒小于1，那么实数k的取值范围是（）．

（A）k＞1（B）k≤3（C）1＜k＜3（D）1≤k≤3

（E）以上结论均不正确

 A.

 B.

 C. √

 D.

 E.

原式中分母恒大于0，所以只需2x2+2kx+k＜4x2+6x+3，即保证2x2+（6-2k）x+（3-k）＞0，又可知Δ=k2-4k+3，当1＜k＜3时△＜0．

9.已知方程x2+（t-2）x-t=0有一个根是2，则方程x2+（t-3）x-4=0的解是（）．

（A）2或-2（B）2或3（C）4或-1（D）3或4

（E）以上答案均不正确

 A.

 B.

 C. √

 D.

 E.

将x=2代入方程x2+（t-2）x-t=0得t=0，再代入方程式x2+（t-3）x-4=0中即：

x2-3x-4=（x-4）（x+1）=0，方程解为：

x1=4，x2=-1．

10.若a＞0，b＜0，则函数y=ax2+bx的图像是（）．

 A.

 B.

 C. √

 D.

 E.

由已知条件a＞0，b＜0，且没有常数项，则对称轴，且图像过原点，从而知道图像过一、二、四象限，显然C满足条件．

此题也可以用特值法：

取a=1，b=-2，则y=x2-2x=（x-1）2-1，其顶点坐标是（1，-1），在第四象限，且开口向上，故选择C．

11.设x1，x2是方程2x2-8x+5=0的两个根，则的值是（）．

 A.

 B. √

 C.

 D.

 E.

12.已知方程x3-2x2-2x+1=0有三个根x1，x2，x3，其中z1一一l，则|x2-x3|等于（）．

 A.

 B.

 C. √

 D.

 E.

，x1、x3是x3-3x+1=0的根，x1+x3=3，x1·x3=1，则．

13.已知不等式（a+b）x+（2a-3b）＜0的解集为，则关于x的不等式（a-3b）x+（b-2a）＞0的解集为（）．

 A.

 B.

 C.

 D. √

 E.

原不等式即为（a+b）x＜3b-3a，由已知，它的解为，

则必然a+b＞0，从而，得a=2b．

因为a+b＞0，所以3b＞0，所以b＞0．

将a=2b代入所求解的不等式中，得-bx-3b＞0，即bx＜-3b．

因为b＞0，所以x＜-3，所以所求的解集为：

x∈（-∞，-3）．

14.方程的实数根的个数为（）．

（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个（E）4个

 A.

 B. √

 C.

 D.

 E.

提示：

图像法，y1=|x|，为一条折线；，为一条双曲线，只有一个交点．

15.3x2-8x+a=0有两根的算术平均值为2，则a值是（）．

（A）2（B）3（C）4（D）5（E）6

 A. √

 B.

 C.

 D.

 E.

根据韦达定理，，则

16.已知不等式x2-ax+b＜0的解集是x|-1＜x＜2），则不等式x2+bx+a＞0的解集是（）．

（A）x≠3（B）x≠2（C）x≠1（D）x为R

（E）以上结论均不正确

 A.

 B.

 C. √

 D.

 E.

依题意：

方程x2-ax+b=0的二根为x1=-1，x2=2．由-1+2=a，（-1）．2=b，得a=1，b=-2．则不等式x2+bx+a＞0，即x2-2x+1＞0，即（x-1）2＞0．所以x∈R且x≠1，即解集为x∈（-∞，1）∪（1，+∞）．

17.已知方程2|x|-k=kx-3无负数解，那么k的取值范围是（）．

（A）-2≤k≤3（B）2＜k≤3

（C）2≤k≤3（D）k≥3或k≤-2

（E）以上结论都小正确

 A. √

 B.

 C.

 D.

 E.

先考虑如果有负数解即x＜0，则原方程变为-2x-k=kx-3，即＜0，即k＜-2或k＞3，则无负数解为-2≤k≤3．

18.不等式的解集为（）．

 A.

 B. √

 C.

 D.

 E.

3x+＞29，所以．

设t=3x，则3t2-29t+18＞0，所以，所以x＜．

19.当k满足（）条件时，方程2x2-（k+1）x+（k+3）=0的两根之差为1．

（A）k=2（B）k=3或k=-9

（C）k=-3或k=-9（D）k=6或k=2

（E）以上答案均不正确

 A.

 B.

 C. √

 D.

 E.

设方程的两根为x1，x2，不妨设x1＜x2，则有x2-x1=1，由于（x2-x1）-（x1+x2）2-4x1x2，由韦达定理得：

（x2-x1）2=，由此可以解得：

k=9或者k=-3．

20.若方程（k2+1）x2-（3k+1）x+2=0有两个不同的正根，则k应满足的条件是（）．

（A）k＞1或k＜-7（B）

（C）k＞1（D）

（E）以上答案均不正确

 A.

 B.

 C. √

 D.

 E.

设方程的两根分别为x1，x2，则有x1＞0，x2＞0且x1≠x2．由韦达定理得，x1+，即要求3k+1＞0，得．又根据△=（3k+1）2-8（k2+1）=k2+6k-7=（k-1）（k+7）＞0，知k＞1或k＜-7，综合上述各限制条件可以得出k的最终限制范围，即k＞1．

21.已知方程x2+5x+k=0的两实根的差为3，实数k的值为（）．

（A）4（B）5（C）6（D）7（E）8．

 A. √

 B.

 C.

 D.

 E.

根据△=52-4k≥0，得．不妨设两实根为α、β，且α＞β，则α-β=3，于是（α-β）2=（α+β）2-4αβ=9，根据韦达定理，α+β=-5，αβ=k，得（一5）2-4k=9，解得k=4，又4≤，所以k=4．

22.若曲线y=x3+a2x2+ax-1与x轴有三个交点，其中一个是（-1，0），则非负实数a的值及其他两个交点的距离分别是（）．

 A. √

 B.

 C.

 D.

 E.

3+（-1）3a2+（-1）a-1=0，解得a=2或a=-1（舍去），故曲线为x3+4x2+2x-1，方程为（x2+3x-1）（x+1）=0，另外两根的距离为|x1-x2|=．

23.已知不等式ax2+4ax+3≥0的解集为R，则a的取值范围为（）．

 A.

 B.

 C.

 D.

 E. √

当a=0时，3≥0对任意．x∈R均成立；

24.不等式，则2x2+bx+a＞0的解集为（）．

（A）x＞2（B）x＜-3（C）2＜x＜-3（D）x＞2或x＜-3

（E）以上均不正确

 A.

 B.

 C.

 D. √

 E.

提示：

条件相当于ax2+bx+2=0的两根为，根据韦达定理可知，a=-12，b=2，代入2x2+bx+a＞0即可求出x的范围．

25.已知不等式ax2+bx+a＞0的解集为，则a，b应满足（）．

（A）a＞0，b＞0，2a=5b（B）a＞0，b＞0，5a=2b

（C）a＜0，b＜0，2a=5b（D）a＜0，b＜0，5a=2b

（E）以上答案均不正确

 A.

 B.

 C.

 D. √

 E.

由题意可知，方程ax2+bx+a=0的解为．由韦达定理知，

，

即5a=2b．若a＞0，即二次项系数为正值，

则所得解集应该为，由此可知a＜0，显然亦有b＜0．

26.已知方程x2+2x-3=0和2x2+5x-3=0只有一个公共根，则以其他两根为根的方程是（）．

（A）x2+3x+2=0（B）2x2-3x+1=0

（C）3x2+2x+1=0（D）x2+2x+3=0

（E）以上答案均不正确

 A.

 B. √

 C.

 D.

 E.

方程一化为（x-1）（x+3）=0，解得x1=1，x2=-3；方程二化为（2x-1）（x+3）=0，解得x2=-3，．即求以为解的方程．不妨将所求方程设为x2+bx+c=0，则有-b=x1+x3=，即，故所求方程为x2，即2x2-3x+1=0．

27.已知x1，x2是方程4x2-（3m-5）x-6m2=0的两实根，且，则m的值为（）．

（A）1（B）5（C）7（D）1或5

（E）以上结论均不正确

 A.

 B.

 C.

 D. √

 E.

设两实根为x1=3k，x2=4k．，根据韦达定理，3k+4k=-a，3k·4k=b．

即7k=-a，a=-7k，b=12k2，又Δ=a2-4b=2，所以（-7k）2-4·12k2=2，解得，，所以两实根为，则，又

，整理得m2-6m+5=0，则m=1或5．

当m=1时，有2x2+x-3=0；当m=5时，有2x2-5x-75=0，由于两者的判别式均大于零，所以m=1或m=5即为所求．

28.关于x的方程lg（x2+11x+8）-lg（x+1）=1的解为（）．

（A）1（B）2（C）3（D）3或2

（E）以上结论均不正确

 A. √

 B.

 C.

 D.

 E.

lg（x2+11x+8）=lg（x+1）+lg10=lgl0（x+1），则x2+11x+8=10（x+1），即x2+x-2=0，解得x=1或x=-2，经验证x=-2是增根，舍去，故原方程的解为，x=1．

29.已知不等式，则a的值为（）．

（A）12（B）-6（C）0（D）6

（E）以上结论均不正确

 A. √

 B.

 C.

 D.

 E.

提示：

条件相当于ax2+bx+2=0的两根为，根据韦达定理可知，a=-12．

30.方程有两个实根α、β，α＞β，求=（）．

 A.

 B. √

 C.

 D.

 E.

根据韦达定理：

，

所以．

31.一元二次不等式-3x2+4ax-a2＞0（其中a＜0）的解集是（）．

 A. √

 B.

 C.

 D.

 E.

3x2-4ax+a2＜0，（3x-a）（x-a）＜0，因为a＜0，所以．

32.y=log2（4x2-3x-1）的定义域为（）．

 A. √

 B.

 C.

 D.

 E.

只要4x2-3x-1＞0即可，解得．

33.如果方程有两个不等的正整数根（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0中，整数k的值是（）．

（A）-2（B）3（C）2（D）-3（E）1

 A.

 B.

 C. √

 D.

 E.

△=[36（3k-1）2-4×72（k2-1）]=（k-3）2＞0，

根据题意k≠3．x1，x2=，

且k≠3，又k+1和k-1分别为12和6的正整数约数，于是k=2．

34.已知x1，x2是方程2x2-3x+1=0的两个根，=（）．

（A）2（B）3（C）4（D）1（E）5

 A.

 B. √

 C.

 D.

 E.

因为x1，x2是方程2x2-3x+1=0的两个根，

则，

从而.

35.已知x1、x2是方程x2-（3k+1）x+（3k2-2k+3）=0的两个实根，则的最小值是（）．

 A.

 B.

 C.

 D.

 E. √

由韦达定理，x1+x2=3k+1，x1x2=3k2-2k+3，故2x1x2=3k2+10k-5，而又△=（-（3k+1））2-4（3k2-2k+3）≥0，即1≤k≤．由抛物线图线的性质可以得知，当k=1时的最小值为8．

36.已知方程组，则m+n的值为（）．

（A）-13（B）-3（C）-7（D）-3或-5

（E）以上结论均不正确

 A.

 B. √

 C.

 D.

 E.

37.设α、β是方程4x2-4mx+m+2=0的两个实根，则α2+β2的最小值是（）．

（A）0．5（B）1（C）1.5（D）2

（E）以上结论均不正确

 A. √

 B.

 C.

 D.

 E.

．

38.已知方程x2-4x+a=0有两个实根，其中一个根小于3，另一个根大于3，则a得取值范围为（）．

（A）a≤3（B）a＞3（C）a＜3（D）0＜a＜3

（E）以上结论均不正确

 A.

 B.

 C. √

 D.

 E.

方法一：

根据题意，Δ=（-4）2-4a＞0，得a＜4，不妨设x1＜3，x2＞3，则（x1-3）（x2-3）＜0，即x1x2-3（x1+x2）4+9＜0，从而a-3·4+9＜0，所以a＜3．

方法二：

令f（x）=x2-4x+a，如图2.3.1所示，有f（3）＜0即32-4×3+a＜0，解得a＜3．

39.已知方程2|x|-k=kx-3无负数解，那么k的取值范围是（）．

（A）-2

（C）2

（E）k≥或k≤-2

 A.

 B. √

 C.

 D.

 E.

提示：

一定要求出有副实数根的解集，然后求其对立面即为无副实数根的情况，切不可按有正实数根对待．

40.不等式2x2+（2a-b）x+b≥0的解为x≤1或x≥2，则a+b=（）．

（A）1（B）3（C）5（D）7

（E）以上结论均不正确

 A.

 B. √

 C.

 D.

 E.

方法一：

与解x≤1或x≥2对应的不等式是（x-1）（x-2）≥0，即x2-3x+2≥0，亦即2x2-6x+4≥0．

对比系数，得，则a=-1，b=4，所以a+b=-1+4=3．

方法二：

2x2+（2a-b）x+b=0，x1=1，x2=2，则，解得a=-1，b=4，所以a+b=3．

41.若x1，x2是方程x2-3x=4的两个根，则|x1-x2|的值为（）．

（A）5（B）-5（C）-3（D）3

（E）以上答案均不正确

 A. √

 B.

 C.

 D.

 E.

x2-3x=4（x-4）（x+1）=0，故两根分别为4、-1，故|x1-x2|=5．

42.已知y=bx2+ax的图像开口向上，且对称轴在y轴右侧，那么y=ax-b的图像一定过（）．

（A）第一，二，三象限（B）第一，二，四象限

（C）第二，三，四象限（D）第一，三，四象限

（E）以上答案均不正确

 A.

 B.

 C. √

 D.

 E.

不妨取y=x2-x，那么a=-1，b=1，因此y=-x-1，那么图像一定过二、三、四象限．选择C．