4．有两个互为相反数的零点的函数（ ）
A．只能是偶函数B．可以是奇函数
C．可以是增函数D．可以是减函数
答案 B
解析 增函数与减函数不可能有两个零点，而奇函数和偶函数都可能有两个互为相反数的零点．
5．若x0是方程（
）x＝x的解，则x0∈（ ）
A．（0.1,0.2）B．（0.3,0.4）
C．（0.5,0.7）D．（0.9,1）
答案 C
解析
6．若函数f（x）与函数g（x）的图像有且只有一个交点，则必有（ ）
A．函数y＝f（x）有且只有一个零点
B．函数y＝g（x）有且只有一个零点
C．函数y＝f（x）＋g（x）有且只有一个零点
D．函数y＝f（x）－g（x）有且只有一个零点
答案 D
解析 f（x）与g（x）有交点，即f（x）－g（x）＝0有根，亦即y＝f（x）－g（x）有零点．
7．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水填满，再倒出1升混合液又用水填满，这样继续进行，如果倒n次时共倒出纯酒精x升，倒第n＋1次时共倒出纯酒精f（x）升，那么函数f（x）的表达式是（ ）
A．f（x）＝
xB．f（x）＝
x＋1
C．f（x）＝
xD．f（x）＝
x＋1
答案 D
解析 f（x）＝x＋
×1＝
x＋1.
8．下列方程在区间（2,3）内一定没有实根的是（ ）
A．x2－2x－1＝0B．lgx＋x－3＝0
C．2x－1＝5－xD．log
x＝（
）x
答案 D
解析 A中：
f
（2）＝－1<0，f（3）＝2>0，（2,3）内有根；B中：
f
（2）＝lg2－1<0，f（3）＝lg3>0，（2,3）内有根；C中：
f（x）＝2x－1－5＋x，f
（2）＝－1<0，f（3）＝2>0，（2,3）内有根．故选D.事实上，对D可以结合图像知其有唯一解，这个解在（0,1）上．
9．函数y＝lnx＋2x－6的零点必定位于区间（ ）
A．（1,2） B．（2,3） C．（3,4） D．（4,5）
答案 B
解析 观察函数y＝lnx与y＝－2x＋6的图像可知函数只有一个零点，设f（x）＝lnx＋2x－6，则f
（2）＝ln2－2<0，f（3）＝ln3>0，故零点在（2,3）内．
10．函数f（x）＝x3－2x2－x＋2的零点的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
答案 D
解析 ∵f（x）＝x2（x－2）－（x－2）＝（x－2）（x＋1）（x－1），∴f（x）有三个零点，故选D.
11．若函数f（x）是奇函数，且函数f（x）有三个零点：
x1、x2、x3，则x1＋x2＋x3的值（ ）
A．是－1B．是0
C．是3D．不确定
答案 B
解析 由f（x）是奇函数且f（x）有三个零点，知f（x）的图象与x轴有三个交点，则必有一个交点为原点，另外两个交点关于y轴对称，不妨设x2＝0，则有x1＝－x3，即x1＋x3＝0⇒x1＋x2＋x3＝0.
12．某品牌彩电厂家为了打开市场，促进销售，准备对其生产的某种型号的彩电降价销售，现有四种方案①先降价a%，再降价b%；②先降价b%，再降价a%；③先降价
%，再降价
%；④一次性降价（a＋b）%.其中a>0，b>0，a≠b，上述四种方案中，降价幅度最大的是（ ）
A．方案①B．方案②C．方案③D．方案④
答案 D
解析 设原价为A元，降价销售时的价格为：
方案1：
A（1－a%）（1－b%）．
方案2：
A（1－b%）（1－a%）＝[1－（a%＋b%）＋a%·b%]A.
方案3：
A
2
＝
A.
方案4：
A[1－（a%＋b%）]．
显然，应选择D.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．若一元二次方程f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0）的两根x1、x2满足m＜x1＜n＜x2＜p，则f（m）·f（n）·f（p）______0（填“＞”、“＝”、“＜”）．
答案 ＜
解析 ∵a＞0，∴f（x）的图像开口向上，∴f（m）＞0，f（n）<0，f（p）＞0，∴f（m）·f（n）·f（p）＜0.
14．有m部同样的机器一齐工作，需要m小时完成一项任务，若由x部机器（x为不大于m的正整数）完成同一任务，需时间y（小时）与机器的个数x的函数关系式为________________________________．
答案 y＝
，（x∈N*且x≤m）
解析 一部机器一小时完成任务的
，x部机器一小时完成任务的
.
15．按复利（把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期的利息）计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，本利和y随存期x变化的函数式是__________．
答案 y＝a（1＋r）x
解析 一年后的本利和为a（1＋r），两年后为a（1＋r）（1＋r）＝a（1＋r）2，依次类推知x年后的本利和为y＝a（1＋r）x.
16．已知二次函数y＝kx2－7x－7的图像和x轴有交点，则k的取值范围是__________．
答案 k≥－
且k≠0
解析 由于为二次函数，∴k≠0，要使图像和x轴有交点即Δ＝（－7）2－4k×（－7）≥0，得k≥－
.
三、解答题（共70分）
17．（10分）设在海拔xm处的大气压强是yPa，y与x之间的函数关系是y＝cekx，其中c、k为常量．测得某地某天海平面的大气压强为1.01×105Pa,1000m高空的大气压为0.90×105Pa，求600m高空的大气压强（保留3个有效数字）．
分析 将已知条件代入函数关系式，列方程，求出待定系数，再由所得解析式求值．
解析 由题意得
∴
将①代入②得0.90×105＝1.01×105e1000k
∴k＝
×ln
.
由计算器得k＝－1.15×10－4.
∴y＝1.01×105e－1.15×10－4x.
再将x＝600代入上述函数式得y＝1.01×105e－1.15×10－4×600
由计算器得y＝0.943×105（Pa）．
答：
在600m高空的大气压强约为0.943×105Pa.
18．（12分）某商品在近30天内每件的销售价格P（元）和时间t（天）的函数关系式为：
P＝
（t∈N*）．
设商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系为Q＝40－t（0＜t≤30，t∈N*），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？
分析 日销售金额＝日销售量×日销售价格，而日销售量及销售价格（每件）均为t的一次函数，从而日销售金额为t的二次函数，该问题为二次函数模型．
解析 设日销售金额为y（元），则y＝PQ，
所以y＝
（1）当0＜t＜25且t∈N*时，
y＝－（t－10）2＋900，
所以当t＝10时，ymax＝900元．
（2）当25≤t≤30且t∈N*时，
y＝（t－70）2－900，
所以当t＝25时，ymax＝1125元．
综合
（1），
（2）得ymax＝1125元．
因此这种商品日销售额的最大值为1125元，且在第25天达到日销售金额最大．
19．（12分）已知f（x）＝x5＋x－3在区间[1,2]内有零点，试自己设定精确度，求出方程x5＋x－3＝0在区间[1,2]内的一个近似解．
解析 设定精确度为0.1，设零点为x0，则
f
（1）＝－1＜0，f
（2）＝31＞0，其中点函数值f（1.5）＞0.
∴x0∈（1,1.5），其中点函数值f（1.25）＞0，
∴x0∈（1,1.25），其中点函数值f（1.125）>0，（依此类推，过程略）
∴x0∈（1.125,1.140625）．
∵在该区间上所有的值精确到0.1都是1.1.
∴x5＋x－3＝0在[1,2]内的近似解是1.1.
20．（12分）某自来水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水．若t小时内向居民放水总量为120
吨（0≤t≤24），问：
（1）每天几点时蓄水池中的存水量最少？
（2）若池中存水量不多于80吨时，就会出现供水紧张现象，则每天会有几个小时出现这种现象？
解析
（1）设t点时（即从零点起t小时后）池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－120
＝60（
－
）2＋40.
∴当
＝
，即t＝6时，y取得最小值40，即每天早晨6点时蓄水池中的存水量最少，仅剩40吨．
（2）由60（
－
）2＋40≤80⇒
≤
≤
⇒
≤t≤
，即t∈[
，
]时，池中存水将不多于80吨，由
－
＝8知每天将有8个小时出现供水紧张现象．
21．（12分）某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100部，需要增加投入2500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部，已知销售收入函数为g（x）＝500x－
x2，其中x是产品售出的数量（0≤x≤500）．
（1）若x表示年产量，y表示利润，求y＝f（x）的表达式．
（2）当年产量为何值时，工厂利润最大，其最大值是多少？
（3）当年产量为何值时，工厂有赢利？
（已知
≈4.65）
解析
（1）当0≤x≤500时，产品全部售出；当x＞500时，产品只能售出500部，故利润函数为：
f（x）＝
即f（x）＝
（2）当0≤x≤500时，f（x）＝－
（x－475）2＋107812.5，
当x＞500时，f（x）＝120000－25x＜120000－12500＝107500.
∴年产量为475部时，利润最大，最大利润为107812.5元．
（3）由题意知
或
解得10＜x≤500或500＜x＜4800，∴10＜x＜4800.
当年产量在10部到4800部之间时，工厂有赢利．
22．（12分）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？
最大月收益是多少？
解析
（1）当每辆车的月租金为3600元时，未租出的车辆数为：
＝12辆，所以这时租出了88辆车．
（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：
f（x）＝（100－
）（x－150）－
×50.整理得：
f（x）＝－
＋162x－21000＝－
（x－4050）2＋307050，所以，当x＝4050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）＝307050，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元．
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