追及问题讲座及练习答案.docx
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追及问题讲座及练习答案
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追及路程＝甲走的路程—乙走的路程
＝甲的速度×追及时间—乙的速度×追及时间
＝（甲的速度—乙的速度）×追及时间
＝速度差×追及时间.
例1：
甲、乙两地相距240千米，一列慢车从甲地出发，每小时行60千米．同时一列快车从乙地出发，每小时行90千米．两车同向行驶，快车在慢车后面，经过多少小时快车可以追上慢车？
（火车长度忽略不计）
解析：
追及路程即为两地距离240千米，
速度差90－60=30（千米）
所以追及时间240÷30=8（小时）.
【巩固1】下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？
（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）.
解析：
若经过5分钟，弟弟已到了A地，此时弟弟已走了40×5=200（米）；哥哥每分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这200米呢？
40×5÷（60－40）=10（分）
答：
哥哥10分钟可以追上弟弟.
【巩固2】甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，乙每小时行驶15千米，甲每小时行驶10千米，问：
乙经过多长时间能追上甲？
解析：
出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短15－10=5（千米），即两人的速度的差（简称速度差），所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上：
10÷（15－10）=2（小时）
答：
还需要2个小时.
【巩固3】解放军某部先遣队，从营地出发，以每小时6千米的速度向某地前进，12小时后，部队有急事，派通讯员骑摩托车以每小时78千米的速度前去联络，问多少时间后，通讯员能赶上先遣队？
解析：
追及路程就是先遣队12小时行驶的路程。
（6×12）÷（78－6）=1（小时）．
答：
通讯员1小时能赶上先谴队.
例2：
小明步行上学，每分钟行70米．离家12分钟后，爸爸发现小明的文具盒忘在家中，爸爸带着文具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明．问爸爸出发几分钟后追上小明？
爸爸追上小明时他们离家多远？
解析：
如图：
当爸爸开始追小明时，小明已经离家：
70×12=840（米），
即爸爸要追及的路程为840米,也就是爸爸与小明的距离是840米，我们把这个距离叫做“路程差”，爸爸出发后，两人同时走，每过1分，他们之间的距离就缩短
280－70=210（米），
也就是爸爸与小明的速度差为280－70=210（米/分）,
爸爸追及的时间：
840÷210=4（分钟）．当爸爸追上小明时，小明已经出发
12+4=16（分钟），
此时离家的距离是：
70×16=1120（米）
【巩固1】哥哥和弟弟在同一所学校读书．哥哥每分钟走65米，弟弟每分钟走40米，有一天弟弟先走5分钟后，哥哥才从家出发，当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校，问他们家离学校有多远?
解析：
哥哥出发的时候弟弟走了：
40×5=200（米），
哥哥追弟弟的追及时间为：
200÷（65－40）=8（分钟），
所以家离学校的距离为：
8×65=520（米）.
答：
他们家离学校有520米。
【巩固2】小明以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明，结果在距学校1000米处追上小明，求小强骑自行车的速度.
解析：
小强出发的时候小明走了50×12=600（米），
被小强追上时小明又走了：
（1000－600）÷50=8（分钟），
说明小强8分钟走了1000米，
所以小强的速度为：
1000÷8=125（米/分钟）.
答：
小强骑自行车的速度是125米/分钟。
.
例3:
小强每分钟走70米，小季每分钟走60米，两人同时从同一地点背向走了3分钟，小强掉头去追小季，追上小季时小强共走了多少米？
解析：
小强走的时间是两部分，一部分是和小季背向走的时间，另一部分是小强追他的时间，要求追及时间，就要求出他们的路程差．路程差是两人相背运动的总路程：
（60+70）×3=390（米）
追及时间为：
390÷（70－60）=39（分钟）
小强走的总路程为：
70×（39+3）=2940（米）
答：
追上小季时小强共走了2940米
【巩固】小聪和小明从学校到相距2400米的电影院去看电影．小聪每分钟行60米，他出发后10分钟小明才出发，结果俩人同时到达影院，小明每分钟行多少米？
解析：
要求小明每分钟走多少米，就要先求小明所走的路程（已知）和小明所用的时间；要求小明所用的时间，就要先求小聪所用的时间，
小聪所用的时间是：
2400÷60=40（分钟）
小明所用的时间是：
40－10=30（分钟），
小明每分钟走的米数是：
2400÷30=80（米）．
答：
小明每分钟走80米．
例4:
王芳和李华放学后，一起步行去体校参加排球训练，王芳每分钟走110米，李华每分钟走70米，出发5分钟后，王芳返回学校取运动服，在学校又耽误了2分钟，然后追赶李华．求多少分钟后追上李华？
解析：
已知二人出发5分钟后，王芳返回学校取运动服，这样用去了5分钟，在学校又耽误了2分钟，
王芳一共耽误了5×2+2=12（分钟）
李华在这段时间比王芳多走：
70×12=840（米）
速度差为：
110－70=40（米/分）
王芳追上李华的时间是：
840÷40=21（分钟）
答：
王芳追上李华的时间是21分钟。
【巩固1】小王、小李共同整理报纸，小王每分钟整理72份，小李每分钟整理60份，小王迟到了1分钟，当小王、小李整理同样多份的报纸时，正好完成了这批任务．一共有多少份报纸？
解析：
本题可用追及问题思路解题，类比如下：
路程差：
小王迟到1分钟这段时间，小李整理报纸的份数（60份），
速度差：
72－60=12（份/分钟）．
此时可求两人整理同样多份报纸时，小王所用时间，即追及时间是60÷12=5（分钟）．
共整理报纸：
5×72×2=720（份）
答：
一共有720份报纸
【巩固2】甲、乙两车同时从A地向B地开出，甲每小时行38千米，乙每小时行34千米，开出1小时后，甲车因有紧急任务返回A地；到达A地后又立即向B地开出追乙车，当甲车追上乙车时，两车正好都到达B地，求A、B两地的路程．
解析：
根据题意画出线段图：
从图中可以看出，当甲开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的2小时的路程，那么根据追及路程和速度差可以求出追及时间，而追及时间正好是甲车从A地到B地所用的时间，由此可以求出A、B两地的路程,
追及路程为：
34×2=68（千米）;
追及时间为：
68÷（38－34）=17（小时）.
A、B两地的路程为：
38×17=646（千米）.
答：
A、B两地的路程是646千米。
例5:
甲、乙两辆汽车同时从A地出发去B地，甲车每小时行50千米，乙车每小时行40千米．途中甲车出故障停车修理了3小时，结果甲车比乙车迟到1小时到达B地．A、B两地间的路程是多少？
解析：
由于甲车在途中停车3小时，比乙车迟到1小时，说明行这段路程甲车比乙车少用2小时．可理解成甲车在途中停车2小时，两车同时到达，也就是乙车比甲车先行2小时，两车同时到达B地，所以，也可以用追及问题的数量关系来解答．即：
行这段路程甲车比乙车少用的时间是：
3－1=2（小时），
乙车2小时行的路程是：
40×2=80（千米），
甲车每小时比乙车多行的路程是：
50－40=10（千米），
甲车所需的时间是：
80÷10=8（小时），
A、B两地间的路程是：
50×8=400（千米）．
答：
A、B两地间的路程是400千米。
【巩固1】甲、乙两车分别从A、B两地出发，同向而行，乙车在前，甲车在后．已知甲车比乙车提前出发1小时，甲车的速度是96千米/小时，乙车每小时行80千米．甲车出发5小时后追上乙车，求A、B两地间的距离．
解析：
由已知可求出甲、乙两车的追及时间，利用追及问题的公式求解．
追及时间为：
5－1=4（小时）,
追及路程为：
（96－80）×4=64（千米）,
A、B两地间的距离为：
96+64=160（千米）
答：
A、B两地间的距离160千米。
【巩固2】一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地出发，向同一个方向前进，摩托车在前，每小时行28千米，汽车在后，每小时行65千米，经过4小时汽车追上摩托车，甲乙两地相距多少千米？
解析：
先求出汽车每小时比摩托车多行驶的路程（速度差），再求出两地相距的路程，即：
（65－28）×4=148（千米）.
答：
甲乙两地相距148千米.
例6：
小明的家住学校的南边，小芳的家在学校的北边，两家之间的路程是1410米，每天上学时，如果小明比小芳提前3分钟出发，两人可以同时到校．已知小明的速度是70米/分钟，小芳的速度是80米/分钟，求小明家距离学校有多远？
解析：
小明比小芳提前3分钟出发，则多走
70×3=210（米）．
两家之间的所剩路程是1410－210=1200（米），
两人的速度和是70+80=150（米），
走完所剩路程需：
1200÷（70+80）=8（分）
小明家距离学校70×（8+3）=770（米）．
答：
小明家距离学校有770米。
【巩固】学校和部队驻地相距16千米，小宇和小宙由学校骑车去部队驻地，小宇每小时行12千米，小宙每小时行15千米．当小宇走了3千米后，小宙才出发．当小宙追上小宇时，距部队驻地还有多少千米？
解析：
追及时间：
3÷（15－12）=1（小时），
此时距部队驻地还有：
16－15=1（千米）．
当小宙追上小宇时，距部队驻地还有1千米
例7：
甲、乙两列火车同时从A地开往B地，甲车8小时可以到达，乙车每小时比甲车多行20千米，比甲车提前2小时到达．求A、B两地间的距离．
解析：
这道题的路程差比较隐蔽，需要仔细分析题意，乙到达时，甲车离终点还有两小时的路程，因此路程差是甲车两小时的路程．
方法一：
如图：
甲车8小时可以到达，乙车比甲车提前2小时到达，因此：
乙车到达时用了：
8－2=6（小时），
此时路程差为：
20×6=120（千米），
此时路程差就是甲车2小时的路程，所以
甲车速度为：
120÷2=60（千米/小时），
A、B两地间的距离：
60×8=480（千米）
方法二：
如图：
假设两车都行了8小时，则甲车刚好到达，乙车则超出了：
20×8=160（千米）
这段路程正好是乙车2小时走的，因此乙车速度：
160÷2=80（千米/小时）
乙车到达时用了：
8－2=6（小时）
A、B两地间的距离：
80×6=480（千米）
答：
A、B两地间的距离是480千米。
例8：
龟、兔进行1000米的赛跑．小兔斜眼瞅瞅乌龟，心想：
“我小兔每分钟能跑100米，而你乌龟每分钟只能跑10米，哪是我的对手．”比赛开始后，当小兔跑到全程的一半时，发现把乌龟甩得老远，便毫不介意地躺在旁边睡着了．当乌龟跑到距终点还有40米时，小兔醒了，拔腿就跑．请同学们解答两个问题：
它们谁胜利了？
为什么？
解析：
⑴乌龟胜利了．因为兔子醒来时，乌龟离终点只有40米，
乌龟需要40÷10=4（分钟）就能到达终点，
而兔子离终点还有500米，需要500÷100=5（分钟）才能到达，所以乌龟胜利了．
⑵乌龟跑到终点还要40÷10=4（分钟），
而小兔跑到终点还要1000÷2÷100=5（分钟），慢1分钟．
当胜利者乌龟跑到终点时，小兔离终点还有：
100×1=100（米）．
【巩固】上一次龟兔赛跑兔子输得很不服气，于是向乌龟再次下战书，比赛之前，为了表示它的大度，它让乌龟先跑10分钟，但是兔子不知道乌龟经过锻炼，速度已经提高到5倍，那么这一次谁将获得胜利呢？
解析：
由乌龟速度提高到5倍，可知乌龟现在的速度为
（米/分），
乌龟先跑10分钟，即兔子开始跑时，乌龟已经跑了50×10=500（米），
还剩1000－500=500（米），
需要500÷50=10（分钟）就可以到达终点，
而兔子到达终点需要的时间是：
1000÷100=10（分钟），
所以，兔子和乌龟同时到达终点．
答：
兔子和乌龟同时到达终点．
例9：
军事演习中，“我”海军英雄舰追及“敌”军舰，追到A岛时，“敌”舰已在10分钟前逃离，“敌”舰每分钟行驶1000米，“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米，在距离“敌”舰600米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰？
解析：
“我”舰追到A岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，因此，在A岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为10000米。
.又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击，即“我”舰只要追上“敌”舰9400，即可开炮射击.所以，在这个问题中，不妨把9400当作路程差，根据公式求得追及时间：
（1000×10）÷（1470－1000）=20（分钟），经过20分钟可开炮射击“敌”舰.
【巩固】（第二届“走进美妙数学花园”）在一条笔直的高速公路上，前面一辆汽车以90千米/小时的速度行驶，后面一辆汽车以108千米/小时的速度行驶．后面的汽车刹车突然失控，向前冲去（车速不变）．在它鸣笛示警后5秒钟撞上了前面的汽车．在这辆车鸣笛时两车相距多少米？
解析：
这是一道“追及问题”．根据追及问题的公式，追及时间，路程差÷时间差．由题意知，追及时间为5秒钟，也就是5÷（60×60）小时
两车相距距离为路程差，速度差为
108－90=18（千米/时），也就是18000米/时，
所以路程差为：
18000×5÷3600=25（米），所以，在这辆车鸣笛时两车相距25米．
答：
在这辆车鸣笛时两车相距25米．
例10：
小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑20米，则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑4秒钟，则小红跑6秒钟就能追上小蓝．小红、小蓝二人的速度各是多少？
解析：
小红让小蓝先跑20米，则20米就是小红、小蓝二人的路程差，小红跑5秒钟追上小蓝，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为20÷5=4（米）；
若小红让小蓝先跑4秒，则小红6秒可追上小蓝，在这个过程中，追及时间为6秒，根据上一个条件，由追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差，这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程，路程差就等于4×6=24（米）
就是小蓝在4秒内跑了24米，所以可求出小蓝的速度，也可求出小红的速度．
综合列式计算如下：
小蓝的速度为：
20÷5×6÷4=6（米/秒），
小红的速度为：
6+4=10（米/秒）
【巩固】甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒钟就能追上乙．问：
甲、乙二人的速度各是多少？
解析：
若甲让乙先跑10米，则10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为10÷5=2（米/秒）；若甲让乙先跑2秒，则甲跑4秒可追上乙，在这个过程中，追及时间为4秒，因此路程差就等于2×4=8（米），即乙在2秒内跑了8米，所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度．综合列式计算如下：
乙的速度为：
10÷5×4÷2=4（米）
甲的速度为：
10÷5+4=6（米/秒）
例11：
甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离.
解析：
先画图如下：
若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程，用时间应为：
26－6=20（分）.
同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为50×（26+6）=1600（米）.
所以，甲的速度为1600÷20=80（米/分），
由此可求出A、B间的距离：
50×（26+6）÷（26－6）=80（米/分），
（80+50）×6=780（米）
答：
A、B两地的距离是780米。
例12：
甲、乙二人同时从学校出发到少年宫去，已知学校到少年宫的距离是2400米．甲到少年宫后立即返回学校，在距离少年宫300米处遇到乙，此时他们离开学校已经30分钟．问：
甲、乙每分钟各走多少米？
解析：
根据题意，画线段图如下：
方法一：
30分钟内，二人的路程和：
2400×2=4800（米），
因此速度和为：
4800÷30=160（米/分）；
又知道30分钟甲的路程为：
2400+300=2700（米），
所以甲速度为：
2700÷30=90（米/分），
则乙速度为：
160－90=70（米/分）．
方法二：
30分钟内，甲的路程为2400+300=2700（米），
乙走的路程为：
2400－2100=300（米），
因此甲的速度为：
2700÷30=90（米/分），
乙的速度为：
（2400－300）÷30=70（米/分）
答：
甲每分钟走90米，乙每分钟走70米.
课后练习
1、甲地和乙地相距40千米，平平和兵兵由甲地骑车去乙地，平平每小时行14千米，兵兵每小时行17千米，当平平走了6千米后，兵兵才出发，当兵兵追上平平时，距乙地还有多少千米？
解析：
平平走了6千米后，兵兵才出发，这6千米就是平平和兵兵相距的路程．由于兵兵每小时比平平多走17－14=3（千米），要求兵兵几小时可以追上6千米，也就是求6千米里包含着几个3千米，用6÷3=2（小时）．因为甲地和乙地相距40千米，兵兵每小时行17千米，2小时走了17×2=34（千米），所以兵兵追上平平时，距乙地还有40－34=6（千米）
答：
距乙地还有6千米.
2、一辆慢车从甲地开往乙地，每小时行40千米，开出5小时后，一辆快车以每小时90千米的速度也从甲地开往乙地．在甲乙两地的中点处快车追上慢车，甲乙两地相距多少千米？
解析：
慢车先行的路程是：
40×5=200（千米），快车每小时追上慢车的千米数是：
90－40=50（千米），追及的时间是：
200÷50=4（小时），
快车行至中点所行的路程是：
90×4=360（千米），
甲乙两地间的路程是：
360×2=720（千米）．
答：
甲乙两地相距720千米.
3、四年级同学从学校出发到公园春游，每分钟走72米，15分钟以后，学校有急事要通知学生，派李老师骑自行车从学校出发9分钟追上同学们，李老师每分钟要行多少米才可以准时追上同学们？
解析：
同学们15分钟走72×15=1080（米），即路程差．然后根据
速度差＝路程差÷追及时间，可以求出李老师和同学们的速度差，又知道同学们的速度是每分钟72米，就可以得出李老师的速度．即1080÷9+72=192（米）．
答：
李老师每分钟要行192米才可以准时追上同学们.
4、小李骑自行车每小时行13千米，小王骑自行车每小时行15千米．小李出发后2小时，小王在小李的出发地点前面6千米处出发，小李几小时可以追上小王？
解析：
小李2小时走：
13×2=26（千米），又知小王在小李的出发地点前面6千米处出发，则知道两人的路程差是26－6=20（千米）．每小时小王追上小李15－13=2（千米），则20千米里面有几个2千米，则追及时间就是几小时，即：
20÷2=10（小时）．
5、自行车队出发12分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发点9千米处追上了自行车队，然后通信员立即返回出发点；随后又返回去追自行车队，再追上时恰好离出发点18千米，求自行车队和摩托车的速度．
解析：
在第一次追上自行车队与第二次追上自行车队之间，摩托车所走的路程为（18+9）千米，而自行车所走的路程为（18-9）千米，所以，摩托车的速度是自行车速度的3倍（=（18+9）÷（18-9））；摩托车与自行车的速度差是自行车速度的2倍，再根据第一次摩托车开始追自行车队时，车队已出发了12分钟，也即第一次追及的路程差等于自行车在12分钟内所走的路程，所以追及时间等于12÷2=6（分钟）；联系摩托车在距出发点9千米的地方追上自行车队可知：
摩托车在6分钟内走了9千米的路程，于是摩托车和自行车的速度都可求出了．列式为：
（18+9）÷（18-9）=3倍，12÷（3-1）=6（分钟），摩托车的速度为：
9÷6=1.5（千米/分钟），自行车的速度为：
1.5÷3=0.5（千米/分钟）
答：
摩托车的速度为1.5千米/分钟，自行车的速度为1.5÷3=0.5千米/分钟。
6、在周长400米的圆的一条直径的两端，甲、乙两人分别以每分钟60米和50米的速度，同时同向出发，沿圆周行驶，问2小时内，甲追上乙多少次？
解析：
此题属于追及问题，首先明确路程差和速度差，开始甲、乙在圆径的两端，其路程差为圆周长的一半，400÷2=200（米），当甲追上乙后，如果再想追上乙必须比乙多行圆的一周的路程，即一周400米为路程差，根据不同的路程差，我们可以求出甲追上乙一次，所用的时间，在总时间中去掉第一次的追及时间再看剩下的时间里包含几个“甲追上乙所用的时间”就可以求出2小时内甲追上乙的次数。
解：
2小时=120分甲第一次追上乙所用的时间：
400÷2÷（60-50）=20（分）
甲第二次开始每追乙一次所用的时间：
400÷（60-50）=40（分）
甲从第二次开始追上乙多少次：
（120-20）÷40=2次……20秒
甲共追上乙多少次：
2+1=3（次）
答：
甲共追上乙3次。
7、在480米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3分钟20秒相遇，如果背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度？
解析：
同向行驶，甲乙相遇，说明甲必须比乙多跑一圈，即400米才能与乙相遇，400米正好是两人的路程差，除以甲追赶乙所用的3分20秒，可知甲、乙的速度差。
背向行驶，甲、乙相遇，说明甲、乙必须合走一圈即400米，400米正好上两人的路程总和除以40秒相遇时间，可知甲、乙的速度和。
这样已知甲、乙的速度和及速度差，可将此题转化或和差关系的应用题，这样可求出甲、乙的速度分别是多少？
解：
3分20秒=200秒
甲、乙的速度和：
400÷40=10（米）
甲、乙的速度差：
400÷200=2（米）
甲的速度为每秒多少米？
（10+2）÷2=6（米）
乙的速度为每秒多少米？
（10-2）÷2=4（米）
答：
甲的速度为每秒6米，乙的速度为每秒4米。
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