届高考文科数学第一轮开卷速查检测题48doc.docx

届高考文科数学第一轮开卷速查检测题48doc.docx

《届高考文科数学第一轮开卷速查检测题48doc.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届高考文科数学第一轮开卷速查检测题48doc.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

届高考文科数学第一轮开卷速查检测题48doc

开卷速查　规范特训

课时作业　实效精炼

开卷速查（15）　函数与方程

一、选择题

1．函数f（x）＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是（　　）

A．（－2，－1）　　　　　　　B．（－1,0）

C．（0,1）D．（1,2）

解析：

由于f（0）＝－1＜0，f

（1）＝e－1＞0，根据函数的零点存在性定理，知函数f（x）的零点在区间（0,1）内．

答案：

C

2．函数f（x）＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为（　　）

A．4个　　　B．5个　　　C．6个　　　D．7个

解析：

令f（x）＝0，得x＝0或cosx2＝0，因为x∈[0,4]，所以x2∈[0,16]．

由于cos＝0（k∈Z），故当x2＝，，，，时，cosx2＝0，所以零点个数为6.

答案：

C

3．若方程f（x）－2＝0在（－∞，0）内有解，则y＝f（x）的图像是（　　）

A

B

C

D

解析：

由f（x）－2＝0，得f（x）＝2，由图像可知，对于A项，当f（x）＝2时，x＝0，不成立；对于B项，当f（x）＝2时，无解，对于C项，当f（x）＝2时，x＞0，不成立，故选D.

答案：

D

4．已知函数f（x）＝x－log2x，若实数x0是函数f（x）的零点，且0＜x1＜x0，则f（x1）的值（　　）

A．恒为正值B．等于0

C．恒为负值D．不大于0

解析：

根据指数函数与对数函数的单调性可以推知函数f（x）＝x－log2x在（0，＋∞）上单调递减，函数f（x）在（0，＋∞）上至多有一个零点．若有零点的话，零点左侧的函数值恒正，右侧的函数值恒负，对于0＜x1＜x0，f（x1）的值恒为正值.

答案：

A

5．若函数f（x）的零点与g（x）＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f（x）可以是（　　）

A．f（x）＝4x－1B．f（x）＝（x－1）2

C．f（x）＝ex－1D．f（x）＝ln

解析：

g（x）＝4x＋2x－2的零点，即函数y＝4x与函数y＝－2x＋2图像交点的横坐标（如图），由图知g（x）的零点x0满足0＜x0＜.

又f（x）＝4x－1的零点为，∴选A.

答案：

A

6．已知a是函数f（x）＝2x－logx的零点，若0

A．f（x0）＝0B．f（x0）<0

C．f（x0）>0D．不确定

解析：

f（x）在（0，＋∞）上单调递增，

∵f（a）＝0，∴f（x）＝0只有一个实根，当0

另解：

x＝a为y＝2x与y＝logx的交点横坐标，

∴0

∴f（x0）<0.

答案：

B

7．已知函数f（x）＝2x－logx，且实数a>b>c>0满足f（a）·f（b）·f（c）<0，若实数x0是函数y＝f（x）的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（　　）

A.x0a

C.x0

解析：

画出函数y＝2x与y＝logx的图像可知，满足条件的c只能在函数f（x）的零点的左边，故不可能出现x0

答案：

D

8．[2014·唐山市期末]f（x）＝2sinπx－x＋1的零点个数为（　　）

A．4个B．5个

C．6个D．7个

解析：

作出函数y＝2sinπx与y＝x－1的图像，如图所示．由图像可知，两个函数的图像有5个交点，即f（x）＝2sinπx－x＋1有5个零点，故选B.

答案：

B

9．若函数f（x）＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）

A．[－2,2]B．（－2,2）

C．（－∞，－1）D．（1，＋∞）

解析：

函数f（x）＝x3－3x＋a的导函数f′（x）＝3x2－3，相应二次方程3x2－3＝0有两根x＝±1，函数存在一个极大值f（－1）＝2＋a>0，还有一个极小值f

（1）＝－2＋a<0，结合以上可求a的取值范围是（－2,2）．

答案：

B

10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）＝则关于x的函数F（x）＝f（x）－a（0

A．2a－1B．1－2a

C．2－a－1D．1－2－a

解析：

当x≥0时，f（x）＝画出示意图，如图所示，

因为该函数为奇函数，利用函数图像关于原点对称，画出在R上的图像，函数F（x）＝f（x）－a（0

答案：

B

二、填空题

11．已知三个函数f（x）＝2x＋x，g（x）＝x－2，h（x）＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是__________．

解析：

由于f（－1）＝－1＝－＜0，f（0）＝1＞0，

故f（x）＝2x＋x的零点a∈（－1,0）．

因为g

（2）＝0，故g（x）的零点b＝2；

h＝－1＋＝－＜0，h

（1）＝1＞0，

故h（x）的零点c∈，因此a＜c＜b.

答案：

a＜c＜b

12．已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）－m有3个零点，则实数m的取值范围是__________．

解析：

画出f（x）＝的图像，如图．

由函数g（x）＝f（x）－m有3个零点，结合图像得：

0

答案：

（0,1）

13．定义在R上的奇函数f（x）满足：

当x>0时，f（x）＝2014x＋log2014x，则在R上，函数f（x）零点的个数为__________．

解析：

函数f（x）为R上的奇函数，因此f（0）＝0，当x>0时，f（x）＝2014x＋log2014x在区间内存在一个零点，又f（x）为增函数，因此在（0，＋∞）内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在（－∞，0）内有且仅有一解，从而函数在R上的零点的个数为3.

答案：

3

14．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x0是函数f（x）＝lnx－的零点，则[x0]等于__________．

解析：

∵函数f（x）的定义域为（0，＋∞），∴函数f′（x）＝＋>0，即函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增．由f

（2）＝ln2－1<0，f（e）＝lne－>0，知x0∈（2，e），∴[x0]＝2.

答案：

2

三、解答题

15．是否存在这样的实数a，使函数f（x）＝x2＋（3a－2）x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个零点，且只有一个零点．若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

解析：

∵Δ＝（3a－2）2－4（a－1）＝9a2－16a＋8＝92＋＞0，

∴若实数a满足条件，则只需f（－1）·f（3）≤0即可．

f（－1）·f（3）＝（1－3a＋2＋a－1）·（9＋9a－6＋a－1）＝4（1－a）（5a＋1）≤0.所以a≤－或a≥1.

检验：

（1）当f（－1）＝0时，a＝1.所以f（x）＝x2＋x.

令f（x）＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1，方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.

（2）当f（3）＝0时，a＝－，

此时f（x）＝x2－x－.

令f（x）＝0，即x2－x－＝0，解之得x＝－或x＝3，方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－.

综上所述，存在实数a，其范围是a＜－或a＞1.

答案：

存在，a的范围是a＜－或a＞1

16．已知函数f（x）＝－x2＋2ex＋m－1，g（x）＝x＋（x＞0）．

（1）若g（x）＝m有零点，求m的取值范围；

（2）确定m的取值范围，使得g（x）－f（x）＝0有两个相异实根．

解析：

（1）方法一：

∵g（x）＝x＋≥2＝2e，

等号成立的条件是x＝e，∴g（x）的值域是[2e，＋∞），

因而只需m≥2e，则g（x）＝m就有零点．

方法二：

作出g（x）＝x＋（x＞0）的图像如图所示，

可知若使g（x）＝m有零点，则只需m≥2e.

方法三：

由g（x）＝m得x2－mx＋e2＝0.

此方程有大于零的根，故

等价于

故m≥2e.

（2）方法一：

若g（x）－f（x）＝0有两相异的实根，

即g（x）与f（x）的图像有两个不同的交点，

作出g（x）＝x＋（x＞0）的图像．

∵f（x）＝－x2＋2ex＋m－1

＝－（x－e）2＋m－1＋e2.

其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.

故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，

g（x）与f（x）的图像有两个交点，即g（x）－f（x）＝0有两个相异实根．

∴m的取值范围是（－e2＋2e＋1，＋∞）．

方法二：

令F（x）＝g（x）－f（x），

则由已知F（x）＝g（x）－f（x）有两个零点．

又F′（x）＝g′（x）－f′（x）＝1－＋2x－2e

＝

＝，

∵x2＞0恒成立，2x2＋x＋e＞0恒成立，

∴当x＞e时F′（x）＞0，x＜e时F′（x）＜0，故F（x）在（0，e）上为减函数，在（e，＋∞）上为增函数．

∴F（x）＝g（x）－f（x）在x＝e处取得极小值，

若F（x）＝g（x）－f（x）有两个零点，则F（e）＜0.

即e＋＋e2－2e·e－m＋1＜0，

即m＞－e2＋2e＋1.

答案：

（1）m≥2e；

（2）m＞－e2＋2e＋1.

创新试题　教师备选

教学积累　资源共享

1．函数f（x）＝－cosx在[0，＋∞）内（　　）

A．没有零点　　　　　　　B．有且仅有一个零点

C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点

解析：

在同一直角坐标系中分别作出函数y＝和y＝cosx的图像，如图，由于x>1时，y＝>1，y＝cosx≤1，所以两图像只有一个交点，即方程－cosx＝0在[0，＋∞）内只有一个根，所以f（x）＝－cosx在[0，＋∞）内只有一个零点，所以选B项．

答案：

B

2．设函数f（x）（x∈R）满足f（－x）＝f（x），f（x）＝f（2－x），且当x∈[0,1]时，f（x）＝x3.又函数g（x）＝|xcos（πx）|，则函数h（x）＝g（x）－f（x）在上的零点个数为（　　）

A．5个B．6个

C．7个D．8个

解析：

根据题意，函数y＝f（x）是周期为2的偶函数且0≤x≤1时，f（x）＝x3，

则当－1≤x≤0时，f（x）＝－x3，且

g（x）＝|xcos（πx）|，

所以当x＝0时，f（x）＝g（x）．

当x≠0时，若0

即x2＝cosπx.

再根据函数性质画出上的图像，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图像，如图所示，有5个根．所以总共有6个．

答案：

B

3．若对于定义在R上的函数f（x），其图像是连续的，且存在常数λ（λ∈R），使得f（x＋λ）＋λf（x）＝0对任意的实数x成立，则称f（x）是“λ－同伴函数”．下列关于“λ－同伴函数”的叙述中正确的是（　　）

A．“－同伴函数”至少有一个零点

B．f（x）＝x2是一个“λ－同伴函数”

C．f（x）＝log2x是一个“λ－同伴函数”

D．f（x）＝0是唯一一个常值“λ－同伴函数”

解析：

A项正确，令x＝0，得f＋f（0）＝0，所以f＝－f（0）．若f（0）＝0，显然f（x）＝0有实数根；若f（0）≠0，f·f（0）＝－（f（0））2＜0.又因为函数f（x）的图像是连续不断的，所以f（x）＝0在上必有实数根，即任意“－同伴函数”至少有一个零点．

B项错误，用反证法，假设f（x）＝x2是一个“λ－同伴函数”，则（x＋λ）2＋λx2＝0，即（1＋λ）x2＋2λx＋λ2＝0对任意实数x成立，所以λ＋1＝2λ＝λ2＝0，而此式无解，所以f（x）＝x2不是一个“λ－同伴函数”．

C项错误，因为f（x）＝log2x的定义域不是R.

D项错误，设f（x）＝C是一个“λ－同伴函数”，则（1＋λ）C＝0，当λ＝－1时，可以取遍实数集，因此f（x）＝0不是唯一一个常值“λ－同伴函数”．

答案：

A

4．[2014·青岛调研]设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f（x）－g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）＝x2－3x＋4与g（x）＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（　　）

A.B．[－1,0]

C．（－∞，－2]D.

解析：

令F（x）＝f（x）－g（x）＝x2－3x＋4－（2x＋m）＝x2－5x＋4－m，则由题意知F（x）＝0在[0,3]上有两个不同的实数根，因而

即解之得－

答案：

A

5．用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解（精确度0.001）时，如果我们选取初始区间[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是__________．

解析：

设至少需要计算n次，由题意知<0.001，即2n>100，由26＝64,27＝128知n＝7.

答案：

7

6．已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（－x＋2）＝f（－x），当x∈[－1,1]时，f（x）＝|x|，则y＝f（x）与y＝log7x的交点的个数为__________．

解析：

因为f（－x＋2）＝f（－x），所以y＝f（x）为周

期函数，其周期为2.在同一直角坐标系中，画出函数y＝f（x）和y＝log7x的图像如图，

当x＝7时，f（7）＝1，log77＝1，故y＝f（x）与y＝log7x共有6个交点．

答案：

6