11二轮复习讲义常用逻辑用语.docx

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11二轮复习讲义常用逻辑用语

专题一　集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、

推理与证明、不等式及线性规划

第一讲　集合与常用逻辑用语

高考考点

考点解读

集合的概念及运算

1.以函数的定义域、值域、不等式的解集为背景考查集合的交、并、补的基本运算

2．利用集合之间的关系求解参数的值或取值范围

3．以新定义集合及集合的运算为背景考查集合关系及运算

命题及逻辑联结词

1.命题的四种形式及命题的真假判断

2．复合命题的真假判断，常与函数、三角、解析几何、不等式相结合考查

充要条件的判断

1.充要性的判定多与函数、不等式、三角、直线间关系、平面向量等易混易错的概念、性质相结合考查

2．利用充要性求参数值或取值范围

备考策略

本部分内容在备考时应注意以下几个方面：

（1）紧紧抓住集合的代表元素的实际意义，掌握集合问题的常见解法，活用数学思想解决问题．

（2）明确命题的条件和结论之间的关系，关注逻辑联结词和命题，明确命题的否定和否命题的区别．

（3）掌握必要条件、充分条件与充要条件的概念及应用．

预测2020年命题热点为：

（1）集合的基本性质以及集合之间的基本关系与运算，与不等式的解集、函数的定义域、值域、方程的解集等知识结合在一起考查．

（2）与函数、数列、三角函数、不等式、立体几何、解析几何、概率统计等知识结合在一起考查．

Z

1．集合的概念、关系及运算

（1）集合元素的特性：

确定性、互异性、无序性.

（2）集合与集合之间的关系：

A⊆B，B⊆C⇒A⊆C．

（3）空集是任何集合的子集.

（4）含有n个元素的集合的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．

（5）重要结论：

A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.

2．充要条件

设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满中条件q}，则有

从逻辑观点看

从集合观点看

p是q的充分不必要条件（p⇒q，q⇒/p）

AB

p是q的必要不充分条件（q⇒p，p⇒/q）

BA

p是q的充要条件（p⇔q）

A＝B

p是q的既不充分也不必要条件（p⇒/q，q⇒/p）

A与B互不包含

3.简单的逻辑联结词

（1）命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题．

（2）命题p∨q的否定是（綈p）∧（綈q）；命题p∧q的否定是（綈p）∨（綈q）．

4．全（特）称命题及其否定

（1）全称命题p：

∀x∈M，p（x）．它的否定綈p：

∃x0∈M，綈p（x0）.

（2）特称命题p：

∃x0∈M，p（x）．它的否定綈p：

∀x∈M，綈p（x）.,Y

1．忽略集合元素互异性：

在求解与集合有关的参数问题时，一定要注意集合元素的互异性，否则容易产生增根．

2．忽略空集：

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在分类讨论时要注意“空集优先”的原则．

3．混淆命题的否定与否命题：

在求解命题的否定与否命题时，一定要注意命题的否定是只对命题的结论进行否定，而否命题既对命题的条件进行否定，又对命题的结论进行否定.

1．（文）（2018·全国卷Ⅰ，1）已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝（A）

A．{0,2}　　　　　　B．{1,2}

C．{0}D．{－2，－1,0,1,2}

[解析]　A∩B＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}．

故选A．

（理）（2018·全国卷Ⅰ，2）已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝（B）

A．{x|－1

B．{x|－1≤x≤2}

C．{x|x<－1}∪{x|x>2}

D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}

[解析]　∵x2－x－2>0，∴（x－2）（x＋1）>0，∴x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}．在数轴上表示出集合A，如图所示．

由图可得∁RA＝{x|－1≤x≤2}．

故选B．

2．（文）（2018·全国卷Ⅲ，1）已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝（C）

A．{0}　　B．{1}　　　

C．{1,2}　　D．{0,1,2}

[解析]　∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，∴A∩B＝{1,2}．

故选C．

（理）（2018·全国卷Ⅱ，2）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（A）

A．9B．8

C．5D．4

[解析]　将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即（－1，－1），（－1,0），（－1,1），（0，－1），（0,0），（0,1），（1，－1），（1,0），（1,1），共有9个．

故选A．

3．（文）（2018·天津卷，3）设x∈R，则“x3>8”是“|x|>2”的（A）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

[解析]　由x3>8⇒x>2⇒|x|>2，反之不成立，

故“x3>8”是“|x|>2”的充分不必要条件．

故选A．

（理）（2018·天津卷，4）设x∈R，则“

<

”是“x3<1”的（A）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[解析]　由“

＜

”得0＜x＜1，则0

＜

”⇒“x3＜1”；由“x3＜1”得x＜1，当x≤0时，

≥

，即“x3＜1”/⇒“

＜

”．所以“

＜

”是“x3＜1”的充分而不必要条件．

故选A．

4．（2018·浙江卷，6）已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（A）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

[解析]　∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，则一定有m∥α，

但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，

∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．

故选A．

5．（文）（2018·北京卷，4）设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（B）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

[解析]　a，b，c，d是非零实数，若a＜0，d＜0，b＞0，c＞0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列（可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3）．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．

故选B．

（理）（2018·北京卷，6）设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的（C）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

[解析]　由|a－3b|＝|3a＋b|，得（a－3b）2＝（3a＋b）2，

即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.

又a，b均为单位向量，所以a2＝b2＝1，

所以a·b＝0，能推出a⊥b.

由a⊥b得|a－3b|＝

，|3a＋b|＝

，

能推出|a－3b|＝|3a＋b|，

所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．

故选C．

6．（文）（2017·全国卷Ⅰ，1）已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则（A）

A．A∩B＝{x|x<

}　　　　B．A∩B＝∅

C．A∪B＝{x|x<

}D．A∪B＝R

[解析]　由3－2x>0，得x<

，

∴B＝{x|x<

}，

∴A∩B＝{x|x<2}∩{x|x<

}＝{x|x<

}，

故选A．

（理）（2017·全国卷Ⅰ，1）已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则（A）

A．A∩B＝{x|x<0}　　B．A∪B＝R

C．A∪B＝{x|x>1}D．A∩B＝∅

[解析]　由3x<1，得x<0，

∴B＝{x|3x<1}＝{x|x<0}．

∴A∩B＝{x|x<1}∩{x|x<0}＝{x|x<0}，故选A．

7．（2017·全国卷Ⅱ，2）设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝（C）

A．{1，－3}　B．{1,0}　　

C．{1,3}　D．{1,5}

[解析]　∵A∩B＝{1}，∴1∈B，

∴1是方程x2－4x＋m＝0的根，

∴1－4＋m＝0，∴m＝3.

由x2－4x＋3＝0，得x1＝1，x2＝3，

∴B＝{1,3}．

8．（文）（2017·山东卷，5）已知命题p：

∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：

若a2

A．p∧qB．p∧（綈q）

C．（綈p）∧qD．（綈p）∧（綈q）

[解析]　∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝（－1）2－4×1×1<0，∴x2－x＋1>0恒成立，

∴p为真命题，綈p为假命题．

∵当a＝－1，b＝－2时，（－1）2<（－2）2，但－1>－2，

∴q为假命题，綈q为真命题．

根据真值表可知p∧（綈q）为真命题，p∧q，（綈p）∧q，（綈p）∧（綈q）为假命题．

故选B．

（理）（2017·山东卷，3）已知命题p：

∀x>0，ln（x＋1）>0；命题q：

若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是（B）

A．p∧qB．p∧（綈q）

C．（綈p）∧qD．（綈p）∧（綈q）

[解析]　∵x>0，∴x＋1>1，

∴ln（x＋1）>ln1＝0.

∴命题p为真命题，

∴綈p为假命题．

∵a>b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，（－2）2＝4，此时a2

∴命题q为假命题，

∴綈q为真命题．

∴p∧q为假命题，p∧（綈q）为真命题，（綈p）∧q为假命题，（綈p）∧（綈q）为假命题．

故选B．

例1

（1）（文）设集合M＝{x|x2＋x－6<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝（A）

A．[1,2）　　　　　B．[1,2]

C．（2,3]D．[2,3]

[解析]　∵M＝{x|－3

∴M∩N＝{x|1≤x<2}，故选A．

（理）已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x<2m}，且A⊆∁RB，那么m的值可以是（A）

A．1B．2

C．3D．4

[解析]　∵B＝{x|x<2m}，∴∁RB＝{x|x≥2m}，

又∵A⊆∁RB，

∴有2m≤2，即m≤1.

由选项可知选A．

（2）（文）已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为（B）

A．1B．2

C．3D．4

[解析]　A∩B＝{1,2,3,4}∩{2,4,6,8}＝{2,4}，

∴A∩B中共有2个元素，故选B．

（理）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A∩B中元素的个数为（B）

A．3B．2

C．1D．0

[解析]　集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，

集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．

结合图形可知，直线与圆有两个交点，

所以A∩B中元素的个数为2.

故选B．

（3）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{（x1＋x2，y1＋y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（C）

A．77B．49

C．45D．30

[解析]　由题得A＝{（－1,0），（0,0），（1,0），（0,1），（0，－1）}，如下图所示：

因为B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，由A⊕B的定义可得，A⊕B相当于将A集合中各点上下平移或左右平移0,1,2个单位，如下图所示：

所以A⊕B中的元素个数为7×7－4＝45.

故选C．

『规律总结』

（1）对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．

（2）对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．

G

1．（文）设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（C）

A．3　　　B．4　　　　

C．5　　　D．6

[解析]　由集合A＝{x|－2≤x≤2}，易知A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}，故选C．

（理）设集合M＝{x|－2

A．（3，＋∞）B．（－2，－1]

C．[－1,3）D．（－1,3）

[解析]　集合N＝{x|2x＋1≤1}＝{x|x＋1≤0}＝{x|x≤－1}．故∁RN＝{x|x>－1}，故M∩∁RN＝{x|－1

2．（文）已知集合U＝R，A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥2}，则集合∁U（A∪B）＝（A）

A．{x|1

C．{x|x≤2}D．{x|x≥1}

[解析]　A∪B＝{x|x≤1}∪{x|x≥2}＝{x|x≤1或x≥2}，所以∁U（A∪B）＝{x|1

（理）已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|（x－1）（x＋2）<0}，则A∩B＝（A）

A．{－1,0}B．{0,1}

C．{－1,0,1}D．{0,1,2}

[解析]　由题意知B＝{x|－2

3．（文）已知M＝{a||a|≥2}，A＝{a|（a－2）（a2－3）＝0，a∈M}，则集合A的子集共有（B）

A．1个B．2个

C．4个D．8个

[解析]　|a|≥2⇒a≥2或a≤－2.又a∈M，（a－2）（a2－3）＝0⇒a＝2或a＝±

（舍），即A中只有一个元素2，故A的子集只有2个．

（理）已知集合A＝{x|x2－3x＋2<0}，B＝{x|log4x>

}，则（D）

A．A⊆BB．B⊆A

C．A∩∁RB＝RD．A∩B＝∅

[解析]　因为x2－3x＋2<0，

所以1

又因为log4x>

＝log42，

所以x>2，

所以A∩B＝∅.

例2

（1）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（B）

A．真，假，真　　　　　B．假，假，真

C．真，真，假D．假，假，假

[解析]　若z1＝a＋bi，则z2＝a－bi.

∴|z1|＝|z2|，故原命题正确、逆否命题正确．

其逆命题为：

若|z1|＝|z2|，则z1，z2互为共轭复数，

若z1＝a＋bi，z2＝－a＋bi，则|z1|＝|z2|，而z1，z2不为共轭复数．

∴逆命题为假，否命题也为假．

（2）已知命题p：

∃x∈R，使sinx＝

；命题q：

∀x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：

①命题“p∧q”是真命题；

②命题“p∧（綈q）”是假命题；

③命题“（綈p）∨q”是真命题；

④命题“（綈p）∨（綈q）”是假命题．

其中正确的结论是（A）

A．②③B．②④

C．③④D．①②③

[解析]　∵

>1，∴命题p是假命题．

∵x2＋x＋1＝（x＋

）2＋

≥

>0，

∴命题q是真命题，由真值表可以判断“p∧q”为假，“p∧（綈q）”为假，“（綈p）∨q”为真，“（綈p）∨（綈q）”为真，所以只有②③正确，故选A．

『规律总结』

（1）一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别．

（2）四种命题真假的判断依据：

一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无关．

（3）形如p∨q，p∧q，綈p命题的真假根据真值表判定．

（4）全称命题与特称（存在性）命题真假的判定：

①全称命题：

要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p（x）成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；

②特称（存在性）命题：

要判定一个特称（存在性）命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p（x0）成立即可，否则，这一特称（存在性）命题就是假命题．

G

1．设a，b，c是非零向量．已知命题p：

若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：

若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是（A）

A．p∨q　　　　　　　　　B．p∧q

C．（綈p）∧（綈q）D．p∨（綈q）

[解析]　由题意知命题p为假命题，命题q为真命题，所以p∨q为真命题．故选A．

2．以下四个命题中，真命题的个数是（C）

①“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；

②存在正实数a，b，使得lg（a＋b）＝lga＋lgb；

③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；

④在△ABC中，A

A．0B．1

C．2D．3

[解析]　对于①，原命题的逆命题为：

若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，而a＝2，b＝－2满足a，b中至少有一个不小于1，但此时a＋b＝0，故①是假命题；对于②，根据对数的运算性质，知当a＝b＝2时，lg（a＋b）＝lga＋lgb，故②是真命题；对于③，易知“所有奇数都是素数”的否定就是“至少有一个奇数不是素数”，故③是真命题；对于④，根据题意，结合边角的转换，以及正弦定理，可知A

3．（2018·北京卷，1）已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{－2,0,1,2}，则A∩B＝（A）

A．{0,1}B．{－1,0,1}

C．{－2,0,1,2}D．{－1,0,1,2}

[解析]　∵A＝{x||x|<2}＝{x|－2

∴A∩B＝{0,1}．

故选A．

例3

（1）设θ∈R，则“|θ－

|<

”是“sinθ<

”的（A）

A．充分而不必要条件　B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

[解析]　∵|θ－

|<

，

∴－

<θ－

<

，即0<θ<

.

显然0<θ<

时，sinθ<

成立．

但sinθ<

时，由周期函数的性质知0<θ<

不一定成立．故0<θ<

是sinθ<

的充分而不必要条件．

故选A．

（2）若p是q的充分不必要条件，则下列判断正确的是（C）

A．綈p是q的必要不充分条件

B．綈q是p的必要不充分条件

C．綈p是綈q的必要不充分条件

D．綈q是綈p的必要不充分条件

[解析]　由p是q的充分不必要条件可知p⇒q，q⇒/p，由互为逆否命题的两命题等价可得綈q⇒綈p，綈p⇒/綈q，

∴綈p是綈q的必要不充分条件，故选C．

（3）设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的（C）

A．充要条件　　　　　B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件

[解析]　设数列的首项为a1，则a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2（1＋q）<0，即q<－1，故q<0是q<－1的必要而不充分条件．故选C．

（4）已知“x>k”是“

<1”的充分不必要条件，则k的取值范围是（A）

A．[2，＋∞）B．[1，＋∞）

C．（2，＋∞）D．（－∞，－1]

[解析]　由

<1，可得

－1＝

<0，所以x<－1或x>2，因为“x>k”是“

<1”的充分不必要条件，所以k≥2.

『规律总结』

1．判定充分条件与必要条件的3种方法

（1）定义法：

正、反方向推，若p⇒q，则p是q的充分条件（或q是p的必要条件）；若p⇒q，且q⇒/p，则p是q的充分不必要条件（或q是p的必要不充分条件）．

（2）集合法：

利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件（B是A的必要条件）：

若A＝B，则是B的充要条件．

（3）等价法：

将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．

2．提醒：

“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B，而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A．

G

1．（文）（2018·娄底二模）“a<－1”是“直线ax＋y－3＝0的倾斜角大于

”的（A）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

[解析]　设直线ax＋y－3＝0的倾斜角为θ，则tanθ＝－a，若a<－1，得θ角大于

，由倾斜角θ大于

得－a>1，或－a<0即a<－1或a>0.

（理）“a2＝1”是“函数f（x）＝lg（

＋a）为奇函数”的（B）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[解析]　a2＝1⇒a＝±1，f（x）＝lg（

＋a）为奇函数等价于f（x）＋f（－x）＝0，即lg（

＋a）＋lg（

＋a）＝0⇔（

＋a）（

＋a）＝1化简得a＝－1，故选B．

2．（文）若集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－2

A．a>－2　　　　　B．a≤－2

C．a>－1D．a≥－1

[解析]　由x2－x－2<0知－1

即A＝{x|－1

又B＝{x|－2－1.

（理）设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“loga3

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

[解析]　由3a>3b>3，知a>b>1，所以log3a>log3b>0，所以

<

，即loga33b>3”是“loga3

，b＝3也满足loga3b>1.所以“3a>3b>3”是“loga3

A组

1．（文）（2018·天津卷，1）设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1，0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则（A∪B）∩C＝（C）

A．{－1,1}　　　　　B．{0,1}

C．{－1,0,1}D．{2,3,4}

[解析]　∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，

∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．

又C＝{x∈R|－1≤x<2}，

∴（A∪B）∩C＝{－1,0,1}．

故选C．

（理）（2018·天津卷，1）设全集为R，集合A＝{x|0

A．{x|0

C．{x|1≤x<2}D．{x|0

[解析]　全集为R，B＝{x|x≥1}，则∁RB＝{x|x<1}．

∵集合A＝{x|0

故选