尺规作图学案.docx

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尺规作图学案

尺规作图

适用学科

初中数学

适用年级

初中二年级

适用区域

全国

课时时长（分钟）

60分钟

知识点

尺规作图的概念；

角的作法；

在给定边角的条件下，求作三角形；

已知线段的垂直平分线作法

学习目标

1、了解尺规作图的概念

2、会进行一下尺规作图，并了解作法的理由：

（1）做一个角等于已知角；

（2）在给定边角的条件下，求作三角形；（3）做已知线段的垂直平分线

学习重点

画图，写出作图的主要画法

学习难点

准确写出作图的主要画法，规范解题步骤，尺规作图

学习过程

一、复习预习

我们熟悉的尺规作图——画线段、画角

那么尺规作图还能解决什么问题呢？

二、知识讲解

考点/易错点1

理解“尺规作图”的含义

1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．

2.基本作图：

（1）用尺规作一条线段等于已知线段；

（2）用尺规作一个角等于已知角.利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.

考点/易错点2

熟练掌握尺规作图题的规范语言

1.用直尺作图的几何语言：

①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；

②连结两点××；或连结××；

③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；

2.用圆规作图的几何语言：

①在××上截取××＝××；

②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；

③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；

④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×.

考点/易错点3

了解尺规作图题的一般步骤

尺规作图题的步骤：

1.已知：

当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；

2.求作：

能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；

3.作法：

能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.

在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.

三、例题精析

【例题1】

【题干】

作一条线段等于已知线段。

已知：

如图，线段a.

求作：

线段AB，使AB=a.

【答案】

作法：

1、作射线AP；

2、在射线AP上截取AB=a.

则线段AB就是所求作的图形。

【解析】

线段的作法

【例题2】

【题干】

作已知线段的中点。

已知：

如图，线段MN.

求作：

点O，使MO=NO（即O是MN的中点）.

【答案】

作法：

（１）分别以M、N为圆心，大于

　的相同线段为半径画弧，

两弧相交于P，Q；

（２）连接PQ交MN于O．

则点O就是所求作的ＭＮ的中点。

（试问：

PQ与ＭＮ有何关系？

）

【解析】

线段中点的作法

【例题3】

【题干】

作已知角的角平分线。

已知：

如图，∠AOB，

求作：

射线OP,使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。

【答案】

作法：

（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，

分别交OA，OB于M，N；

（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于　　　

　的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；

（3）作射线OP。

则射线OP就是∠AOB的角平分线。

【解析】角平分线的作图步骤

【例题4】

【题干】

如下图，已知∠α及线段a，求作等腰三角形，使它的底角为α，底边为a．

【答案】

作法如下图

（1）∠MBN=∠α；

（2）在射线BM上截取BC=a；（3）以C为顶点作∠PCB=∠α，射线CP交BN于点A．△ABC就是所要求作的等腰三角形．

【解析】

先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的性质，知两底角∠B=∠C=∠α，底边BC=a，故可以先作∠B=∠α，或先作底边BC=a．

【例题5】

【题干】

如下图，△ABC中，a=5cm，b=3cm，c=3.5cm，∠B=

，∠C=

，请你从中选择适当的数据，画出与△ABC全等的三角形（把你能画的三角形全部画出来，不写画法但要在所画的三角形中标出用到的数据）．

【答案】

与△ABC全等的三角形如下图所示．

【解析】

本题实质上是利用原题中的5个数据，列出所有与△ABC全等的各种情况，依据是SSS、SAS、AAS、ASA．

四、课堂运用

【基础】

1.已知线段a、b，画一条线段，使其等于

．

2.如下图，已知线段a和b，求作一条线段AD使它的长度等于2a－b．

【巩固】

1.正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化．拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案（保留作图痕迹，不写作法）．

2.

已知∠AOB，求作∠AOB的平分线OC．

【拔高】

1.如图

（1）所示，已知线段a、b、h（h＜b）．

求作△ABC，使BC=a，AB=b，BC边上的高AD=h．

图

（1）

课程小结

最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。

一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。

五种基本作图：

1、作一条线段等于已知线段；

2、作一个角等于已知角；

3、作已知线段的垂直平分线；

4、作已知角的角平分线；

5、过一点作已知直线的垂线；

1．尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去．

2．其它作图都可以通过画基本作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括叙述基本作图．

课后作业

【基础】

1.作一个角等于已知角．

如图24-4-2，已知∠AOB．

【巩固】

2.如图，直线

表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ）

A．一处                                                 B．二处

C．三处                                                 D．四处

【拔高】

3.如下图，已知钝角△ABC，∠B是钝角．

求作：

（1）BC边上的高；

（2）BC边上的中线（写出作法，画出图形）．