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完整版二级计量师实务知识点
实务与案例分析（第一章测量数据处理）
第1节测量误差的处理
知识点：
系统误差的发现和减小系统误差的方法（P171）实验标准偏差的估计方法（P175）算术平均值及其实验标准差的计算（P177）异常值的判别和剔除（P178）测量重复性和测量复现性的评定（P180）检定时判定计量器具合格或不合格的判据（184）计量器具其他一些计量特性的评定（P186）
一、系统误差的发现和减小系统误差的方法（P171）
（一）系统误差的发现
（二）减小系统误差的方法
1.采用修正的方法
2.在实验过程中尽可能减少或消除一切产生系统误差的因素
3.选择适当的测量方法，使系统误差抵消而不致带入测量结果中
试验和测量中常用的几种方法：
（1）恒定系统误差消除法
①异号法
②交换法
③替代法
（2）可变系统误差消除法
①用对称测量法消除线性系统误差
②半周期偶数测量法消除周期性系统误差
——这种方法广泛用于测角仪上。
周期性系统误差通常可以表示为：
ε=asin2πl/T
式中：
T——误差变化的周期；
l——决定周期性系统误差的自变量（如时间、角度等）。
由公式可知，因为相隔T/2半周期的两个测量结果中的误差是大小相等符号相反的。
——所以凡相隔半周期的一对测量值的均值中不再含有此项系统误差。
（三）修正系统误差的方法
1.在测量结果上加修正值
——修正值的大小等于系统误差估计值的大小，但符号相反。
——当测量结果与相应的标准值比较时，测量结果与标准值的差值为测量结果系统误差估计值。
Δ=—xs
式中：
Δ——测量结杲的系统误差估计值；
——未修正的测量结果；
xs——标准值。
注意的是：
当对测量仪器的示值进行修正时，Δ为仪器的示值误差
Δ=x—xs
式中：
x——被评定的仪器的示值或标称值；
xs——标准装置给出的标准值。
则修正值C为
C=－Δ
已修正的测量结果Xc为
【案例】用电阻标准装置校准一个标称值为1Ω的标准电阻时，标准装置的读数为1.0003Ω。
问：
该被校标准电阻的系统误差估计值、修正值、已修正的校准结果分别为多少?
【案例分析】
系统误差估计值=示值误差
=1Ω－1.0003Ω
=－0.0003Ω
依据修正值的大小等于系统误差估计值的大小，但符号相反，则
示值的修正值=+0.0003Ω
巳修正的校准结果=1Ω+0.0003Ω
=1.0003Ω
2.对测量结果乘修正因子
修正因子Cr等于标准值与未修正测量结果之比
已修正的测量结果Xc为
3.画修正曲线
当测量结果的修正值随某个影响量的变化而变化，这种影响量例如温度、频率、时间、长度等，那么应该将在影响量取不同值时的修正值画出修正曲线，以便在使用时可以查曲线得到所需的修正值。
例如电阻的温度修正曲线的示意图如图3-3所示。
实际画图时，通常要采用最小二乘法将各数据点拟合成最佳曲线或直线。
4.制定修正值表
当测量结果同时随几个影响量的变化而变化时，或者当修正数据非常多且函数关系不清楚等情况下，最方便的方法是将修正值制定成表格，以便在使用时可以查表得到所需的修正值。
二、实验标准偏差的估计方法（P175）
（一）几种常用的实验标准偏差的估计方法
在相同条件下，对同一被测量X作n次重复测量，每次测得值为xi，测量次数为n，则实验标准偏差可按以下几种方法估计。
1.贝塞尔公式法
——适合于测量次数较多的情况
从有限次（测定次数有限，一般n<30）独立重复测量的一系列测量值代入式（3—6）得到估计的标准偏差（用样本的标准偏差S来衡量分析数据的分散程度）。
（3—6）
式中（n-1）为自由度，它说明在n次测定中，只有（n—1）个可变偏差，引入（n—1），主要是为了校正以样本平均值代替总体平均值所引起的误差。
式中：
——n次测量的算术平均值，
vi——第i次测量的测得值；
vi=xi———残差
v=n—1——自由度
s（x）——（测量值x的）实验标准偏差。
2.最大残差法
从有限次独立重复测量的一列测量值中找出最大残差Vmax，并根据测量次数n查表3-2得到Cn值，代入式（3-7）得到估计的标准偏差
（3—7）
式中：
Cn——残差系数。
3.极差法
一般在测量次数较小时采用该法。
从有限次独立重复测量的一系列测量值中找出最大值xmax最小值xmin，得到极差R=xmax—xmin，根据测量次数n查表3-3得到C值，代入式（3-8）得到估计的标准偏差。
s（x）=（xmax—xmin）/C（3-8）
式中：
C——极差系数。
4.较差法
——适用于频率稳定度测量或天文观测等领域。
从有限次独立重复测量的一列测量值中，将每次测量值与后一次测量值比较得到差值，代入下值得到估计的标准偏差：
（二）各种估计方法的比较
贝塞尔公式法是一种基本的方法，但n很小时其估计的不确定度较大，例如n=9时，由这种方法获得的标准偏差估计值的标准不确定度为25%，而n=3时标准偏差估计值的标准不确定度达50%，因此它适合于测量次数较多的情况。
极差法和最大残差法使用起来比较简便，但当数据的概率分布偏离正态分布较大时，应当以贝塞尔公式法的结果为准。
在测量次数较少时常采用极差法。
较差法更适用于随机过程的方差分析，如适用于频率稳定度测量或天文观测等领域。
三、算术平均值及其实验标准差的计算（P177）
（一）算术平均值的计算
在相同条件下对被测量X进行有限次重复测量，得到一系列测量值x1，x2，x3，，，，，xn，平均值为：
（二）算术平均值实验标准差的计算
若测量值的实验标准偏差为s（x），则算术平均值的实验标准偏差为
有限次测量的算术平均值的实验标准偏差与成反比。
测量次数增加，减小，即算术平均值的分散性减小。
增加测量次数，用多次测量的算术平均值作为测量结果，可以减小随机误差，或者说，减小由于各种随机影响引入的不确定度。
但随测量次数的进一步增加，算术平均值的实验标准偏差减小的程度减弱，相反会增加人力、时间和仪器磨损等问题，所以一般取n=3~20。
【案例】某计量人员在建立计量标准时，对计量标准进行过重复性评定，对被测件重复测量10次，按贝塞尔公式计算出实验标准偏差s（x）=0.08V。
现在，在相同条件下对同一被测件测量4次，取4次测量的算术平均值作为测量结果的最佳估计值，他认为算术平均值的实验标准偏差为s（x）的1/4，即s（x）=0.08V/4=0.02V。
【案例分析】计量人员应搞清楚算术平均值的实验标准偏差与测量值的实验标准偏差有什么关系?
依据JJF1059——1999《测量不确定度评定与表示》和国家计量技术法规统一宣贯教材《测量不确定度理解、评定与应用》，案例中的计算是错误的。
按贝塞尔公式计算出实验标准偏差s（x）=0.08V是测量值的实验标准偏差，它表明测量值的分散性。
多次测量取平均可以减小分散性，算术平均值的实验标准偏差是测量值的实验标准偏差的。
所以算术平均值的实验标准偏差应该为：
（三）算术平均值的应用
由于算术平均值是数学期望的最佳估计值，所以通常用算术平均值作为测量结果。
当用算术平均值作为被测量的估计值时，算术平均值的实验标准偏差就是测量结果的A类标准不确定度。
四、异常值的判别和剔除（P178）
（一）什么是异常值
异常值又称离群值，指在对一个被测量重复观测所获的若干观测结果中，出现了与其他值偏离较远且不符合统计规律的个别值，他们可能属于来自不同的总体，或属于意外的、偶然的测量错误。
也称为存在着“粗大误差”。
（二）判别异常值常用的统计方法
——考试重点为三个异常值常用的统计准则
l.拉依达准则
——又称3σ准则。
当重复观测次数充分大的前提下（n>>10），设按贝塞尔公式计算出的实验标准偏差为s，若某个可疑值xd与n个结果的平均值之差（xd一）的绝对值大于或等于3s时，判定xd为异常值。
即
2.格拉布斯准则
设在一组重复观测结果xi中，其残差vi的绝对值最大者为可疑值xd，在给定的置信概率为p＝0.99或P＝0.95，也就是显著性水平为a=l-p=0.01或0.05时，如果满足下式，可以判定xd为异常值
式中：
G（a，n）——与显著性水平a和重复观测数据n有关的格拉布斯临界值，见p215表3-4格拉布斯准则的临界值G（ａ,ｎ）表。
表中，n（3~50），而当a为0.05和0.01时，其临界值的变化从1.153～2.956，和1.155～3.336。
五、测量重复性和测量复现性的评定（P180）
（一）测量重复性的评定
1.计量标准的重复性评定
计量标准的重复性是依据JJFl00l一1998（（通用计量术语及定义）中测量仪器的重复性定义的，计量标准的重复性是指在相同测量条件下，重复测量同一被测量时，计量标准提供相近示值的能力。
这些测量条件包括：
相同的测量程序；相同的观测者；在相同的条件下使用相同的计量标准；在相同地点；在短时间内重复测量。
2.测量结果的重复性评定
依据JJFl00l一1998（（通用计量术语及定义》，测量结果的重复性是指在相同条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性。
测量结果的重复性是测量结果的不确定度的一个分量，它是获得测量结果时，各种随机影响因素的综合反映，其中包括了所用的计量标准、配套仪器、环境条件等因素以及实际被测量的随机变化。
由于被测对象也会对测量结果的分散性有影响，特别是当被测对象是非实物量具的测量仪器时。
因此，测量结果的分散性通常比计量标准本身所引入的分散性稍大。
重复性用实验标准偏差sr（y）定量表示，公式如下
式中：
yi——每次测量的测得值；
n——测量次数；
——n次测量的算术平均值。
在评定重复性时，通常取n=10。
在测量结果的不确定度评定中，当测量结果由单次测量得到时，sr（y）直接就是由重复性引入的标准不确定度分量。
当测量结果由n次重复测量的平均值得到时，由重复性引入的标准不确定度分量为。
（二）测量复现性的评定
测量复现性是指在改变了的测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性。
改变了的测量条件可以是：
测量原理、测量方法、观测者、测量仪器、计量标准、测量地点、环境及使用条件、测量时间。
改变的可以是上述条件中的一个或多个。
因此，给出复现性时，应明确说明所改变条件的详细情况。
复现性可用实验标准偏差来定量表示。
常用符号为SR，计算公式如下：
例如：
在实验室内为了考察计量人员的实际操作能力，实验室主任请每一位计量人员在同样的条件下对同一件被测件进行测量，将测量结果按上式计算测量结果的复现性。
此时式中，yi为每个人测量的结果，n为测量人员数，为每n个测量结果的算术平均值。
这个例子中改变了人这一个条件。
从一次考察可以看出不同人员测量结果间的复现性，多次考察还可以看出不同人员测量的复现性的变化情况。
几个实验室为了验证测量结果的一致性而进行比对，在不同的实验室、不同的地点，由不同的人员，按照相同的测量方法，对同一被测件进行测量，可以将各实验室的测量结果按上式计算出测量结果的复现性。
在计量标准的稳定性评定中，实际所做的是计量标准随时间改变的复现性。
复现性中所涉及的测量结果通常指已修正结果，特别是在改变了测量仪器和计量标准时，不同仪器和不同标准均各有其修正值的情况。
六、检定时判定计量器具合格或不合格的判据（184）
1.什么是符合性评定
2.测量仪器示值误差符合性评定的基本要求
按照JJFl094一2002《测量仪器特性评定》的规定，对测量仪器特性进行符合性评定时，若评定示值误差的不确定度满足下面要求：
评定示值误差的测量不确定度（U95或k=2时的U）与被评定测量仪器的最大允许误差的绝对值（MPEV）之比小于或等于1：
3，即满足时，示值误差评定的测量不确定度对符合性评定的影响可忽略不计（也就是合格评定误判概率很小），此时合格判据为
式中：
——被检仪器示值误差的绝对值；
MPEV——被检仪器示值的最大允许误差的绝对值。
对于型式评价和仲裁鉴定，必要时U95与MPEV之比也可取小于或等于1：
5。
3.考虑示值误差评定的测量不确定度后的符合性评定
依据计量检定规程以外的技术规范对测量仪器示值误差进行评定，并且需要对示值误差是否符合最大允许误差做出符合性判定时，必须对评定得到的示值误差进行测量不确定度评定，当示值误差的测量不确定度（U95或是k=2时的U）与被评定测量仪器的最大允许误差的绝对值（MPEV）之比不满足小于或等于1：
3的要求时，必须要考虑示值误差的测量不确定度对符合性评定的影响。
（1）合格判据
当被评定的测量仪器的示值误差Δ的绝对值小于或等于其最大允许误差的绝对值MPEV与示值误差的扩展不确定度U95之差时可判为合格，即
（2）不合格判据
当被评定的测量仪器的示值误差Δ的绝对值大于或等于其最大允许误差的绝对值MPEV与示值误差的扩展不确定度U95之和时可判不合格，即
（3）待定区
当被评定的测量仪器的示值误差既不符合合格判据又不符合不合格判据时，为处于待定区。
这时不能下合格或不合格的结论，即
当测量仪器示值误差的评定处于不能做出符合性判定时，可以通过采用准确度更高的计量标准、改善环境条件、增加测量次数和改善测量方法等措施，以降低示值误差评定的测量不确定度U95后再进行合格评定。
对于只具有不对称或单侧允许误差限的被评定测量仪器，仍可按照上述原则进行符合性评定。
七、计量器具其他一些计量特性的评定（P186）
（一）准确度等级
测量仪器的准确度等级应根据检定规程的规定进行评定。
有以下几种情况：
1.以最大允许误差评定准确度等级
依据有关规程或技术规范，当测量仪器的示值误差不超过某一档次的最大允许误差要求，且其他相关特性也符合规定的要求时，则判该测量仪器在该准确度级别合格。
使用这种仪器时，可直接用其示值。
不需要加修正值。
例如：
弹簧式精密压力表，用引用误差的最大允许误差表示的准确度等级分为0.05级，0.1级，0.16级，0.25级，0.4级，0.6级等。
0.05级表明用引用误差表示的最大允许误差0.05%。
2.实际值的测量不确定度评定准确度等级
3.测量仪器多个准确度等级的评定
（二）分辨力
对测量仪器分辨力的评定，可以通过测量仪器的显示装置或读数装置能有效辨别的最小示值来确定。
（1）带数字显示装置的测量仪器的分辨力为：
最低位数字显示变化一个步进量时的示值差。
例如：
数字电压表最低位数字显示变化一个字的示值差为1μV，则分辨力为1μV。
（2）用标尺读数装置（包括带有光学机构的读数装置）的测量仪器的分辨力为：
标尺上任意两个相邻标记之间最小分度值的一半。
例如：
线纹尺的最小分度为1mm，则分辨力为0.5mm。
（三）灵敏度
对被评定测量一起，在规定的某激励值上通过一个小的激励变化Δx，得到相应的响应变化Δy，，则比值S=Δy/Δx，即为该激励值时的灵敏度。
对线性测量仪器来说，灵敏度是一个常数。
（四）鉴别力
（五）稳定性
这是对测量仪器保持其计量特性恒定能力的评定。
通常可用以下几种方法来评定：
（1）方法一：
通过测量标准观测被评定测量仪器计量特性的变化，当变化达到某规定值时，其变化量与所经过的时间间隔之比即为被评定测量仪器的稳定性。
例如：
用测量标准观测某标准物质的量值，当其变化达到规定的±1.0%时所经过的时间间隔为3个月，则该标准物质质量值的稳定性为±1.0%/3个月。
（2）方法二：
通过测量标准定期观测被评定测量仪器计量特性随时间的变化，用所记录的被评定测量仪器计量特性在观测期间的变化幅度除以其变化所经过的时间间隔，即为被评定测量仪器的稳定性。
例如：
观测动态力传感器电荷灵敏度的年变化情况，按以下公式计算其静态年稳定性
式中：
Sb——传感器电荷灵敏度年稳定性；
Sq1——上年检定得到的传感器电荷灵敏度；
Sq2——本年检定得到的传感器电荷灵敏度。
（1）方法三：
频率源的频率稳定性用阿伦方差的正平方根值评定，称频率稳定度。
频率稳定度按下式计算
式中：
σy（τ）——用阿伦方差的正平方根值表示的频率稳定度；
p——取样时间；
m——取样个数减1；
yi（τ）一一第I次取样时，在取样时间p内频率相对偏差的平均值。
（1）当稳定性不是对时间而言时，应根据检定规程、技术规范或仪器说明书等有关技术文件规定的方法评定。
（六）漂移
（七）响应特性
第2节测量不确定度的评定与表示
知识点：
统计技术应用（P191）概率分布的数学期望、方差和标准偏差（P192）有限次测量时的算术平均值和实验标准偏差（P193）正态分布（P194）常用的非正态分布（P194）评定不确定度的一般步骤（P196）测量不确定度的评定方法（P196）标准不确定度分量的评定（P197）输入量间不相关时合成标准不确定度的评定（P203）扩展不确定度的确定（P205）表示不确定度的符号（P206）
一、统计技术应用（P191）
（一）概率分布
概率分布（p）是一个随机变量取任何给定值或属于某一给定值集的概率随取值而变化的函数，该函数称为概率密度函数。
概率分布通常用概率密度函数随随机变量变化的曲线来表示“概率分布曲线”
测量值X落在区间[a，b]内的概率p可用式（3-32）计算
（3-32）
式中，p（x）为概率密度函数，数学上积分代表面积。
由此可见，概率p是概率分布曲线下在区间[a，b]内所包含的面积，又称包含概率或置信水平。
当p=0.9，表明测量值有90%的可能性落在该区间内，该区间包含了概率分布下总面积的90%。
在（一∞~+∞）区间内的概率为1，即随机变量在整个值集的概率为1；
当p=1（即概率为1）表明测量值以100%的可能性落在该区间内，也就是可以相信测量值必定在此区间内。
二、概率分布的数学期望、方差和标准偏差（P192）
1.期望
——μ
期望又称（概率分布或随机变量的）均值（Mean）或期望值，有时又称数学期望。
常用符号μ表示，也可用E（X）表示被测量X的期望。
离散随机变量的期望为？
连续随机变量的期望为？
式中，p（x）为概率密度函数，数学上积分代表面积。
期望是在无穷多次测量的条件下定义的，通俗地说：
无穷多次测量的平均值。
期望是概率分布曲线与横坐标轴所构成面积的重心所在的横坐标，所以期望是决定概率分布曲线位置的量。
对于单峰、对称的概率分布来说，期望值在分布曲线峰顶对应的横坐标处。
因为实际上不可能进行无穷多次测量，因此测量中期望值是可望而不可得的。
2．方差
——σ2
（随机变量或概率分布的）方差用符号σ2表示
测量值与期望值之差是随机误差，用δ表示，δi=xi一μ，方差就是随机误差平方的期望值。
测量值X的方差还可写成V（X），是随机变量X的每一个可能值对其期望E（X）的偏差的平方的期望，也就是测量的随机误差平方的期望
已知测量值的概率密度函数时，方差可表示为
当期望值为零时方差可表示成
方差说明了随机误差的大小和测量值的分散程度。
但由于方差是平方，使用不方便、不直观，因此引出了标准偏差这个术语。
3．标准偏差
——σ
（概率分布或随机变量的）标准偏差是方差的正平方根值，用符号σ表示，又可称标准差。
标准偏差是表明测量值分散性的参数，σ小表明测量值比较集中，σ大表明测量值比较分散。
4．用期望与标准偏差表征概率分布
三、有限次测量时的算术平均值和实验标准偏差（P193）
1.算术平均值
算术平均值X是有限次测量时概率分布的期望μ的估计值。
由大数定理证明，若干个独立同分布的随机变量的平均值以无限接近于1的概率接近于其期望值μ，所以算术平均值是其期望的最佳估计值。
因此，通常用算术平均值作为被测量的最佳估计值，即作为测量结果。
在相同条件下对被测量X进行有限次n的重复测量，得到一系列测量值xl，x2，…，xn，其算术平均值为
算术平均值是有限次测量的平均值，它是由样本构成的统计量，它也是有概率分布的。
2.实验标准偏差
用有限次测量的数据得到的标准偏差的估计值称为实验标准偏差，用符号s表示。
实验标准偏差s是有限次测量时标准偏差σ的估计值。
最常用的估计方法是贝塞尔公式法，即在相同条件下，对被测量X作以次重复测量，每次测得值为xi，测量次数为n，则实验标准偏差按式（3-41）估计
式中：
一一n次测量的算术平均值；
——残差（是测量值与算术平均值之差）；
v=n—1——自由度；
S（x）——（测量值x的）实验标准偏差。
在给出标准偏差的估计值时，自由度越大，表明估计值的可信度越高。
[（n—1）越大，1/n—1值越小，则其s（x）值也越小]
四、正态分布（P194）
正态分布又称高斯分布，其概率密度函数p（x）为
Snap13.jpg网页未显示，自查书籍补上
1.正态分布的特性
正态分布曲线：
正态分布图，具有如下特征：
①单峰：
概率分布曲线在均值μ处具有一个极大值；
②对称分布：
正态分布以x=-μ为其对称轴，分布曲线在均值μ的两侧是对称的；
③当x∞时，概率分布曲线以x轴为渐近线；
④概率分布曲线在离均值等距离（即x=μ±σ）处两边各有一个拐点；
⑤分布曲线与x轴所围面积为1，即各样本值出现概率的总和为1；
⑥μ为位置参数，σ为形状参数。
由于μ，σ能完全表达正态分布的形态，所以常用简略符号X~N（μ,σ）表示正态分布。
当μ=0,σ=1时表示为X~N（0，1），称为标准正态分布。
2.正态分布的概率计算
测量值X落在[a,b]区间内的概率为
称为标准正态分布函数，见表3-7。
表3-7标准正态分布函数表（摘录）
令δ=x—μ，若设，由于u=（x—μ）/σ，即：
u=δ/σ=±3，u1=z2=3，按公式计算
同样，
由此可见，区间[-2σ，2σ]在概率分布曲线下包含的面积约占概率分布总面积的95%左右。
也就是：
当k=2时，置信概率为95.45%。
五、常用的非正态分布（P194）
1.均匀分布
均匀分布为等概率分布，又称矩形分布，如图3—8所示，
均匀分布的概率密度函数为
当a-≤x≤a+，p（x）=1/（a+—a-）
当x＞a+,x＜a-， p（x）=0
均匀分布的标准偏差为（3—44）
a+和a-分别为均匀分布的置信区间的上限和下限。
当对称分布时，可用a表示矩形分布的区间半宽度，即a=（a+,－a-）/2，则均匀分布的标准偏差为
（3—45）
2．三角分布
三角分布呈三角形，如图3—9所示。
三角分布的概率密度函数为
a-a+
三角分布的概率密度函数为
当-a≤x＜0，p（x）=（a+x）/a2
当0≤x≤a， p（x）=（a-x）/a2
三角分布的标准偏差为
a为置信区间的半宽度。
3．梯形分布
梯形分布的形状为梯形，如图3—10所示。
梯形分布的概率密度函数
设梯形的上底半宽度为βa，下底半宽度为a，0<β<1，则梯形分布的标准偏差为
4.反正弦分布
a-0a+x
图3—11反正弦分布示意图
反正弦分布的概率密度函数为
a为概率分布置信区间的半宽度；
反正弦分布的标准偏差为
5.几种非正态分布的标准偏差与置信因子的关系
上述几种非正态分布的标准偏差与置信因子的关系列于表3-9中。
表3-9几种非正态分布的标准偏差与置信因子的关系
六、评定不确定度
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