四边形综合自用专题训练.docx

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四边形综合自用专题训练

四边形综合自用专题训练　

一．选择题（共1小题）

1．（2014•攀枝花）如图，正方形ABCD的边CD与正方形CGFE的边CE重合，O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于H，连接OH、FH、EG与FH交于M，对于下面四个结论：

①GH⊥BE；②HO

BG；③点H不在正方形CGFE的外接圆上；④△GBE∽△GMF．

其中正确的结论有（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

二．填空题（共1小题）

2．（2014春•萧山区校级月考）如图，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，BO⊥AC，垂足为点O，过点A作射线AE∥BC，点P是边BC上任意一点，连接PO并延长与射线AE相交于点Q，设B，P两点之间的距离为x，过点Q作直线BC的垂线，垂足为R．岑岑同学思考后给出了下面五条结论，

①△AOB≌△COB；

②当0＜x＜10时，△AOQ≌△COP；

③当x=5时，四边形ABPQ是平行四边形；

④当x=0或x=10时，都有△PQR∽△CBO；

⑤当x=

时，△PQR与△CBO一定相似．

正确的共有　　　　　　．

三．解答题（共28小题）

3．（2014•临沂）【问题情境】

如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．

【探究展示】

（1）证明：

AM=AD+MC；

（2）AM=DE+BM是否成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

【拓展延伸】

（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示

（1）、

（2）中的结论是否成立？

请分别作出判断，不需要证明．

4．（2014•成都）如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD边上一点，DE=

AD（n为大于2的整数），连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG．

（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；

（2）当AB=a（a为常数），n=3时，求FG的长；

（3）记四边形BFEG的面积为S1，矩形ABCD的面积为S2，当

=

时，求n的值．（直接写出结果，不必写出解答过程）

5．（2014•衢州）提出问题：

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：

AE=DH；

类比探究：

（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；

综合运用：

（3）在

（2）问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积．

6．（2014•南通）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，M为射线AD上一动点，AM=a（a为大于0的常数），直线EM与直线CD交于点F，过点M作MG⊥EM，交直线BC于点G．

（1）若M为边AD中点，求证△EFG是等腰三角形；

（2）若点G与点C重合，求线段MG的长；

（3）请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值．

7．（2014•山西）课程学习：

正方形折纸中的数学．

动手操作：

如图1，四边形ABCD是一张正方形纸片，先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′．

数学思考：

（1）求∠CB′F的度数；

（2）如图2，在图1的基础上，连接AB′，试判断∠B′AE与∠GCB′的大小关系，并说明理由；

解决问题：

（3）如图3，按以下步骤进行操作：

第一步：

先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后继续对折，使AB与DC重合，折痕为MN，再把这个正方形展平，设EF和MN相交于点O；

第二步：

沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′，再沿直线AH折叠，使D点落在EF上，对应点为D′；

第三步：

设CG、AH分别与MN相交于点P、Q，连接B′P、PD′、D′Q、QB′，试判断四边形B′PD′Q的形状，并证明你的结论．

8．（2014•潍坊）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．

（1）求证：

AE⊥BF；

（2）将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP到BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值；

（3）将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．

9．（2014•咸宁）如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．

（1）∠PBD的度数为　　　　　　，点D的坐标为　　　　　　（用t表示）；

（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？

（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？

若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．

10．（2014•盐城）【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：

如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：

PD+PE=CF．

小军的证明思路是：

如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：

PD+PE=CF．

小俊的证明思路是：

如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：

PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．

【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：

PD﹣PE=CF；

请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：

【结论运用】如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；

【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD•CE=DE•BC，AB=2

dm，AD=3dm，BD=

dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．

11．（2014•烟台）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．

（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；

（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，

（1）中的结论还成立吗？

（请你直接回答“是”或“否”，不须证明）

（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，

（1）中的结论还成立吗？

请说明理由；

（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最小值．

12．（2014•威海）猜想与证明：

如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．

拓展与延伸：

（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为　　　　　　．

（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明

（1）中的结论仍然成立．

13．（2014•绥化）在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC．

（1）如图1，当点G在BC边上时，易证：

PG=

PC．（不必证明）

（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明；

（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．

14．（2014•温州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（0，6）．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒．

（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；

（2）当点C在线段OB上时，求证：

四边形ADEC为平行四边形；

（3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N分别在一，四象限，在运动过程中，设▱PCOD的面积为S．

①当点M，N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；

②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部（不包括边界）时，直接写出S的取值范围．

15．（2014•青岛）已知：

如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？

（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：

S菱形ABCD=17：

40？

若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．

16．（2014•日照一模）已知，如图1，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，矩形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．

（1）如图2，当四边形EFGH为正方形时，求CF的长和△FCG的面积；

（2）如图1，设AE=x，三角形FCG的面积=y，求与x之间的函数关系式与y的最大值；

（3）当△CGF是直角三角形时，求x和y值．

17．（2014•福州模拟）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=7，AD=4，CA=5，动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C→D→A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD交于点E，与折线A﹣C﹣B的交点为Q，设点M的运动时间为t．

（1）当点P在线段CD上时，CE=　　　　　　，CQ=　　　　　　；（用含t的代数式表示）；

（2）在

（1）的条件下，如果以C、P、Q为顶点的三角形为等腰三角形，求t的值；

（3）当点P运动到线段AD上时，PQ与AC交于点G，若S△PCG：

S△CQG=1：

3，求t的值．

18．（2014•温岭市模拟）如图1，点P为四边形ABCD所在平面上的点，如果∠PAD=∠PBC，则称点P为四边形ABCD关于A、B的等角点，以点C为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点B的横坐标为﹣6．

（1）如图2，若A、D两点的坐标分别为A（﹣6，4）、D（0，4），点P在DC边上，且点P为四边形ABCD关于A、B的等角点，则点P的坐标为　　　　　　；

（2）如图3，若A、D两点的坐标分别为A（﹣2，4）、D（0，4）．

①若P在DC边上时，则四边形ABCD关于A、B的等角点P的坐标为　　　　　　；

②在①的条件下，将PB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜6）得到线段P′B′，连接P′D，B′D，试用含m的式子表示P′D2+B′D2，并求出使P′D2+B′D2取得最小值时点P′的坐标；

③如图4，若点P为四边形ABCD关于A、B的等角点，且点P坐标为（1，t），求t的值；

④以四边形ABCD的一边为边画四边形，所画的四边形与四边形ABCD有公共部分，若在所画的四边形内存在一点P，使点P分别是各相邻两顶点的等角点，且四对等角都相等，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．

19．（2014•江干区一模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别从C、A两点同时出发，以相同的速度作直线运动．已知点E沿射线CB运动，点F沿边BA的延长线运动，连结DF、DE、EF，EF与对角线AC所在的直线交于点M，DE交AC于点N．

（1）求证：

DE⊥DF；

（2）设CE=x，△AMF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）随着点E在射线CB上运动，NA•MC的值是否会发生变化？

若不变，请求出NA•MC的值；若变化，请说明理由．

20．（2014•南平模拟）在四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，且MN=AM+CN，

（1）如图1，若四边形ABCD为正方形，通过测量、推理、猜想：

∠MDN=　　　　　　°；

（2）如图2，若AB∥CD，AD=DC，∠A=∠B，探究：

∠MDN与∠ADC之间有怎样的数量关系？

请说明理由：

　　　　　　；

（3）如图3，若AB与CD不平行，AD=DC，要使得

（2）中的结论仍然成立，∠A与∠C之间应满足什么条件？

（直接回答，不需证明）

21．（2014•平房区三模）等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，BC=2AB，P是BC的中点，∠MPN=60°，PM与直线AB交于点M，与直线AD交于点N．

（1）如图一，当点M、N分别在线段AB、AD上时，求证：

AM+AN=

BC．

（2）如图二，当点M、N分别在线段AB、AD的延长线上时，请直接写出线段AM、AN、BC的关系式．

（3）在

（2）的条件下，MP交AD于点E，PN交CD于点F，连结EF，若AE：

DE=1：

2，EF=2

，求BN的长．

22．（2014•长宁区二模）在△ABC中，已知BA=BC，点P在边AB上，联结CP，以PA、PC为邻边作平行四边形APCD，AC与PD交于点E，∠ABC=∠AEP=α（0°＜α＜90°）．

（1）如图

（1），求证：

∠EAP=∠EPA；

（2）如图

（2），若点F是BC中点，点M、N分别在PA、FP延长线上，且∠MEN=∠AEP，判断EM和EN之间的数量关系，并说明理由．

（3）如图（3），若DC=1，CP=3，在线段CP上任取一点Q，联结DQ，将△DCQ沿直线DQ翻折，点C落在四边形APCD外的点C′处，设CQ=x，△DC′Q与四边形APCD重合部分的面积为y，写出y与x的函数关系式及定义域．

23．（2013•天门模拟）如图1，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG=GE，连接BE，CE．

（1）求证：

BE=BC；

（2）如图2，∠CBE的平分线交AE于N点，连接DN，求证：

BN+DN=

AN．

24．（2013•西青区二模）将矩形纸片ABCD放在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B与点O重合（O为原点），点C在x轴正半轴上．若将矩形纸片折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．

（Ⅰ）如图

（1），根据“折痕三角形”的定义请你判断矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”的形状（不需要证明）；

（Ⅱ）如图

（2），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；

（Ⅲ）如图（3），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？

若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标；若不存在，也请你说明理由．

25．（2013•怀柔区二模）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，连结AM、CM．

（1）当M点在何处时，AM+CM的值最小；

（2）当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；

（3）当AM+BM+CM的最小值为

时，求正方形的边长．

26．（2011秋•城阳区期末）如图，在直角梯形ABCD中，CD⊥AD，BC∥AD，AD=AB=10cm，BC=4cm．点P自点D出发以每秒1cm的速度沿DA向点A移动，点Q自点A出发以每秒

cm的速度沿AB向点B移动，点P、Q同时出发，当点P到达点A时，点Q随之停止．设点P、Q运动的时间为t（s）（o≤t≤10）．

（1）求CD的长；

（2）在点P、Q的运动过程中，设△PAQ的面积为y，求y与t的函数关系式；

（3）在运动过程中，△PAQ的面积能否是梯形ABCD面积的

？

若能，求出t的值；若不能，请说明理由；

（4）t为何值时，△PAQ是直角三角形．

27．（2014春•铜陵期末）如图，在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG（BE＜AB），连接EG并延长交DC于点M，作MN⊥AB，垂足为N，MN交BD于点P，设正方形ABCD的边长为1．

（1）证明：

四边形MPBG是平行四边形；

（2）设BE=x，四边形MNBG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）如果按题设作出的四边形BGMP是菱形，求BE的长．

28．（2014春•黄陂区期末）四边形ABCD为矩形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E．

（1）如图1，若AB=BC，BF∥DE，且交AG于点F，求证：

AF﹣BF=EF；

（2）如图2，在

（1）条件下，AG=

BG，求

；

（3）如图3，连EC，若CG=CD，DE=2，GE=1，则CE=　　　　　　（直接写出结果）

29．（2014春•重庆期末）如图（Ⅰ），分别以△ABC的边AC和BC为边，向△ABC外作正方形ACE1F1和正方形BCE2F2，过点C作直线PQ交AB于H，使∠AHP=∠ACE1，过E1作E1M⊥PQ于M，过E2作E2N⊥PQ于N，连接AE1．

（1）若∠ACH=60°，CH=2cm，求AE1的长；

（2）求证：

ME1=NE2；

（3）若将图（Ⅰ）中的两个正方形改为两个等边三角形，过点C作直线P1Q1和P2Q2分别交AB于H1和H2，使∠AH1P1=∠ACE1，∠BH2P2=∠BCE2，同样过E1作E1M⊥P1Q1于M，过E2作E2N⊥P2Q2于N，如图（Ⅱ），请你猜想

（2）的结论是否成立？

若成立，请你给出证明；若不成立，请你说明理由．

30．（2014春•泰兴市校级期中）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED的延长线交线段OA于点H，连CH、CG．

（1）求证：

△CBG≌△CDG；

（2）求∠HCG的度数；并判断线段HG、OH、BG之间的数量关系，说明理由；

（3）连结BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中，四边形AEBD能否为矩形？

如果能，请求出点H的坐标；如果不能，请说明理由．