1、高一数学立体几何单元测试题9立几面测试009掌握二面角、二面角的平面角的概念;掌握作二面角的平面角的三种基本方法:(1)棱上一点双垂线法,即定义法;(2)面上一点三垂线法,关键找出连结两个面上两点且垂直于其中一个面的线段,再利用三垂线定理或三垂线定理的逆定理作出证明;(3)空间一点垂面法,即作出与棱垂直的平面.求解二面角的大小问题,常常转化为求解二面角的平面角的大小问题,将空间问题转化为平面问题来求解,这是一种数学的基本思想和方法.掌握利用面积射影定理求二面角的方法.一、选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1.二面角是指( )A.两个平面所组成的角B.经过同一直线的两个平面所成的图形
2、C.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形D.两个平面所夹的不大于90的角2.从二面角的棱上一点,在两个半平面上各作一条射线所成的角中( )A.二面角的平面角最大B.二面角的平面角最小C.二面角的平面角是最大还是最小,由二面角是否大于90决定D.二面角的平面角既非最大,也非最小3.已知正方形ABCD,沿对角线AC将ADC折起,设AD与平面ABC所成的角为,当取最大值时,二面角BACD等于( )A.120 B.90C.60 D.454.四面体ABCD的四个面全等,且AB=AC=,BC=2,则以BC为棱,以面BCD与面BCA为面的二面角的大小为( )A.arccos B.arccos C. D.
3、5.在直角坐标系中,设A(3,2),B(2,3),沿y轴把直角坐标平面折成120的二面角后,AB长为( )A.2 B.2 C. D.4二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1.在正方体ABCDA1B1C1D1中,二面角D1ACD的正切值是_.2.已知l二面角的度数是60,面内一点A到棱l的距离为2,则A到面的距离为_.3.正方形ABCD,P是正方形所在平面外一点,PA平面AC,且PA=AB,则二面角APDC的度数为_,二面角BPAD的度数为_,二面角BPAC的度数为_,二面角BPCD的度 数为_.4.在60的二面角l的面内一点A到面的距离为,A在上的射影为A,则A到面的距离为_;异
4、面直线AA、l间的距离为_.5.菱形ABCD的对角线AC=,沿BD把面ABD折起与面BCD成120的二面角后,点A到面BCD的距离为_.三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)1.在二面角l中,A、B,Dl,ABCD为矩形,P,PA,且PA=AD,M、N依次是AB、PC的中点,(1)求二面角l的大小;(2)求证:MNAB;(3)求异面直线PA与MN所成角的大小.2.长方体ABCDA1B1C1D1中,棱长AB=,AA1=1,截面AB1C1D为正方形.(1)求点B1到平面ABC1的距离;(2)求二面角BAC1B1的正弦值.3.四面体MABC中,MC平面ABC,BAC=90,MC=4,AC
5、=3,AB=4,求二面角AMBC的余弦值.4.如图,边长为20的正ABC顶点A在平面内,B、C在平面同侧,且B、C到的距离分别是10和5,求ABC所在平面和所成的二面角的大小.5.如图,二面角MCDN的度数为,A为M上一点,B为N上一点,CD在棱上,且ABCD,又AB与平面N成30角,若ACD的面积为S,求为何值时,BCD的面积最大,其最大面积是多少?立几面测试009参考答案一、选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1.C 2.B 3.B 4.C 5.B二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1. 2.3 3.90 90 45 120 4. 1 5. 三、解答题(本大题共5小
6、题,每小题6分,共30分)1.(1)解:连结PDPA,ADl,PDlPDA是二面角l的平面角.由PA=AD,有PDA=45.故二面角l的大小为45.(2)证明:取CD的中点为E,连结ME、NE,则EMAD,ENPD,CDME,CDNE,CD平面MNE,又ABCDAB平面MNE,故ABMN.(3)解:取PD中点为Q,连结QA、QN,则QNCD,而AMCD.QNMA是平行四边形.AQMNPAQ是异面直线PA与MN所成的角.PAD为等腰直角三角形,AQ为斜边上的中线,PAQ=45即PA与MN所成的角的大小为45.2.解:(1)如图,棱长AB=,AA1=1,AB1C1D是正方形,B1C1=AB1=2A
7、B平面BB1C1C.平面ABC1平面BB1C1C.作B1HBC1于H,则B1H平面ABC1,B1H为点B1到平面ABC1的距离.在RtBB1C1中BB1B1C1=BC1B1H.B1H=.(2)作HOAC1,垂足为O,则B1OAC1HOB1是二面角BAC1B1的平面角,又O是正方形AB1C1D的对角线交点,sinB1OH=3.解:如图,作AEMB,CFMB,则异面直线AE、CF所成的角等于二面角AMBC的平面角.AC=3,MC=4,AM=5,AB=4.BC=5,MB=MAB=90,AE=,CF=BE=,MF=.EF=MBMFBE=2=由公式AC=得cos=.4.解:设BD、CE是点B、C到平面的
8、距离,则BD,CE,BD=10,CE=5,由直线与平面垂直的性质,得BDCE,B、D、E、C共面.BDCE,BC、DE必相交,设交点为F,DF,F,BC平面ABC F平面ABC,F是平面ABC和平面的又一公共点.A是平面ABC和平面的公共点,平面ABC平面=AF,在BDF中,BDCE,BD=2CE,CF=BC.又ABC为正三角形CF=AC,ACF=120BAF=BAC+CAF=60+30=90.由三垂线定理的逆定理,得DAAF.BAD是ABC和平面所成的二面角的平面角.在RtABD中,AB=20,BD=10,BAD=30,ABC所在平面和所成的二面角的大小为30.5.解:过A作AO平面N于O,连BO,BO或BO的延长线交CD于E,连AE.CDAB CDBECDAE.AEB=是二面角的平面角.且ABO=30ACD面积为S,设AE=h,CD=.在ABE中,AEB=,ABO=30,则BAE=150.由正弦定理,BE=SBCD=CDBE=2Ssin(150).当=60时,SBCD=2S为最大.
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