学年鲁教版五四制七年级数学下册第十章测试题含答案.docx
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学年鲁教版五四制七年级数学下册第十章测试题含答案
第十章 检测试题
（时间:
45分钟 满分:
100分）
一、选择题（每小题4分,共32分）
1.下列命题中,其逆命题错误的是（ ）
（A）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
（B）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
（C）如果a3=b3,那么a2=b2
（D）在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半
2.如图,E是等边△ABC中边AC上的点,∠1=∠2,BE=CD,则对△ADE的形状判断正确的是（ ）
（A）底与腰不相等的等腰三角形
（B）等边三角形
（C）不等边三角形
（D）不能确定形状
3.已知一等腰三角形的腰长为5,底边长为4,底角为β.满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是（ ）
（A）两条边长分别为4,5,它们的夹角为β
（B）两个角是β,它们的夹边为4
（C）三条边长分别是4,5,5
（D）两条边长是5,一个角是β
4.如图,∠AOB=60°,OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC为边在右侧作等边△ACD,连接BD,则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（ ）
（A）平行（B）相交
（C）垂直（D）平行、相交或垂直
5.如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米.如果保持梯子底端位置不变,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米.则小巷的宽度为（ ）
（A）0.7米（B）1.5米（C）2.2米（D）2.4米
6.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P（ ）
（A）有且只有1个
（B）有且只有2个
（C）组成∠E的平分线
（D）组成∠E的平分线所在的直线（E点除外）
7.如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AC的垂直平分线分别交AC,AD,AB于点E,O,F,则图中全等三角形的对数是（ ）
（A）1对（B）2对（C）3对（D）4对
8.如图,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且△PMN为等边三角形,则满足上述条件的△PMN有（ ）
（A）1个（B）2个（C）3个（D）无数个
二、填空题（每小题4分,共24分）
9.用反证法证明“若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,第一步应先假设 .
10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,DE⊥AC于点E,∠A=30°,AB=8,则DE的长度是 .
11.如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,则图中等腰三角形的个数是 .
12.如图,依据尺规作图的痕迹,计算∠α= °.
13.如图,在△ABC中,CD是∠ACB的平分线,BE⊥CD,垂足为E,若△ABC的面积为6,则△AEC的面积为 .
14.如图,一张三角形纸片ABC,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,现将纸片折叠,使点A与点B重合,那么折痕长等于 cm.
三、解答题（共44分）
15.（7分）已知△ABC中,∠ABC=∠ACB,点D,E分别为边AB,AC的中点,求证:
BE=CD.
16.（7分）已知:
如图,Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,试以图中标有字母的点为端点,连接两条线段,如果你所连接的两条线段满足相等、垂直或平行关系中的一种,那么请你把它写出来并证明.
17.（7分）如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交BC于点D,垂足为点E.
（1）求∠BAD的度数;
（2）若BD=2cm,试求DC的长度.
18.（7分）如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=5,求OM的长度.
19.（8分）如图所示,在等边三角形ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,OB和OC的垂直平分线分别交BC于E,F.试探索BE,EF,FC的大小关系,并说明理由.
20.（8分）在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.
某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.
作AD⊥BC于D,设BD=x,用含x的代数式表示CD→根据勾股定理,利用AD作“桥梁”,建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长,再计算三角形面积
附加题（共20分）
21.（10分）如图1,已知AB=AC,∠BAC=90°,AE是过点A的一条直线,且点B,C在DE的两侧,BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E.
（1）求证:
BD=DE+CE;
（2）如图2,若直线AE绕点A旋转到图2所示的位置（BD（直接写出结论）;
（3）如图3,若直线AE绕点A旋转到图3所示的位置（BD>CE）时,其余条件不变,则BD与DE,CE的关系如何?
（直接写出结论）.
22.（10分）在△ABC中,BC=AC,∠BCA=90°,P为直线AC上一点,过点A作AD⊥BP于点D,交直线BC于点Q.
（1）如图1,当P在线段AC上时,求证:
AQ=BP;
（2）当点P在线段AC的延长线上时,请在图2中画出图形,并求∠CPQ的度数;
（3）如图3,当点P在线段CA的延长线上时,∠DBA=∠ 时,AQ=2BD,并说明理由.
第十章 检测试题
（时间:
45分钟 满分:
100分）
一、选择题（每小题4分,共32分）
1.下列命题中,其逆命题错误的是（ C ）
（A）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
（B）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
（C）如果a3=b3,那么a2=b2
（D）在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半
解析:
若a2=b2,那么a=b或a=-b,
所以a3=b3不一定成立.故选C.
2.如图,E是等边△ABC中边AC上的点,∠1=∠2,BE=CD,则对△ADE的形状判断正确的是（ B ）
（A）底与腰不相等的等腰三角形
（B）等边三角形
（C）不等边三角形
（D）不能确定形状
解析:
因为△ABC为等边三角形,所以AB=AC.
因为∠1=∠2,BE=CD,所以△ABE≌△ACD,
所以AE=AD,∠BAE=∠CAD=60°,
所以△ADE是等边三角形.故选B.
3.已知一等腰三角形的腰长为5,底边长为4,底角为β.满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是（ D ）
（A）两条边长分别为4,5,它们的夹角为β
（B）两个角是β,它们的夹边为4
（C）三条边长分别是4,5,5
（D）两条边长是5,一个角是β
解析:
选项A中给出的条件满足全等三角形的判定条件“SAS”,选项B中给出的条件满足全等三角形的判定条件“ASA”,选项C中给出的条件满足全等三角形的判定条件“SSS”,因此,它们都能确定该三角形与已知三角形全等.当两条边长是5,一个角是β时,所得到的三角形与原三角形不一定全等,故选项D不合题意.故选D.
4.（2018玉林）如图,∠AOB=60°,OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC为边在右侧作等边△ACD,连接BD,则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（ A ）
（A）平行（B）相交
（C）垂直（D）平行、相交或垂直
解析:
如图,因为∠AOB=60°,OA=OB,所以△AOB是等边三角形,
所以AO=AB.
因为△ACD是等边三角形,
所以AC=AD.
又因为∠OAB=∠CAD=60°,
所以∠1=∠2,所以△AOC≌△ABD（SAS）,
所以∠ABD=∠AOC=60°,
所以∠ABD=∠OAB=60°,
所以BD∥OA.故选A.
5.如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米.如果保持梯子底端位置不变,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米.则小巷的宽度为（ C ）
（A）0.7米（B）1.5米（C）2.2米（D）2.4米
解析:
梯子斜靠在左墙时,根据勾股定理得梯子的长为
=2.5米,梯子斜靠在右墙时,梯子底端到右墙角的距离为
=1.5米,所以小巷的宽度为0.7+1.5=2.2米.故选C.
6.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P（ D ）
（A）有且只有1个
（B）有且只有2个
（C）组成∠E的平分线
（D）组成∠E的平分线所在的直线（E点除外）
解析:
因为AB=CD,若S△PAB=S△PCD,则AB,CD边上的高必须相等,因此考虑点P所在的位置到AB,CD的距离相等,即点P在∠E的平分线上;若反向延长∠E的平分线,则其上面的点到AB,CD的距离也相等,同时考虑到点E在AB和CD的延长线上,因此点P位于点E时不能构成三角形,所以点P组成∠E的平分线所在的直线（E点除外）.故选D.
7.如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AC的垂直平分线分别交AC,AD,AB于点E,O,F,则图中全等三角形的对数是（ D ）
（A）1对（B）2对（C）3对（D）4对
解析:
因为EF是AC的垂直平分线,
所以OA=OC.
又因为OE=OE,
所以Rt△AOE≌Rt△COE.
因为AB=AC,D是BC的中点,
所以AD⊥BC,
所以△ABC关于直线AD轴对称.
所以△AOC≌△AOB,△BOD≌△COD,
△ABD≌△ACD.
综上所述,全等三角形共有4对.故选D.
8.如图,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且△PMN为等边三角形,则满足上述条件的△PMN有（ D ）
（A）1个（B）2个（C）3个（D）无数个
解析:
如图,在OA上截取OC=OP=2,因为∠AOP=60°,所以△OCP是等边三角形,所以CP=OP,∠OCP=∠CPO=60°.在线段OC上任取一点M,在OB上截取ON,使ON+OM=2,
连接MN,PM,PN.因为MC+OM=2,
所以CM=ON.在△MCP和△NOP中,
因为CM=ON,∠MCP=∠NOP=60°,CP=OP,所以△MCP≌△NOP（SAS）,
所以PM=PN,∠MPC=∠NPO,
所以∠MPC+∠MPO=∠NPO+∠MPO,
即∠CPO=∠MPN,所以∠MPN=60°,
所以△PMN是等边三角形.
故满足条件的△PMN有无数个,故选D.
二、填空题（每小题4分,共24分）
9.用反证法证明“若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,第一步应先假设 a不平行b .
10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,DE⊥AC于点E,∠A=30°,AB=8,则DE的长度是 2 .
解析:
因为D为AB的中点,AB=8,
所以AD=4.
因为DE⊥AC,∠A=30°,
所以DE=
AD=2.
11.（2018桂林）如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,则图中等腰三角形的个数是 3 .
解析:
因为AB=AC,
所以△ABC是等腰三角形.
因为∠A=36°,
所以∠C=∠ABC=72°.
因为BD平分∠ABC,
所以∠ABD=∠DBC=36°.
所以∠A=∠ABD.
所以AD=BD.
所以△ABD是等腰三角形.
因为∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°,
所以∠BDC=∠C,
所以BD=BC.
所以△BDC是等腰三角形.
所以共有3个等腰三角形.
12.如图,依据尺规作图的痕迹,计算∠α= 56 °.
解析:
∠α=90°-
×68°=56°.
13.如图,在△ABC中,CD是∠ACB的平分线,BE⊥CD,垂足为E,若△ABC的面积为6,则△AEC的面积为 3 .
解析:
延长BE交AC于点F,易证△BCE≌△FCE（ASA）,
所以BE=FE,则△BCE与△FCE面积相等,△ABE与△AFE面积相等,故△AEC的面积为△ABC面积的一半.
所以S△AEC=3.
14.如图,一张三角形纸片ABC,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,现将纸片折叠,使点A与点B重合,那么折痕长等于
cm.
解析:
如图,在Rt△ABC中,
因为AC=8cm,BC=6cm,
根据勾股定理,得AB=10cm.
设CE=xcm,
由折叠的性质得BD=AD=5cm,BE=AE=（8-x）cm,
在Rt△BCE中,根据勾股定理可知
BC2+CE2=BE2,即62+x2=（8-x）2,
解方程得x=
.
则AE=
.
在Rt△ADE中,由勾股定理解得DE=
.
三、解答题（共44分）
15.（7分）已知△ABC中,∠ABC=∠ACB,点D,E分别为边AB,AC的中点,求证:
BE=CD.
证明:
因为∠ABC=∠ACB,
所以AB=AC,
因为点D,E分别为边AB,AC的中点,
所以BD=CE,
在△BDC和△CEB中,BD=CE,
∠ABC=∠ACB,BC=CB,
所以△BDC≌△CEB,所以BE=CD.
16.（7分）已知:
如图,Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,试以图中标有字母的点为端点,连接两条线段,如果你所连接的两条线段满足相等、垂直或平行关系中的一种,那么请你把它写出来并证明.
解:
答案不唯一,如CD=BE,AF⊥DB,AF⊥CE,DB∥CE等.选以下三种供参考:
第一种:
连接CD,BE;得CD=BE.
证明:
因为Rt△ABC≌Rt△ADE,
所以AC=AE,AD=AB,∠BAC=∠DAE,
所以∠DAC=∠BAE,
所以△ADC≌△ABE（SAS）,
所以CD=BE.
第二种:
连接DB,AF;得AF⊥DB.
证明:
因为△ABC≌△ADE,
所以AD=AB.
又因为∠ABC=∠ADE=90°,AF=AF,
所以△ADF≌△ABF（HL）,
所以∠DAF=∠BAF.
又因为AD=AB,
所以AF⊥DB.
第三种:
连接CE,AF;得AF⊥CE.
证明:
因为△ABC≌△ADE,
所以AD=AB,AC=AE.
又因为∠ABC=∠ADE=90°,AF=AF,
所以△ADF≌△ABF（HL）,
所以∠DAF=∠BAF.
因为∠CAB=∠EAD,
所以∠CAD=∠EAB,
所以∠CAF=∠EAF,
所以AF⊥CE.
17.（7分）如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交BC于点D,垂足为点E.
（1）求∠BAD的度数;
（2）若BD=2cm,试求DC的长度.
解:
（1）因为AB=AC,
所以∠B=∠C=（180°-120°）÷2=30°.
因为DE垂直平分线段AB,
所以DB=DA.
所以∠BAD=∠B=30°.
（2）因为∠BAC=120°,∠BAD=30°,
所以∠DAC=90°.
又因为∠C=30°,DB=DA,
所以DC=2DA=2DB=4cm.
18.（7分）如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=5,求OM的长度.
解:
作PH⊥MN于H,
因为∠AOB=60°,
所以∠OPH=30°,
所以OH=
OP=6.
因为PM=PN,PH⊥MN,
所以MH=NH=2.5,
所以OM=OH-MH=3.5.
19.（8分）如图所示,在等边三角形ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,OB和OC的垂直平分线分别交BC于E,F.试探索BE,EF,FC的大小关系,并说明理由.
解:
结论:
BE=EF=FC.
理由:
因为△ABC是等边三角形,
所以∠ABC=∠ACB=60°.
因为CO,BO平分∠ACB,∠ABC,
所以∠OBE=∠OCF=30°.
因为EG,HF分别垂直平分OB,OC,
所以OE=BE,OF=FC,
所以∠BOE=∠OBE=30°,
∠COF=∠OCF=30°,
所以∠OEF=∠OFE=60°,
则∠EOF=60°,
所以△OEF是等边三角形,
所以OF=OE=EF,所以BE=EF=FC.
20.（8分）在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.
某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.
作AD⊥BC于D,设BD=x,用含x的代数式表示CD→根据勾股定理,利用AD作“桥梁”,建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长,再计算三角形面积
解:
如图,在△ABC中,AB=15,
BC=14,AC=13,
作AD⊥BC于D,
设BD=x,
所以CD=14-x.
由勾股定理得AD2=AB2-BD2=152-x2,
AD2=AC2-CD2=132-（14-x）2,
所以152-x2=132-（14-x）2,
解得x=9.
所以AD=12.
所以S△ABC=
BC·AD=
×14×12=84.
附加题（共20分）
21.（10分）如图1,已知AB=AC,∠BAC=90°,AE是过点A的一条直线,且点B,C在DE的两侧,BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E.
（1）求证:
BD=DE+CE;
（2）如图2,若直线AE绕点A旋转到图2所示的位置（BD（直接写出结论）;
（3）如图3,若直线AE绕点A旋转到图3所示的位置（BD>CE）时,其余条件不变,则BD与DE,CE的关系如何?
（直接写出结论）.
（1）证明:
因为∠BAC=90°,
所以∠BAD+∠CAE=90°.
因为CE⊥AE,所以∠ACE+∠CAE=90°,
所以∠ACE=∠BAD.
又因为BD⊥AE,CE⊥AE,
所以∠ADB=∠CEA=90°.
在△ABD和△CAE中,
因为∠ADB=∠CEA,∠ACE=∠BAD,
AB=AC,
所以△ABD≌△CAE（AAS）,
所以BD=AE,AD=CE.
因为AE=DE+AD,所以BD=DE+CE.
（2）解:
BD=DE-CE.
（3）解:
BD=DE-CE.
22.（10分）在△ABC中,BC=AC,∠BCA=90°,P为直线AC上一点,过点A作AD⊥BP于点D,交直线BC于点Q.
（1）如图1,当P在线段AC上时,求证:
AQ=BP;
（2）当点P在线段AC的延长线上时,请在图2中画出图形,并求∠CPQ的度数;
（3）如图3,当点P在线段CA的延长线上时,∠DBA=∠ 时,AQ=2BD,并说明理由.
（1）证明:
因为AD⊥BP,∠BCA=90°,
所以∠ADB=∠BCA=90°.
又因为∠APD=∠BPC,所以∠DAP=∠CBP.
在△ACQ和△BCP中,
因为∠QCA=∠PCB,CA=CB,
∠CAQ=∠CBP,
所以△ACQ≌△BCP,所以AQ=BP.
（2）解:
如图所示.
因为∠ACQ=∠BDQ=90°,
∠AQC=∠BQD,
所以∠CAQ=∠DBQ.
在△AQC和△BPC中,
因为∠ACQ=∠BCP,CA=CB,
∠CAQ=∠CBP,
所以△AQC≌△BPC,
所以CQ=CP.
因为∠PCQ=90°,所以∠CPQ=∠CQP=45°.
（3）解:
∠DBA=∠P时,AQ=2BD.
理由:
因为∠DBA=∠P,
所以AP=AB.
因为AD⊥BP,所以BD=DP.
因为∠ACQ=∠ADP=90°,∠PAD=∠QAC,
所以∠P=∠Q.
在△ACQ和△BCP中,
因为∠QCA=∠PCB,∠Q=∠P,CA=CB,
所以△ACQ≌△BCP,所以BP=AQ.
所以AQ=BP=2BD.
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