定理1.1.1
（1）交换律
A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;特别地
A∩A=A,A∪A=A,A∪A∩=.
（2）结合律
A∪（B∪C）=（A∪B）∪C,A∩（B∩C）=（A∩B）∩C.（3）分配律
A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）;一般地
A∩∪α∈ΓBα=∪α∈Γ（A∩Bα）.（4）大小关系（A∩B）A（A∪B）.
（5）若AαBα,α∈Γ,则
∪α∈ΓAα∪α∈ΓBα,∩α∈ΓAα∩α∈ΓBα;
特别地,若AαC或CBα,α∈Γ,则∪α∈ΓAαC,C∩α∈ΓBα.证明
下面仅证
A∩∪α∈ΓBα=∪α∈Γ（A∩Bα）.
任取x∈A∩∪α∈ΓBα,则x∈A且∈Γ,使得x∈B于是x∈∪α∈Γ（A∩Bα）,由x的任意性得A∩∪α∈ΓBα∪α∈Γ（A∩Bα）.
反过来,任取x∈∪α∈Γ（A∩Bα）,则∈Γ,使得x∈A∩Bα0,即x∈A且x∈B从而x∈A
且x∈∪α∈ΓBα,故x∈A∩∪α∈ΓBα,由x的任意性得∪α∈Γ（A∩Bα）A∩∪α∈ΓBα.综合起来,等式成立.□
以下给出关于余集计算的部分性质.定理1.1.2
（1）A-B=A∩SB;
（2）若AB,则
（3）对偶律（德摩根（Morgan）律）若A,BX,则（A∪B）（A∩B）c=Ac∪B
一般地
∩α∈ΓAαc=∪α∈ΓAcα,∪α∈ΓAαc=∩α∈ΓAcα.证明下面仅证对偶律：
若A,BX,则（A∪B）其余结合相关定义类似可得.事实上,由补集定义,（A∪B）∈X且xA∪B}={x|x∈X,x且xB}
={x|x∈X,x∈A且x∈B
德摩根律使我们通过余集的运算把并集变为交集,把交集变为并集.这种转化在集合
的运算及论证中是很有用的.
1.2集合列的上极限和下极限
众所周知,数列可以讨论极限.类似地,集合列也可以讨论极限.以下我们给出集合列及
其极限的定义.
定义1.1.2一列集合{An}
（n=1,2,…）称为集合列,也可记为{An}∞n=1.属于上述集合列中无限多个
集的元素的全体所形成的集称为该集合列的上极限,或称为上限集,记为
An,或
对于上述集合列,那些除了有限个下标外,属于该集合列中每个集合的元
素的全体形成的集称为这个集合列的下极限,或称为下限集,记为或An.
等价地,
n→∞对于任意的自然数n,存在k≥n,使得x∈AAn={x|存在n0∈当n≥n0时,x∈A由此知,
Anlimn→∞
进而,对于给定集合列{An},若其上、下极限相等,则称集合列{An}收敛,其极限即
为它的上（或下）极限,记为集合列的上（下）极限可以用“并”与“交”
运算来表达.定理1.1.3给定集合列{An},则supAn=∩∞n=1∪∞k=nAk,An=∪∞n=1∩∞k=nAk.证明利用
supAn={x|n∈使得x∈A（1.3）
来证明关于上极限的等式,关于下极限的情况可类似证得.记A=limn→∞supAn,B=∩∞n=1∪∞m=nAm.事实上,设x∈A,则对任意取定的n,存在m>n,使得x∈A即对任意n,总有x∈∪∞m=nAm,故x∈B,继而AB.
反之,设x∈B,则对任意的n>0,总有x∈∪∞m=nAm,即总存在m（m≥n）,使得x∈A故x∈A,继而BA,从而A=B,另一等式可同样证明.□
若集合列{An}满足：
AnAn+1,n∈则称{An}是单调增加集合列；若AnAn+1,n∈则称之为单调减少集合列.统称为单调集合列.由定理1.1.3易知,单调集合列是收敛的.具体地,若{An}为单调增加集合列,则∪∞n=1An;
若{An}为单调减少集合列,则
例1.1.3设{An}是如下一列点集：
〗,m=0,1,2,…,A2m=0,1+12m〗,m=1,2,….我们来确定{An}的上、下极限.
因为闭区间\中的点属于每个An,n=1,2,…,而对于开区间（1,2）中的每个点x,必存在自然数N（x）,使得当n>N（x）时,有
即当n>N（x）时,xA2n,但x∈A
换言之,对于开区间（1,2）中的x,具有充分大的奇数指标的集合都含有x,即{An}中有无限多个集合含有x,而充分大的偶数指标的集合都不含有x,即{An}中不含有x的集合不会是有限个.又区间\limAn=\n→∞An=\.例1.1.4
设{An}为：
当n=2k时,A2k=（x,y）0≤x≤2k,0≤y≤12k,k∈当n=2k+1时,
A2k+1=（x,y）0≤x≤12k+1,0≤y≤2k+1,k∈则
An={（x,0）|x≥0}∪{（0,y）|y≥0};An={（0,0）}.定义1.1.3
设A,B是两个集合,称一切有序“元素对”（x,y）（其中x∈A,y∈B）形成的集合为A与B的直积集或笛卡儿（）积,记为A×B,即∈A,y∈B},其中（x,y）=（x′,y′）是指x=x′,y=y′,X×X也记为X2.
例1.1.5设A={1,2,3},B={4,5}，则
例1.1.6\×\为平面上单位闭正方形.
例1.1.7为平面上有理点集.
习题习题
1.3试证：
（1）A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）;
（2）（A\\B）∪B=（A∩B）\\B的充要条件是B=;（3）A-（B-C）=（A-B）∪（A∩C）.
1.4证明：
（1）A△B=B△A;
（2）（A△B）△C=A△（B△C）;
（3）A∩（B△C）=（A∩B）△（A∩C）;
（4）对任意的A,B,存在C使得A△C=B.
1.5设{An}是一集合列，作B1=A1,Bn=An-∪n-
1k=1A试证{Bn}互不相交,且∪ni=1A∪nj=1B
1.6设f（x）,g（x）是点集E上定义的两个函数,a,k为任意实数,但k≠0.则
（1）{x:
f（x）≥a}=∩∞n=1x:
f（x）>a-1n;
（2）{x:
|f（x）g（x）|>a}{x:
|f（x）|>k}∪x:
|g（x）|>ak.
1.7试证：
（1）∪∞i=1（A\\Bi）=A∩∞i=1Bi;
（2）∩∞i=1（A\\Bi）=A∪∞i=1Bi.
1.8设A2n-1=0,1n,A2n=（0,n）,n=1,2,….求出集合列{An}的上限集和下限集.
1.9设
F,n=2k,k=1,2,…,求集合列An的上限集和下限集.
1.10设An=mn:
m为整数,n=1,2,…,试证An=Q,lim
An=Z.
1.11设{fn（x）}是\上的一列函数,且存在E\使得x∈\\\E,0,x∈E.令En=x∈\:
fn（x）≥12,求集合
1.12
设{fn（x）}以及f（x）是定义在上的实值函数,则使{fn（x）}不收敛于f（x）的一切点
x所形成的集合为∪∞k=1∩∞N=1∪∞n=Nx:
|fn（x）-f（x）|≥1k.11.设εk>0（k=1,2,…）,εk随着k→∞单调下降趋于0.f（x）,fn（x）
（n=1,2,…）定义在E上,limn→∞fn（x）=f（x）（x∈E）,试证：
对任意的a有
（1）E\=∪∞k=1limn→∞E\;
（2）E\=∩∞k=1limn→∞E\;（3）E\=∪∞k=1limn→∞E\.注：
E\={x∈E|f（x）>a}.
1.1.2映射、基数与可数集1.2映射、基数与可数集
我们都知道,实数是可以比较大小的,那么自然地联想一下,集合有没有大小的差别呢？
直观地想,如果是有限集合,可能集合元素的个数多集合就大,那么对于含有无限个元素的集合,集合的大小该怎么比较呢？
全体实数构成的集合就一定比全体正实数构成的集合大吗？
在对集合的定义和基础运算有了一定的了解之后,我们接下来就介绍一下用以刻画集合大小的概念：
基数.在此之前,我们要引入映射的概念,本节的最后,我们还将向大家介绍一种最常见的集合：
可数集.
1.2.1映射
大家都熟悉函数概念,下面要讲到的映射是函数概念的抽象化.
定义1.2.1
给定两个非空集合X,Y,若对于X中每个元素x在Y中都存在唯一的元素y与之对应,则称这个对应为映射.若用φ表示这种对应,则记为
X→Y并称φ是从X到Y的一个映射.此时,x∈X在Y中对应元y称为x在映射φ下的像,x称为y的一个原像,记为y=φ（x）.进而,y的原像集为{x|y=φ（x）,x∈X},记为φ-1（y）.φ（X）={y|y=φ（x）,x∈X}称为映射φ:
X→Y的值域,而X为定义域.特别地,若φ（X）=Y，则称映射φ是满射,也称为到上的映射（X到Y上的映射）；若对于每个y∈φ（X）其原像集φ-
1（y）是单点集,等价地,若∈X,当φ（x1）=φ（x2）时必有x1=x2,则称该映
射是单射,也称为一一映射.
注1.2.1一一映射存在逆映射,即φ-1:
φ（X）→X,φ-1（y）=x,当φ（x）=y时.进而,到上的一一映射称为双射,也称为一一对应.
给定映射φ:
X→Y,及AX,Bφ（X）,则A的像集为φ（A）={y|y=φ（x）,x∈A},B的原像集为φ-1（B）={x|φ（x）∈B}.综上易得下面关于映射与集合的并和交运算的关系式：
∪α∈ΓAα=∪α∈Γφ（Aα）,φ∩α∈ΓAα∩α∈Γφ（Aα）;
φ∪α∈ΓAα=∪α∈Γφ-1（Aα）,φ-1∩α∈ΓAα=∩α∈Γφ-1（Aα）.例1.2.1给定非空集合X,定义其非空子集A上的特征函数为∈A,0,xA.
于是A→χA是从X的幂集2X到{0,1}上的映射.而且可以利用特征函数来反馈
集合本身的特征：
χA（x）≤χB（x）AB,χA（x）χB（x）=0A∩B=.1.2.2基数
给定一个集合,若它只含有限个元素则称为有限集；否则,就称为无限集.对于有限集
来说,若不考虑元素的具体特性,则所含元素的个数是一个基本而重要的量,因与元素
个数有关的问题一般会涉及元素个数的比较.两个有限集是否含有相同数量的元素
可用能否建立一一对应来衡量.受此启发,尽管对于无限集来说谈论个数没有实际意
义,但比较两个无限集所含元素的多少，仍然可以用能否建立一一对应来度量.
定义1.2.2给定集合A,B,若存在从A到B的一一对应,则称集合A与B对等,记为A～B.
对等关系有下述性质.定理1.2.1任给集合A,B,C,有
（1）（自反性）A～A;
（2）（对称性）若A～B,则B～A;
（3）（传递性）若A～B,且B～C,则A～C.
符合上述三条的关系称为等价关系.因此,集合之间的对等是一种等价关系.
下面,我们描述性地给出集合基数的概念.
定义1.2.3
设A,B为给定两个集合,如果A～B,那么就称集合A与集合B的基数或者势相同.记为=.
因此,对等的集合具有相同的基数（势）.特别地,当A是非空有限集时,则存在某自然数
n0使得A与{1,2,…,n0}一一对应,而{1,2,…,n0}由n0唯一确定,于是可以认为=n
由此知,基数（势）的概念是通常元素个数的推广.以下给出一些常见的集合的例
子.
例1.2.2（0,1）～事实上,令φ:
x→tanπx-
则易知φ建立了（0,1）与之间的一一对应.
例1.2.3
任意两个圆周上的点集具有相同的基数.事实上,不妨令任给的两个圆同圆心,于是让
从圆心出发的同一条射线与两个圆的交点相互对应,则该对应是一一对应.
有了集合大小的概念--基数,接下来,我们给出基数大小比较的法则.
定义1.2.4
给定两个集合A和B,若存在B的子集B1使得A～B1,则称A的基数不大于B的基数,记为≤;若≤,并且≠,此时称A的基数小于B的基数,记为<.
自然数可以比较大小,类似地,基数也可以比较大小.即,对于任意给定的两个基数α,β,关系式α<β,α=β,α>β,这三者中有且仅有一式成立.证明要涉及集合论的公理系统,超出本教材范围,故略.
对于自然数a,b,若a≤b且b≤a则a=b.对于基数也有类似的结论,也就是说集合的大小在某种意义下也是可以比较的.定理1.2.2（伯恩斯坦（Bernstein）定理）给定集合A,B,若≤且≥,则=.
证明由题设,存在双射φ:
A→φ（A）B,及双射ψ:
B→ψ（B）A.下面用迭代法寻找A′A及B′B,使得φ（A′）=B\\B′,同时ψ（B′）=A\\A′.为此,考虑下面的方程组：
ψ（B′）=A\\A′,等价地B′=B\\φ（A′）.（1.4）为了求解方程组（1.4）,运用迭代法,逐次作B1=B\\φ（A1）,
A2=A\\ψ（B1）,B2=B\\φ（A2）,
An=A\\ψ（Bn-1）,Bn=B\\φ（An）,由上述构造知,AiA,BiB,i=1,2,….注意到ψ是一一映射,于是有ψ∩∞i=1Bi=∩∞i=1ψ（Bi）,
再结合德摩根律,有
∪∞i=1Ai=∪∞i=1（A\\ψ（Bi-1））=A∩∞i=1ψ（Bi-1）=Aψ∩∞i=1Bi-1=Aψ∩∞i=1Bi,此处记B0=B.
类似地,可得
∩∞i=1Bi=∩∞i=1（B\\φ（Ai））=Bφ∪∞i=1Ai.从而,式（1.4）有解
A′=∪∞i=1Ai,B′=∩∞i=1Bi.定义映射
Φ（x）=φ（x）,x∈A′,ψ-1（x）,x∈A\\A′.由上述构造知,φ（A′）=B\\B′,ψ-
1（A\\A′）=B′,于是Φ是满射.至于Φ的单射性由φ及ψ的单射性即得.因此,Φ是从A到B上
的一一对应.从而,A～B.□
推论1.2.1设ABC,A～C,则A～B,B～C.
证明以A～B为例,设φ是A和C之间的一个一一对应,令A*={x:
x∈A,φ（x）∈B},则A*A,A*～B,取B*=A,则自然有B*～A.于是由伯恩斯坦定理
有A～B.
1.13可数集
本小节我们给出最常见的一种无穷集合--可数集的定义,并研究其相关性质.
定义1.2.5
与自然数集对等的集合称为可数集,或称为可列集.于是任意的可数集A均可写成A={
a1,a2,…,an,…},反之,这种形式的集合均为可数集.可数集的基数记为
下面的定理表明,可数集的基数在无限集中是最小的.定理1.2.3任意无限集均包含可数子集.
证明
设A是任意给定的无限集,任意取定a1∈A,因A\\{a1}仍然是无限集,再任意取定a2∈A\\{a依次类推,在A\\{a1,a2}中取出a3,…,在A\\{a1,a2,…,an}中取出an+1,照此继续,即得A的可数子集{a1,a2,…,an,…}.
进一步,我们有下述定理.□定理1.2.4
若X是一个无限集,Y是有限集或可数集,则X∪Y=.
证明
因X∪Y=X∪（Y\\X）,故不妨设X∩Y=.若Y是可数集,记Y={y1,y2,…}.由于X是无限集,由定理1.2.3知,X有可数子集X1={x1,x2,…},于是有分解X=X1∪（X\\X.令φ:
X∪Y→X,使得φ（xn）=x2n,φ（yn）=x2n-
1,n=1,2,…;φ（x）=x,x∈X\\X由此构造知φ是X与X∪Y之间的一一对应;
若Y为有限集,则对应的X1取为与Y有相同个数的X中的有限集,然后类似于上面的
证明即得.□
众所周知,有限集不可能和它的任意真子集建立一一对应关系.无限集与有限集的本
质区别就在于此,即下面的定理.定理1.2.5
集合X是无限集的充要条件是,存在X的真子集Y有Y～X.证明
因若X是有限集时,X不可能与它的任意真子集对等,由此得证充分性；下证必要性：
任取X的一个有限子集A,因X是无限集,故X\\A亦是无限集,利用定理1.2.4得,X\\A=（X\\A）∪A=,记Y=X\\A,得证.□
下面一系列定理关心的是集合及其子集的可数性问题.定理1.2.6
可数集的子集如果不是有限集,则一定是可数集.
证明
设A是可数集,A1是A的一个无限子集.首先,因A1A,故A1≤;其次,因A1是无限集,由定理1.2.3可知,≤A1.于是由伯恩斯坦定理得,A1=,即A1是可数集.□定理1.2.7设A为可数集,B为有限或可数集,则A∪B为可数集.
证明设A={a1,a2,…},B={b1,b2,…,bn}或B={b1,b2,…,bn,…}.
（1）
先设A∩B=,由于可数集总可排成无穷序列,当B有限时,A∪B={b1,a2,…}；当B可数时,A∪B={a可见A∪B总可以排成无穷序列，从而是可数集.
（2）一般情况下,此时令B*=B-A,则
A∪B∪B.由于B至多可数,故B*作为B的子集,也至多可数（有限集或可数集）,由
（1）的证明知,A∪B可数,故A∪B也可数.□
推论1.2.2
设Ai（i=1,2,…,n）是有限集或可数集,则∪ni=1A也是有限集或可数集,但如果至少有一个Ai是可数集,则∪ni=1A必为可数集.定理1.2.8可列个可数集的并集是可数集.
证明设{An}（n=1,2,…）是一列可数集.
（1）
先设Ai∩Aj=（i≠j）,因为Ai都是可数集,于是可记
…},n,k=1,2,…,从而∪∞n=1An中元素可按下述方式排成一列：
∪∞n=1An={a11,a21,a12,a31,a22,a13,a41,…,aij,…},规则是：
a11排第一位,当i+j>2时,aij排在第位.
因此∪∞n=1An是可数集（注：
当部分Ai是有限集时仍适用）.
（2）一般情况下,各Ai可能相交,令A*1=A1,
A*i=Ai-∪i-1j=1A（i≥2）,则A*i∩A*j=（i≠j）且
∪∞i=1Ai=∪∞i=1A*i.
由Ai可数易知A*i都是有限集或可数集,如果只有有限个A*i不为空集,则由
推论1.2.2
易知∪∞i=1A*i为可数集（因为至少A*1=A1为可数集）;如果有无限多个（必
为可数个）A*i不为空集,则由
（1）知∪∞i=1Ai=∪∞i=1A*i
也是可数集,故在任何场合∪∞n=1An都是可数集.□
推论1.2.3
（1）有限集与可数集的并是一可数集;
（2）有限个可数集的并是一可数集;
（3）可数个互不相交的非空有限集的并是一可数集;（4）可数个可数集的并是一可数集.例1.2.4整数集,有理数集均为可数集.
事实上,整数集∪（-其中-N为负自然数全体的集合.因映射f:
建立了与-N之间的一一对应,故-
是可数集.于是由定理1.2.7知是可数集.对于有理数集,记为正有理数全体的集；为负有理数全体的集,于是∪∪{0}.令（n=1,2,…）,则An
（n∈）是一列可数集,而∪∞n=1An,从而由定理1.2.8知亦可数；又与通过映射f（x）=-x（x∈）建立了一一对应,于是
也可数.再利用定理1.2.7即得是可数集.由例1.2.4易得下面一些今后很有用的结论：
有理系数多项式全体所构成的集合是可数集；中无限个互不相交的开区间所形
成的集是可数集.事实上,在每一个开区间中任意取定一个有理数,由题设可知开区间
与取定的有理数是一一对应的.因此这些有理数形成的一个无限子集,记为
由定理1.2.6得可数,从而得证.
注1.2.2
若A中每个元素可由n个互相独立的记号一对一地加以决定,各记号跑遍一个可数集,
即则
A为可数集.
例1.2.5
元素（n1,n2,…,nk）是由k个正整
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