实变函数论讲义.docx

1、实变函数论讲义第1章 集合与点集实变函数论作为现代分析数学的基础,其知识结构是建立在集合论之上的.集合论产生于19世纪70年代,由德国数学家康托尔（Cantor）创立,它是整个现代数学的开端及逻辑基础.作为本科教材,本章只介绍必需的集合论知识,而不涉及有关集合论公理的讨论.1.1 集合及相关概念大家在中学就认识了集合这个概念.所谓集合,是指具有某种特定性质的对象的全体.集合中的对象称为该集合的元素.集合通常用大写英文字母A,B,C,表示；元素通常用小写英文字母a,b,c,表示.今后用一些特殊的记号表示特殊的集合：表示全体实数形成的集合；表示全体复数形成的集合；分别表示自然数集、整数集和有理数集

2、.另外,不含任何元素的集合称为空集,用记号表示.集合的具体表示方法一般有两种： 一种是枚举法,如集合1,2,3,4,5;一种是描述法,例如,大于20的自然数组成的集合,可写为x|x20,且x为自然数.一般地,若A是具有某种性质P的元素组成的集合,通常记为A=x|x具有性质P.对于给定的某集合A及某对象a,若a是A中的元素,就说a属于集合A,记为aA;否则,就说a不属于集合A,记为a A.给定两个集合A和B,若A中的元素都属于B,则称A是B的子集,记为 A B或B A;进而,若同时有A B和B A，则A=B.对于任意的非空集合A,空集和A当然是A的子集,这两个子集称为平凡子集.除此之外的子集称为

3、真子集.例1.1.1 写出1,2,3的所有子集,由此计算1,2,n的子集的个数,其中n1,2,3的所有子集是： 第1章 集合与点集1.1集合及相关概念共2 3=8个.一般地,1,2,n的子集的个数是：其中(k0,1,n)为组合数公式.任给集合A,它的所有子集构成的集合称为它的幂集,记为2 A.1.1.1 集合的运算我们知道,数可以进行运算,并由此生成新的数.类似地,集合之间也可以进行运算,并由此生成新的集合.其中,最常用的运算有“并”、“交”、“差”三种.定义1.1.1任意给定集合A和B,集合x|xA或xB称为A与B的并集,并集也称为和集,记为AB,或A+B;集合x|xA且xB称为它们的交集,

4、交集也称为积集,记为AB,或AB;推而广之,给定集合族A ,其中是指标集,则此集合族的并集与交集分别为 A =x| ,xA (1.1)A =x| ,xA (1.2)集合x|xA且x B称为A与B的差集,又称补集，记为AB,或A-B.注意： 一般来说(A-B)B未必等于A.如果已知A B,则A-B称为B相对于A的余集,记为特别地,如果我们在某一问题中所考虑的一切集合都是某一给定集合S的子集时,集合B相对于S的余集就简称为B的余集, 简记为B c.而集合(B-A)称为A与B的对称差,记为AB.例1.1.2 设A j=x0x1+1j,j=1,2,B i=x-1+1ix1-1i,i=1,2,C k=x

5、-1kx1k,k=1,2,则nj=1A j=x0x1+1n, mi=1Bpk=1C k=x-1px1p. 其中n,m,p由此知j=1A j=x|0x1, i=1B i=x|-1xn,使得xA即对任意n,总有xm=nA m,故xB,继而A B.反之,设xB,则对任意的n0,总有xm=nA m,即总存在m(mn),使得xA故xA,继而B A,从而A=B,另一等式可同样证明.若集合列A n满足：A n A n+1,n则称A n是单调增加集合列；若A n A n+1,n则称之为单调减少集合列.统称为单调集合列.由定理1.1.3易知,单调集合列是收敛的.具体 地,若A n为单调增加集合列,则 n=1A

6、n;若A n为单调减少集合列,则 例1.1.3 设A n是如下一列点集： , m=0,1,2, A 2m=0,1+12m, m=1,2,. 我们来确定A n的上、下极限.因为闭区间中的点属于每个A n,n=1,2,而对于开区间(1,2)中的每个点x,必存在自然数N(x),使得当nN(x)时,有即当nN(x)时,x A 2n,但xA换言之,对于开区间(1,2)中的x,具有充分大的奇数指标的集合都含有x,即A n中有无限多个集合含有x,而充分大的偶数指标的集合都不含有x,即A n中不含有x的集合不会是有限个.又区间 lim A n=n A n=. 例1.1.4设A n为： 当n=2k时,A 2k=

7、(x,y)0x2k,0y12k, k当n=2k+1时,A 2k+1=(x,y)0x12k+1,0y2k+1, k则 A n=(x,0)|x0(0,y)|y0; A n=(0,0). 定义1.1.3设A,B是两个集合,称一切有序“元素对”(x,y)(其中xA,yB)形成的集合为A与B的直积集或笛卡儿（）积,记为AB,即A,yB,其中(x,y) =(x,y)是指x=x,y=y,XX也记为X 2.例1.1.5 设A=1,2,3,B=4,5，则例1.1.6 为平面上单位闭正方形.例1.1.7 为平面上有理点集.习题习 题1.3 试证：(1) A(BC)=(AB)(AC);(2) (AB)B=(AB)B

8、的充要条件是B= ;(3) A-(B-C)=(A-B)(AC).1.4 证明：(1) AB=BA;(2) (AB)C=A(BC);(3) A(BC)=(AB)(AC);(4) 对任意的A,B,存在C使得AC=B.1.5 设A n是一集合列，作B 1=A 1,B n=A n-n-1k=1A试证B n互不相交,且ni=1Anj=1B1.6 设f(x),g(x)是点集E上定义的两个函数,a,k为任意实数,但k0.则(1) x: f(x)a=n=1x: f(x)a-1n;(2) x: |f(x)g(x)|a x: |f(x)|kx: |g(x)|ak.1.7 试证：(1) i=1(AB i)=Ai=1

9、B i; (2) i=1(AB i)=Ai=1B i.1.8 设A 2n-1=0,1n,A 2n=(0,n),n=1,2,.求出集合列A n的上限集和下限集.1.9 设F,n=2k, k=1,2, 求集合列A n的上限集和下限集.1.10 设A n=mn: m为整数,n=1,2,试证 A n= Q , lim A n= Z .1.11 设f n(x)是上的一列函数,且存在E 使得 xE, 0, xE.令E n=x: f n(x)12,求集合1.12设f n(x)以及f(x)是定义在上的实值函数,则使f n(x)不收敛于f(x)的一切点x所形成的集合为k=1N=1n=Nx: |f n(x)-f(

10、x)|1k. 11. 设 k0(k=1,2,) , k随着k单调下降趋于0.f(x),f n(x)(n=1,2,）定义在E上, lim nf n(x)=f(x)(xE),试证： 对任意的a有(1) E=k=1 lim nE;(2) E=k=1 lim nE;(3) E=k=1 lim nE.注： E=xE|f(x)a.1.1.2 映射、基数与可数集1.2 映射、基数与可数集我们都知道,实数是可以比较大小的,那么自然地联想一下,集合有没有大小的差别呢？直观地想,如果是有限集合,可能集合元素的个数多集合就大,那么对于含有无限个元素的集合,集合的大小该怎么比较呢？全体实数构成的集合就一定比全体正实数

11、构成的集合大吗？在对集合的定义和基础运算有了一定的了解之后,我们接下来就介绍一下用以刻画集合大小的概念：基数.在此之前,我们要引入映射的概念,本节的最后,我们还将向大家介绍一种最常见的集合： 可数集.1.2.1 映射大家都熟悉函数概念,下面要讲到的映射是函数概念的抽象化.定义1.2.1给定两个非空集合X,Y,若对于X中每个元素x在Y中都存在唯一的元素y与之对应,则称这个对应为映射.若用表示这种对应,则记为XY 并称是从X到Y的一个映射.此时,xX在Y中对应元y称为x在映射下的像,x称为y的一个原像,记为y=(x).进而,y的原像集为x|y=(x),xX,记为 -1(y). (X)=y|y=(x

12、), xX称为映射: XY的值域,而X为定义域.特别地,若(X)=Y，则称映射是满射,也称为到上的映射(X到Y上的映射)；若对于每个y(X)其原像集 -1(y)是单点集,等价地,若X,当(x 1)=(x 2)时必有x 1=x 2,则称该映射是单射,也称为一一映射.注1.2.1 一一映射存在逆映射,即 -1: (X)X, -1(y)=x,当 (x)=y时.进而,到上的一一映射称为双射,也称为一一对应.给定映射:XY,及A X,B (X),则A的像集为(A)=y|y=(x), xA,B的原像集为 -1(B)=x|(x)B.综上易得下面关于映射与集合的并和交运算的关系式：A =(A ), A (A

13、);A = -1(A ), -1A = -1(A ). 例1.2.1给定非空集合X,定义其非空子集A上的特征函数为 A,0,x A. 于是A A是从X的幂集2 X到0,1上的映射.而且可以利用特征函数来反馈集合本身的特征： A(x) B(x) A B, A(x) B(x)=0 AB= . 1.2.2 基数给定一个集合,若它只含有限个元素则称为有限集；否则,就称为无限集.对于有限集来说,若不考虑元素的具体特性,则所含元素的个数是一个基本而重要的量,因与元素个数有关的问题一般会涉及元素个数的比较.两个有限集是否含有相同数量的元素可用能否建立一一对应来衡量.受此启发,尽管对于无限集来说谈论个数没有实

14、际意义,但比较两个无限集所含元素的多少，仍然可以用能否建立一一对应来度量.定义1.2.2 给定集合A,B,若存在从A到B的一一对应,则称集合A与B对等,记为AB.对等关系有下述性质. 定理1.2.1 任给集合A,B,C,有(1) （自反性）AA;(2) （对称性）若AB,则BA;(3) （传递性）若AB,且BC,则AC.符合上述三条的关系称为等价关系.因此,集合之间的对等是一种等价关系.下面,我们描述性地给出集合基数的概念.定义1.2.3设A,B为给定两个集合,如果AB,那么就称集合A与集合B的基数或者势相同.记为=.因此,对等的集合具有相同的基数（势）.特别地,当A是非空有限集时,则存在某自

15、然数n 0使得A与1,2,n 0一一对应,而1,2,n 0由n 0唯一确定,于是可以认为=n由此知,基数（势）的概念是通常元素个数的推广.以下给出一些常见的集合的例子.例1.2.2 (0,1)事实上,令: x tan x-则易知建立了(0,1)与之间的一一对应.例1.2.3任意两个圆周上的点集具有相同的基数.事实上,不妨令任给的两个圆同圆心,于是让从圆心出发的同一条射线与两个圆的交点相互对应,则该对应是一一对应.有了集合大小的概念-基数,接下来,我们给出基数大小比较的法则.定义1.2.4给定两个集合A和B,若存在B的子集B 1使得AB 1,则称A的基数不大于B的基数,记为;若,并且,此时称A的

16、基数小于B的基数,记为.自然数可以比较大小,类似地,基数也可以比较大小.即,对于任意给定的两个基数,关系式,这三者中有且仅有一式成立.证明要涉及集合论的公理系统,超出本教材范围,故略.对于自然数a,b,若ab且ba则a=b.对于基数也有类似的结论,也就是说集合的大小在某种意义下也是可以比较的. 定理1.2.2（伯恩斯坦（Bernstein）定理）给定集合A,B,若且,则=.证明 由题设,存在双射: A(A) B,及双射:B(B) A.下面用迭代法寻找A A及B B,使得(A)=BB,同时(B)=AA.为此,考虑下面的方程组： (B)=AA, 等价地B=B(A). (1.4) 为了求解方程组(1

17、.4),运用迭代法,逐次作B 1=B(A 1),A 2=A(B 1), B 2=B(A 2), A n=A(B n-1), B n=B(A n), 由上述构造知,A i A,B i B,i=1,2,.注意到是一一映射,于是有 i=1B i=i=1(B i),再结合德摩根律,有i=1A i=i=1(A(B i-1)=Ai=1(B i-1)=Ai=1B i- 1=Ai=1B i, 此处记B 0=B.类似地,可得i=1B i=i=1(B(A i)=Bi=1A i.从而,式(1.4)有解A=i=1A i, B=i=1B i.定义映射(x)=(x),xA, -1(x),xAA. 由上述构造知,(A)=B

18、B, -1(AA)=B,于是是满射.至于的单射性由及的单射性即得.因此,是从A到B上的一一对应.从而,AB.推论1.2.1 设A B C,AC,则AB,BC.证明 以AB为例,设是A和C之间的一个一一对应,令A *=x:xA,(x)B,则A * A,A *B,取B *=A,则自然有B *A.于是由伯恩斯坦定理有AB.1.13 可数集本小节我们给出最常见的一种无穷集合-可数集的定义,并研究其相关性质.定义1.2.5与自然数集对等的集合称为可数集,或称为可列集.于是任意的可数集A均可写成A=a 1,a 2,a n,反之,这种形式的集合均为可数集.可数集的基数记为下面的定理表明,可数集的基数在无限集

19、中是最小的. 定理1.2.3任意无限集均包含可数子集.证明设A是任意给定的无限集,任意取定a 1A,因Aa 1仍然是无限集,再任意取定a 2Aa依次类推,在Aa 1,a 2中取出a 3,在Aa 1,a 2,a n中取出 a n+1,照此继续,即得A的可数子集a 1,a 2,a n,.进一步,我们有下述定理. 定理1.2.4若X是一个无限集,Y是有限集或可数集,则XY=.证明因XY=X(YX),故不妨设XY= .若Y是可数集,记Y=y 1,y 2,.由于X是无限集,由定理1.2.3知,X有可数子集X 1=x 1,x 2,于是有分解X=X 1(XX.令: XYX,使得(x n)=x 2n,(y n

20、)=x 2n-1,n=1,2,;(x)=x,xXX由此构造知是X与XY之间的一一对应;若Y为有限集,则对应的X 1取为与Y有相同个数的X中的有限集,然后类似于上面的证明即得.众所周知,有限集不可能和它的任意真子集建立一一对应关系.无限集与有限集的本质区别就在于此,即下面的定理. 定理1.2.5集合X是无限集的充要条件是,存在X的真子集Y有YX.证明因若X是有限集时,X不可能与它的任意真子集对等,由此得证充分性；下证必要性：任取X的一个有限子集A,因X是无限集,故XA亦是无限集,利用定理1.2.4得,XA=(XA)A=,记Y=XA,得证.下面一系列定理关心的是集合及其子集的可数性问题. 定理1.

21、2.6可数集的子集如果不是有限集,则一定是可数集.证明设A是可数集,A 1是A的一个无限子集.首先,因A 1 A,故A 1;其次,因A 1是无限集,由定理1.2.3可知,A 1.于是由伯恩斯坦定理得,A 1=,即A 1是可数集.定理1.2.7 设A为可数集,B为有限或可数集,则AB为可数集.证明 设A=a 1,a 2,B=b 1,b 2,b n或B=b 1,b 2,b n,. (1)先设AB= ,由于可数集总可排成无穷序列,当B有限时,AB=b1,a 2,；当B可数时,AB=a可见AB总可以排成无穷序列，从而是可数集.(2) 一般情况下,此时令B *=B-A,则ABB.由于B至多可数,故B *

22、作为B的子集,也至多可数（有限集或可数集）,由(1)的证明知,AB可数,故AB也可数.推论1.2.2设A i(i=1,2,n)是有限集或可数集,则ni=1A也是有限集或可数集,但如果至少有一个A i是可数集,则ni=1A必为可数集. 定理1.2.8 可列个可数集的并集是可数集.证明 设A n (n=1,2,）是一列可数集.(1)先设A iA j= (ij),因为A i都是可数集,于是可记, n,k=1,2, 从而n=1A n中元素可按下述方式排成一列：n=1A n=a 11,a 21,a 12,a 31,a 22,a 13,a 41,a ij,规则是： a 11排第一位,当i+j2时,a ij

23、排在第位. 因此n=1A n是可数集（注： 当部分A i是有限集时仍适用）.(2) 一般情况下,各A i可能相交,令 A * 1=A 1,A * i=A i-i-1j=1A (i2),则A * iA * j= (ij)且i=1A i=i=1A * i.由A i可数易知A * i都是有限集或可数集,如果只有有限个A * i不为空集,则由推论1.2.2易知i=1A * i为可数集（因为至少A * 1=A 1为可数集）;如果有无限多个（必为可数个）A * i不为空集,则由(1)知i=1A i=i=1A * i也是可数集,故在任何场合n=1A n都是可数集.推论1.2.3 (1) 有限集与可数集的并是

24、一可数集;(2) 有限个可数集的并是一可数集;(3) 可数个互不相交的非空有限集的并是一可数集; (4) 可数个可数集的并是一可数集. 例1.2.4 整数集,有理数集均为可数集.事实上,整数集(-其中- N 为负自然数全体的集合. 因映射f:建立了与- N 之间的一一对应,故-是可数集.于是由定理1.2.7知是可数集.对于有理数集,记为正有理数全体的集；为负有理数全体的集,于是0.令 (n=1,2,), 则A n(n）是一列可数集,而n=1A n,从而由定理1.2.8知亦可数；又与通过映射f(x)=-x (x）建立了一一对应,于是也可数.再利用定理1.2.7即得是可数集.由例1.2.4易得下面一些今后很有用的结论：有理系数多项式全体所构成的集合是可数集；中无限个互不相交的开区间所形成的集是可数集.事实上,在每一个开区间中任意取定一个有理数,由题设可知开区间与取定的有理数是一一对应的.因此这些有理数形成的一个无限子集,记为由定理1.2.6得可数,从而得证.注1.2.2若A中每个元素可由n个互相独立的记号一对一地加以决定,各记号跑遍一个可数集,即则A为可数集.例1.2.5元素(n 1,n 2,n k)是由k个正整