初中数学新课程疑难问题与案例分析.docx

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初中数学新课程疑难问题与案例分析

初中数学新课程疑难问题与案例分析

陕西省西安市雁塔区教师进修学校（710065）刘旭亮

教育博客（少陵原野）：

E-mail：

**************QQ：

1416264475

引言

当学生精神不振时，你能否使他们振作？

当学生过度兴奋时，你能否使他们归于平静？

当学生茫无头绪时，你能否给以启迪？

当学生没有信心时，你能否唤起他的力量？

你能否从学生的眼睛里读出愿望？

你能否听出学生回答中的创造？

你能否觉察出学生细微的进步和变化？

你能否让学生自己明白错误？

你能否用不同的语言方式让学生感受关注？

你能否使学生觉得你的精神脉搏与他们一起欢跳？

你能否让学生的争论擦出思维的火花？

你能否使学生在课堂上学会合作，感受和谐的欢愉、发现的惊喜？

……也许，还可以再列出一百个这样的问题，但却不可能穷尽一个真正充满生命活力的课堂可能发生的一切.我们把教学改革的实践目标定在探索、创造充满生命活力的课堂教学，因为，只有在这样的课堂上，师生才是全身心投入，他们不只是在教和学，他们还在感受课堂中生命的涌动和成长；也只有在这样的课堂上，学生才能获得多方面的满足和发展，教师的劳动才会闪现出创造的光辉和人性的魅力，教学才不只是与科学，而且是与哲学、艺术相关，才会体现出育人的本质.（摘自《让课堂焕发出生命活力——论中小学教学改革的深化》作者：

叶澜）

问题1如何利用和开发教材资源？

随着新课程的发展，人们的教学行为已逐渐由“教教材”转变为“用教材”.教材不仅仅指教科书，还包括学校课程中的各种资源.《标准（2011年版）》（以下简称《标准》）提出，数学课程资源是指应用于教与学活动中的各种资源。

主要包括文本资源——如教科书、教师用书，教与学的辅助用书、教学挂图等；信息技术资源——如网络、数学软件、多媒体光盘等；社会教育资源——如教育与学科专家，图书馆、少年宫、博物馆，报纸杂志、电视广播等；环境与工具——如日常生活环境中的数学信息，用于操作的学具或教具，数学实验室等；生成性资源——如教学活动中提出的问题、学生的作品、学生学习过程中出现的问题、课堂实录等。

数学教学过程中恰当的使用数学课程资源，将在很大程度上提高学生从事数学活动的水平和教师从事教学活动的质量。

教材编写者、教学研究人员、教师和有关人员应依据本标准，有意识、有目的地开发和利用各种课程资源。

“教教材”就是指教师依据教学大纲忠实地讲授教材的教学行为.这一行为最明显的弊端是，过于强调知识的预设，忽略知识在师生交往活动中的动态生成.

“用教材”则是指教师依据《标准》，结合自身的教学实践与研究，把教材作为一种重要的中介加以利用的教学行为.如何用好教材呢？

1.精心组织学生阅读数学教科书

《中学数学教学参考》2009年新开设了一个栏目——困惑与对策.第1—2期（中旬）选登了征集到的6个困惑，其中的困惑5也是笔者长期关注的问题.湖南邵阳的萧扬老师在《困惑5数学教学中是否需要阅读课本》中说道：

“新课程强调数学教学不是教教材，而是用教材教；提倡动手实践、自主探究与合作交流的学习方式.在实际教学中（包括各种教学比武观摩课），教师很少让学生阅读课本，课本变成一中摆设，课本成了习题册，学生只是在做题时才用一下.”提起学生阅读话题，笔者想起《中国青年报》（2007年5月10日）曾刊登的一篇张宝敏老师撰写的文章，标题是《中小学生课外阅读能力不足年级越高阅读量越少》.该文章是天津市教科院等五家教科研单位联合完成的一项课题研究成果.限于篇幅，建议读者看看原文，一定会有启发.文中最后结语部分引用了这样一段话：

“阅读是怎么一回事？

是吸收.好像每天吃饭吸收营养料一样.”所以，我们必须要有这样一种基本认识——数学学习首先从阅读课本开始.具体是阅读封面，阅读前言、阅读目录、阅读章前图（言）、阅读课文、阅读读一读和阅读小结与复习.这里仅以前两者为例说明阅读的重要性.

先说阅读封面.我们从学生时代一路走来，阅读的书籍可谓多矣.若有人提这么一个问题：

某某书的封面是什么样子？

我们能回答出来吗？

笔者虽不能保证能一一回想起读过的书的封面，但总能说出一些来.比如，二十世纪八十年代高中《代数》（下册）的封面：

右下偏上的位置是一个用小立方块搭成的立体图形，共三层，从上往下依次有1块、4块、9块.该图的左下方是一个等式

这样的封面至少说明两层含义：

一是等式与图形之间存在一种对应关系.二是暗示书中的重要内容——数列与数学归纳法.可见，书的封面犹如一篇文章的关键词.

再讲阅读前言.前言，顾名思义，就是书的作者在读者阅读正文前要告诉读者的话.我们要读懂一本书，阅读前言是必不可少的一个环节.相比于文科课本，理科课本的前言更具特色.毫不夸张地讲，它们篇篇都是文理交融的美文.比如北师大版《数学》七年级上册的前言：

“……走近数学——你会觉得生活中都有她的身影；你会发现许多令人惊喜的东西；你还会感到自己变得越来越聪明，越来越有本领.……先想一想，试一试，再与别人议一议，然后读一读教科书，听一听老师的讲解，这是学好数学的有效方法.……”我们看到，前言中既有文学的修辞，拟人、排比等，又有如何学好数学的学法指导.（摘自笔者《数学学习首先从阅读课本开始》）

2.对教材加以适当的优化整合

教材只是为教学提供了基本的凭借和参考，“范例性”是其根本的特征，要实现教学目标，还需要对教材内容进行适当的优化整合.这里以北师大版教材为例举一个例子.七年级上第一章是丰富的图形世界，第二章是有理数.经过一个暑假，按要求教师都至少备了一周课.但是开学伊始工作头绪多，加之第一章需要很多教具辅助教学.教师们常用的办法有两种：

一是集体备课，一人分上几节课；二是从第二章开始，中间穿插进行第一章.

3.对教材进行适当延伸、补充和开发

首先声明，“用教材”、“创造性使用教材”的观点是针对“照本宣科”而言的，绝不是要脱离教材.如果教材中某个例子的背景不具有时代性和现实性，就可以考虑替换，特别是例题安排不合理的，不符合学生实际的.但所替换的教学材料要与课本上的目标保持一致；如果教材对内容的重点表述的不够成分，或例子不够充足，则可以考虑增补.这就需要教师养成平时善于用心积累教学资源的习惯.并且积累教学资源的形式要多样化.有文本的，有图片的，有动画的，有音频的，有视频的，甚至还有数学专业软件（数学公式编辑器，反比例函数生成器等等）.

问题2如何处理好器算与人算的关系？

《标准》中第一部分前言中提出了义务教育阶段数学课程的五条基本理念，其中第5条是：

信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。

数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效。

要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。

因此，不同版本的数学教材中都有关于现代信息技术用于数学的相关内容.除了一些常用软件（Word，Excel等），特别是数学软件（Z＋Z，几何画板等）的介绍外，专门设有课时，介绍科学计算器在数学学习中的应用.计算器在数学教学中应该扮演什么角色？

教师的回答不仅相同.有些人把计算器看做学生数学学习的威胁，有些人仅把计算器当做一种计算工具.事实上，笔者认为人算（口算、心算、估算和笔算）和器算对我们解决问题都很重要.至于该选择何种计算方式，要看哪种方式更有效率和效果.计算器在义务段数学课程中的教学价值我们可以从三个方面去认识：

第一，数及其运算的学习，第二，探究数学规律，第三，做模拟实验（产生随机数），第四，作为检验工具，第五，处理复杂真实的数据.

需要说明的是，我们在数学课程中支持使用计算器，但这种使用必须是在教师适当的控制和引导下.计算器的使用有利有弊，教师要谨慎地考虑怎样以及何时使用计算器.

问题3如何找准教学的起点？

首先，熟读《标准》.为例体现义务教育阶段数学课程的整体性，《标准》通盘考虑了九年的课程内容；同时，根据儿童发展的生理和心理特征，将九年的学习时间具体划分为三个学段：

第一学段（1—3年级）、第二学段（4—6年级）、第三学段（7—9年级）.在3条总体目标的统领下，《标准》分学段设置了学段目标.初中数学教师只有熟悉前两学段的目标和内容，才能更有效地完成第三学段的目标任务.

其次，研究学生.从小学进入初中后，学生在短期内一般还会像小学那样有很强的依赖心理，跟随教师转，没有掌握学习主动权.教师在密切关注学生心理变化的同时，应适时地进行学法指导.比如，指导学生做好课前预习.

第三，面向全体.就是使每一个学生都有所发展.备课时，重要的不是教学难度的定位，而是教学方法的改革；不是灌输，而是启发.

第四，研究教法.接初一课程的教师一般是刚带完初三，他们往往用初三复习时应达到的难度来对待初一教学.同时，小学、初中教师在教学方法上也有很大差距.如果我们的教法缺乏必要的过渡，初中新生肯定难以适应初中的数学学习生活.

案例1预设的难题学生会解，预设的容易题学生反而不会解

课题北师大版《4.1线段的比

（2）》

一、成比例线段

练习一（略）

二、比例的基本性质

练习二（略）

三、合比性质

练习三

1.已知

则

2.已知

根据条件填空：

（1）

（2）

（3）

腼腆男生：

（3）

.理由

上述练习为老师预设的容易题，但实际上成了本节课的难题.

四、巩固提升（巧用等积式）

已知1、2、

，再添一个数，构成比例式。

腼腆男生：

师：

放x的位置很多，有8个比例式.但等积式只有3个.

（1）

（2）

（3）

上述练习为老师预设的难题，但实际上成了本节课的容易题.学生根据自己的理解，加上老师的启发，此开放题解得很好。

问题4如何准确使用表述目标的动词，明晰数学教学目标？

案例2验证勾股定理（1课时）

教学目标

1.知识技能

了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程.

2.数学思考

体验勾股定理的发现及验证过程，发展学生动手能力、合情推理能力，体会数形结合的思想.

3.解决问题

（1）通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维；

（2）初步领会用面积法解决几何问题的思想.

4.情感态度

（1）通过对勾股定理历史的了解，让学生感受数学文化的魅力，激发学生对几何学习的兴趣和信心，发展审美情趣；

（2）在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神.

反思（摘自笔者《明晰教学目标，让数学课堂效益最大化》）如何科学设置数学教学目标？

我们必须弄清楚教学目标的内涵、意义和表述方式.

首先，什么是教学目标？

所谓教学目标，是指通过教学将使学生发生何种变化的明确表述.教学目标一般有大目标、宗旨、结果和目的等几个层次.大的教育目标可以确立为教书育人、发展智慧等，小的目标可能是对某一行为而言.如《标准》对课程目标的设置，分总体目标、学段目标和具体目标.验证勾股定理这一节课的教学目标应定位在第三学段的空间与图形中三角形部分的具体目标上.

其次，设置教学目标有什么意义？

教学目标的设置对学生的学习、课堂行为及教学评价都具有一定的意义.设置教学目标有利于提高学生成绩，有利于促进课堂行为和交流，有利于评价和测验.

第三，如何表述教学目标？

《标准》中不仅使用了“了解（认识）、理解、掌握、灵活运用”等刻画知识技能的目标动词，而且使用了“经历（感受）、体验（体会）、探索”等刻画数学活动水平的过程性目标动词，从而更好地体现了《标准》对学生在数学思考、解决问题以及情感与态度等方面的要求.需要说明的是，这些动词的主体是学习者，即学生，而不是教师.所以，在设置教学目标时教师应从学生的角度进行思考.课例中的目标主体错位容易让人产生这么一种感觉——似乎教学目标只要教师本人去完成，学生处于被动地位.

很明显，本案例采用了《标准》中的四维目标——知识与技能、数学思考、解决问题和情感与态度.《标准》还给出了每一目标的具体描述.如情感与态度目标中的第一条是“能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲”.一般情况下，我们采用类似于传统的三维目标，即布鲁姆等人对目标的定义和分类.教学目标可分为三种类型：

认知目标、动作技能目标和情感目标，并且每一目标又都给出了不同的等级.如认知目标包括知识、领会、应用、分析、综合和评价等六级水平.

现在我们来分析本案例的教学目标.

1.知识技能

了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程.

其中，第一句属于情感与态度目标，第二句属于过程与方法目标，具体说，属于解决问题目标.这一层次的目标中缺少一个很重要的具体目标：

解决简单的应用问题.

2.数学思考

体验勾股定理的发现及验证过程，发展学生动手能力、合情推理能力，体会数形结合的思想.

其中，第一句属于解决问题目标，第二句属于过程与方法目标，具体说，属于数学思考目标，这一设置没问题.但是，该句描述的目标主体发生了错位.动词是教师自己，而不是学生.第三句属于解决问题目标.

3.解决问题

（1）通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维；

（2）初步领会用面积法解决几何问题的思想.

其中，第一句属于数学思考目标，第二句目标设置没问题.这一层次的目标中又缺少一个很重要的具体目标：

发展应用意识、实践能力和创新精神等（事实上，还有分组，学会与人合作等等）.

4.情感态度

（1）通过对勾股定理历史的了解，让学生感受数学文化的魅力，激发学生对几何学习的兴趣和信心，发展审美情趣；

（2）在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神.

其中，第一句目标设置没问题，第二句属于解决问题目标.但这两句目标的描述又发生目标主体错位，动词是教师自己，而不是学生.

我们还会经常看到这样情感目标表述：

比如“通过了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发热爱祖国和热爱祖国悠久文化的思想感情.”，再比如“通过了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发学生的民族自豪感，增强学生的民族自尊心.”，等等，这些表述语句似乎成了宽泛的“标签”，贴在哪里都可以，无法落实为对学生情感的积极引导.

教学目标是教学的出发点和归宿.有什么样的教学目标，就会有什么样的课堂效益.教师只有明晰教学目标，才能让课堂效益最大化.要做到这一点，笔者认为，数学教师必须考虑三个方面：

《标准》、教材和学生.经过前面的发现和分析，我们可以明显地看出问题的根源在于，教师对《标准》中教学目标的设置和描述不熟悉，甚至是不理解.因此，这一问题的解决需要从《标准》的研习入手.比如验证勾股定理这一节课，处于《标准》的第三学段空间与几何的具体目标部分.其中，对三角形内容的学习目标具体有14条，第12条就是本节课的具体目标.原文是“（12）探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.”现在，我们从《标准》出发，以课例

（一）为例，给出本节课的教学目标，供读者参考，并斧正.

1.知识与技能

（1）认识、理解勾股定理的内容；

（2）经历勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单的问题；

（3）积累用面积法验证勾股定理的数学活动经验；

（4）初步获得验证勾股定理的过程中所渗透出的数形结合思想.

说明：

《标准》（修订版）在知识与技能目标部分明确提出了基本的数学活动经验和基本的数学思想方法.这相当于把传统的“双基”变为“四基”.

2.数学思考

（1）经历勾股定理的发现和验证过程，发展抽象思维和形象思维；

（2）借助拼图游戏，经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力，并能有条理地、清晰地阐述自己的观点.

3.解决问题

（1）从问题情境——轮船问题中提出数学问题，并能用勾股定理解决该问题，发展应用意识；

（2）通过拼图游戏，初步体验用面积法证明勾股定理的多样性，领悟数形结合思想，发展实践能力与创新精神；

（3）通过小组比赛，逐渐学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程与结果.

4.情感与态度

（1）能从轮船问题中产生对“验证勾股定理”的好奇心和求知欲；

（2）在验证勾股定理的学习活动中，获得成功的体验，建立自信心；

（3）从介绍勾股定理的历史背景中，感受数学文化的魅力，体验数学活动.

问题5如何避免数学问题情境的去问题化？

案例3轴对称图形

教师：

2008年在我国汶川发生了大地震，震后全国各地都伸出了援助之手，并举行了赈灾晚会，这是晚会上的一副图案（出示图片，如图）.紧接着又出现了很多当时悲惨的场面：

如丈夫骑着摩托车，身背妻子遗体；孩子们在废墟上惊恐地哭叫……再配以令人揪心的音乐，课堂气氛一下子笼罩在一片悲哀之中.

案例4等比数列（摘自笔者《九江会议简报》2008年12月）

教师：

创设了三个问题情境.其中第一个是播放了一段关于2008年初南方冰雪灾害的视频《相亲相爱一家人》.从中引出了数列5，10，20，40，80，160，…

反思第三学段，即7—9年级的教学，《课标》提倡应结合具体的教学内容采用“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式展开，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义，掌握必要的基础知识与基本技能，发展应用数学知识的意识与能力，增强学好数学的愿望和信心.

对于案例2、3，我相信学生看完图片或视频后都会眼圈红红的.教师的思想教育是深刻了，可学生们还能快乐地学习、深入地探究吗？

平静下来一想，到底什么是轴对称图形，什么是等比数列？

我想学生大脑中留下的印象是，晚会上的图案就是轴对称图形，南方冰雪灾害就是等比数列.所以，这样的案例非但起不到帮助学生理解新知的作用，反而会干扰学生对新授课的理解，给学生的认识过程造成障碍.

案例5常量与变量

上课铃响了，还不见老师来，大约过了三分钟，老师来了.

教师：

对不起，老师迟到了.同学们一定想知道我迟到的原因吧.那是因为来学校的途中，突然发现摩托车没油了，于是就去加油站加油，在加油的过程中，我发现显示器上一件很有趣的事（边讲边画显示器），即4.35元/升（2006年），一动不动，而另外两个小格子里的数字却在不停的变，这两个数字表示什么呢？

学生：

一个表示油量，另一个表示金额.

教师：

为什么这两个数字要一齐跳动呢？

学生：

因为加油时，油量发生变化，金额就跟着变化.

教师：

在加油的过程中，单价为4.35元/升，保持不变，我们把它叫做“常量”，油量和金额会发生变化，我们把它们叫做“变量”，这就引出我们今天这节课要学习的内容.

反思该案例说明问题情境应具备三个特性：

1.启发性；2.现实性；3.挑战性.我们的教学应该从问题情境出发.但是，并不是所有的课题都可以找到恰当的问题情境.怎么办？

不妨考虑四个层次：

从现实问题出发——从历史文化背景入手——从数学本身的思维过程出发——讲述和模仿.

最后，补充一点，注意问题情境的前后呼应.笔者经常发现，教师精心创设了问题情境，但仅仅是用在了课题的引入上，而没有善始善终.笔者认为在获取新知之后，应再回到问题情境中，用新知解决之，对结果解释之.

问题6怎样把握预设与生成的度？

课堂是一个充满活力的生命整体，处处蕴含着矛盾，其中生成与预设之间的平衡与突破，是一个永恒的主题.预设与生成是辩证的对立统一体，课堂教学既需要预设，也需要生成，预设与生成是课堂教学的两翼，缺一不可.预设体现对文本的尊重，生成体现对学生的尊重；预设体现教学的计划性和封闭性，生成体现教学的动态性和开放性，两者具有互补性.教学既要重视知识学习的逻辑和效率，又要注重生命体验的过程和质量（正式在这个意义上，我们说“数学教学是数学活动的教学”，不是“数学”的教学.），但是生成对教学目标的达成有利亦也弊，所以，我们的课堂教学实际上总是在努力追寻着预设与生成之间的一种动态平衡.

1.精彩的生成离不开之前的精心预设.凡事预则立，不预则废.预设是教学的基本要求，因为教学是一个有目标、有计划的活动.教师必须在课前对自己的教学任务有一个清晰、理性的思考与安排，因此要重视预设.

2.精心的预设无法全部预知.精彩的生成课堂教学是一个动态生成的过程，再精心的预设也无法预知整个课堂的全部细节.实际的课堂教学中，难免会发生诸多的意外，一旦出现“不速之客”，我们要有心理准备，灵活应对，而不能一味拘泥于课前的教案，有时反而可以巧妙利用意外的“生成”，也许它将会成为我们课堂的一个预料之外的精彩之举！

3.恰当地抓住生成的时机和资源，能够更大程度地提高教学的有效性.当学生被激发起“兴奋”的学习状态，而发表精彩的观点时；当学生出现理解或误解的“错误”时；当师生互动中学生“随机”冒出的精彩火花时；当学生表情出现“细微”的变化时；当教师设身处地地“换位”思考时，都是意外生成资源利用的大好时机.

课堂教学是不断变化的动态过程，教学中，如果完全按照“预设”进行，结果将无视或忽视学生学习的自主性，课堂因此而机械和呆板；但如果一味追求课堂上即时的“生成”，也会因缺乏有效的控制和引导，出现“放而失度”的现象.因此，我们要理性地看待“预设”和“生成”，预设要有弹性、有留白的空间，以便在目标实施中能宽容地、开放地纳入始料未及的“生成”.对学生积极的、正面的、价值高的“生成”要大加鼓励、利用；对消极的、负面的、价值低的“生成”，应采取更为机智的方法，让其思维“归队”，回到预设的教学安排上来.

课堂教学因预设而有序，因生成而精彩.

案例6你是这样想的吗

在教学“科学计数法”时，教师提出了如下问题：

计算：

教师：

哪位同学能说说自己的解法？

学生：

我把

化成

，然后

，再用

，然后得结果

.

（该生说完后，教师马上接着说：

把

写成200000000，

写成500，得到

）

教师：

你是这样想的吗？

学生（犹豫）：

是的，我是这样想的.

反思很明显，本节课教师的预设是想让学生熟练掌握科学计数法与原数之间的转化方法，并学会运用.可在实际教学时，学生却提出了教师课前没有预设到的方法，这是课堂教学中一个很好的生成性资源，然而因为教师过于遵循自己课前的预设而被掩盖了.教师若稍作留意，就会反问自己：

“学生为何犹豫？

”“他的真实想法是什么？

”

案例7“顶”了

这是发生在八年级数学上册《立方根》第一节课堂上的情境.

老师在讲完立方根的三条基本性质以后，在黑板的右上角写了两个式子：

师：

请同学们想一想结果是什么？

并说明理由.

生：

（坐在门口第一排的一位男生）等于a.

师：

为什么？

生：

第一个式子先a的立方，再开立方，“顶”了（学生们大笑）.所以等于a.第二个式子先把a开立方，再立方.所以也等于a.

师：

现在看老师怎么推到.（老师没做任何评价，似乎不同意这种回答）

由定义，得

则

把

代入前式，得

下来看第一个式子的推到：

生：

（对第二个式子的推到还可以理解，对第一个式子以字母、文字混写形式的推到显然一脸茫然）

师：

（对第一个式子的推到，老师也显然无法再进一步解释）

反思教师过分追求形式推理，面对学生朴素的语言——“顶”了，一时不知如何是好.不肯定，也不否定.事实上，“顶”了是学生对互逆运算的质朴性理解.虽不像数学语言那样的专业，但可以看出这个学生明白了乘方与开方的关系，犹如加减、乘除各自是互逆运算一样.这么优秀的学生，我们不表扬、肯定，还真要表扬能以推理形式回答到老师心坎上的学生吗？

案例8怎么会是66%（数学）

这是发生在九年级数学上册《频率与概率》第一节课堂上的情境.

《频率与概率》第一节的教学重点是，通过大量重复试验感受频率稳定于概率，它是用试验的方法估计随机事件发生概率的基础.

试验步骤：

准备两组相同的扑克牌，每组两张.两张牌的牌面数字分别是1和2，从每组牌中各摸出一张，称为一次试验.

（1）估计一次试验中两张牌的牌面数字和