高考数学复习点拨 垂直四注意.docx

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高考数学复习点拨垂直四注意

垂直四注意

直线、平面的垂直是立体几何中较难入手的内容，注意以下几点对准确全面地理解直线与平面的垂直关系及解决与垂直相关的问题都会有所帮助．

一、注意直线与平面不垂直的判断

在解决垂直问题的过程中，第一步的问题就是判断哪些关系是垂直关系，哪些关系不是垂直关系，准确迅速的排除不垂直关系．对垂直关系的确定极为关键，在所有的垂直关系中，以直线与平面的垂直关系最为重要．根据直线与平面垂直的定义，判断直线与平面不垂直，只需平面内有一条直线与已知直线不垂直，则直线与平面不垂直．以下举例说明其应用．

例　如图，在四面体A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，求证：

平面ABC⊥平面ACD．

分析：

要证明两平面垂直，需在其中一个平面内寻找一条直线与另一平面垂直，现有AB、BC、AD、CD四条直线供选择．因为AC为两个平面的公共直线，而显然AB不垂直AC，BC不垂直AC，所以AB、BC都不与平面ACD垂直；AD不垂直AB，所以AD不与平面ABC垂直，最后只需考虑直线CD即可．通过排除，使得我们很快找到了所需的直线．

另外，如果现有的所有直线都不与相应的平面垂直，则必须作辅助直线，这也解决了何时需要作辅助直线的问题．

二、注意垂直的相互转化

直线、平面的垂直都是相互的，如直线AB与直线CD垂直，则直线CD也与直线AB垂直，这虽然是一个简单的转化，但从思维方向和看问题的角度上都发生了变化，需注意多加训练，做到随时随地根据需要准确熟练的进行转化．

在上例中，已知AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD成立，而根据直线与平面垂直的判定定理需要寻找CD与平面ABC内的哪些直线垂直，此时，及时的把AB⊥CD转化为CD⊥AB，则会使思路更畅通．

在学习所有与垂直相关的定理时，都要注意把定理变换角度来叙述，如直线与平面垂直的判定定理“一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直”，也可叙述为“一个平面内有相交的两条直线都与一条直线垂直，则此直线与该平面垂直”等形式，只有这样才能通过学习，真正的拓展思维，建立科学完整的知识结构．

三、注意异面直线的垂直

由于平面几何中只有相交垂直的情况，所以很多学习者往往形成一种思维定式，认为只有相交才能垂直，而事实上垂直与相交并无必然联系，垂直不必一定要求相交，此即异面直线垂直的情况．异面直线的垂直是垂直中最难理解的垂直关系，需多观察、应用，尽快理解、熟悉．

事实上，异面直线之间的垂直是垂直关系在相交直线垂直的基础上的扩充，把垂直关系从平面推广到了空间．理解异面直线之间的垂直关系的过程的同时也是建立空间垂直关系和空间感的过程．只有理解了异面直线之间的垂直关系，才算是全面地理解了空间中的垂直关系．

如上例中，AB与CD即为异面直线之间的垂直关系，若不能很好的理解或不熟悉，解题思路便会受阻．

四、注意计算的应用

在解决有些垂直问题时，可通过计算来判断某个角为直角，如能巧用，则有神奇的解题功效，不可忽视．

如上例中，

，

，

，

所以

为直角，即CD⊥AC，又已知CD⊥BC，

，所以CD⊥平面ABC，又

平面ACD，所以平面ABC⊥平面ACD．巧妙计算得到垂直关系CD⊥AC，使得问题轻松获解．

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