高一数学立体几何单元测试题9.docx
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高一数学立体几何单元测试题9
立几面测试009
掌握二面角、二面角的平面角的概念；掌握作二面角的平面角的三种基本方法：
（1）棱上一点——双垂线法，即定义法；
（2）面上一点——三垂线法，关键找出连结两个面上两点且垂直于其中一个面的线段，再利用三垂线定理或三垂线定理的逆定理作出证明；
（3）空间一点——垂面法，即作出与棱垂直的平面.求解二面角的大小问题，常常转化为求解二面角的平面角的大小问题，将空间问题转化为平面问题来求解，这是一种数学的基本思想和方法.掌握利用面积射影定理求二面角的方法.
一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1.二面角是指（）
A.两个平面所组成的角
B.经过同一直线的两个平面所成的图形
C.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形
D.两个平面所夹的不大于90°的角
2.从二面角的棱上一点，在两个半平面上各作一条射线所成的角中（）
A.二面角的平面角最大
B.二面角的平面角最小
C.二面角的平面角是最大还是最小，由二面角是否大于90°决定
D.二面角的平面角既非最大，也非最小
3.已知正方形ABCD，沿对角线AC将△ADC折起，设AD与平面ABC所成的角为β，当β取最大值时，二面角B—AC—D等于（）
A.120°B.90°
C.60°D.45°
4.四面体ABCD的四个面全等，且AB=AC=
，BC=2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小为（）
A.arccos
B.arccos
C.
D.
5.在直角坐标系中，设A（3，2），B（－2，－3），沿y轴把直角坐标平面折成120°的二面角后，AB长为（）
A.2
B.2
C.
D.4
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角D1—AC—D的正切值是________.
2.已知α—l—β二面角的度数是60°,面α内一点A到棱l的距离为2
，则A到面β的距离为________.
3.正方形ABCD，P是正方形所在平面外一点，PA⊥平面AC，且PA=AB，则二面角A—PD—C的度数为________，二面角B—PA—D的度数为________，二面角B—PA—C的度数为________，二面角B—PC—D的度数为________.
4.在60°的二面角α—l—β的面α内一点A到面β的距离为
A在β上的射影为A′,则A′到面α的距离为________；异面直线AA′、l间的距离为________.
5.菱形ABCD的对角线AC=
，沿BD把面ABD折起与面BCD成120°的二面角后，点A到面BCD的距离为________.
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
1.在二面角α—l—β中，A、B∈α,D∈l,ABCD为矩形，P∈β，PA⊥α，且PA=AD，M、N依次是AB、PC的中点，
（1）求二面角α—l—β的大小；
（2）求证：
MN⊥AB；
（3）求异面直线PA与MN所成角的大小.
2.长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长AB=
，AA1=1，截面AB1C1D为正方形.
（1）求点B1到平面ABC1的距离；
（2）求二面角B—AC1—B1的正弦值.
3.四面体M—ABC中，MC⊥平面ABC，∠BAC=90°,MC=4,AC=3,AB=4,求二面角A—MB—C的余弦值.
4.如图，边长为20的正△ABC顶点A在平面α内，B、C在平面α同侧，且B、C到α的距离分别是10和5，求△ABC所在平面和α所成的二面角的大小.
5.如图，二面角M—CD—N的度数为α，A为M上一点，B为N上一点，CD在棱上，且AB⊥CD，又AB与平面N成30°角，若△ACD的面积为S，求α为何值时，△BCD的面积最大，其最大面积是多少？
立几面测试009
参考答案
一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1.C2.B3.B4.C5.B
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1.
2.33.90°90°45°120°4.
15.
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
1.
（1）解：
连结PD
∵PA⊥α,AD⊥l，∴PD⊥l
∴∠PDA是二面角α—l—β的平面角.
由PA=AD，有∠PDA=45°.
故二面角α—l—β的大小为45°.
（2）证明：
取CD的中点为E，连结ME、NE，则EM∥AD，EN∥PD，
∴CD⊥ME，CD⊥NE，
∴CD⊥平面MNE，又AB∥CD
∴AB⊥平面MNE，故AB⊥MN.
（3）解：
取PD中点为Q，连结QA、QN，则QN
CD,而AM
CD.
∴QNMA是平行四边形.
∴AQ∥MN
∴∠PAQ是异面直线PA与MN所成的角.
∵△PAD为等腰直角三角形，AQ为斜边上的中线，
∴∠PAQ=45°
即PA与MN所成的角的大小为45°.
2.解：
（1）如图，
∵棱长AB=
，
AA1=1，
AB1C1D是正方形，
∴B1C1=AB1=2
∵AB⊥平面BB1C1C.
∴平面ABC1⊥平面BB1C1C.
作B1H⊥BC1于H，则B1H⊥平面ABC1，
∴B1H为点B1到平面ABC1的距离.
在Rt△BB1C1中
∵BB1·B1C1=BC1·B1H.
∴B1H=
.
（2）作HO⊥AC1,垂足为O，则B1O⊥AC1
∴∠HOB1是二面角B—AC1—B1的平面角，又O是正方形AB1C1D的对角线交点，
∴sinB1OH=
3.解：
如图，作AE⊥MB，CF⊥MB，则异面直线AE、CF所成的角等于二面角A—MB—C的平面角.
∵AC=3，MC=4，AM=5，AB=4.
∴BC=5，MB=
∵∠MAB=90°，AE=
，CF=
BE=
，MF=
.
∴EF=MB－MF－BE=
－
×2=
由公式AC=
得
cosθ=
.
4.解：
设BD、CE是点B、C到平面α的距离，则BD⊥α，CE⊥α,BD=10,CE=5,由直线与平面垂直的性质，得BD∥CE，
∴B、D、E、C共面.
∵BD≠CE,∴BC、DE必相交，
设交点为F，∵DF
α,∴F∈α,
∵BC
平面ABC∴F∈平面ABC，
∴F是平面ABC和平面α的又一公共点.
∵A是平面ABC和平面α的公共点，
∴平面ABC∩平面α=AF，
在△BDF中，∵BD∥CE，BD=2CE，∴CF=BC.
又∵△ABC为正三角形
∴CF=AC，∠ACF=120°
∴∠BAF=∠BAC+∠CAF=60°+30°=90°.
由三垂线定理的逆定理，得DA⊥AF.
∴∠BAD是△ABC和平面α所成的二面角的平面角.
在Rt△ABD中，AB=20，BD=10，
∴∠BAD=30°，
∴△ABC所在平面和α所成的二面角的大小为30°.
5.解：
过A作AO⊥平面N于O，连BO，BO或BO的延长线交CD于E，连AE.
∵CD⊥AB∴CD⊥BE
∴CD⊥AE.
∴∠AEB=α是二面角的平面角.
且∠ABO=30°
∵△ACD面积为S，设AE=h,CD=
.
在△ABE中,∠AEB=α,∠ABO=30°,则∠BAE=150°－α.
由正弦定理
BE=
S△BCD=
CD·BE=
·
·
=2Ssin（150°－α）.
当α=60°时，S△BCD=2S为最大.
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