初二不等式与方程问题.docx

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初二不等式与方程问题

华贤书院教学过程补充表

不等式与不等式组

一、知识要点概述

1、不等式的基本性质

（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式不等号的方向不变．

（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

2、不等式（组）的解法

（1）解一元一次不等式和解一元一次方程相类似，但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变．

（2）解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．

　　（3）设a＜b，那么：

①不等式组

的解集是x＞b（大大取大）；

②不等式组

的解集是x＜a（小小取小）；

③不等式组

的解集是a＜x＜b（大小、小大中间找）；

④不等式组

的解集是空集（大大、小小题无解）．

3、不等式（组）的应用

会列一元一次不等式（组）解决实际问题，其步骤是：

（1）找出实际问题的不等关系，设定未知数，列出不等式（组）；

（2）解不等式（组）；

（3）从不等式（组）的解集中求出符合题意的答案．

二、典例剖析

例1、

（1）已知不等式3x－a≤0的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是________．

（2）已知关于x的不等式组

无解，则a的取值范围是________．

　　说明：

确定不等式（组）中参数的取值或范围常用的方法有：

（1）逆用不等式（组）解集确定；

（2）分类讨论确定；（3）借助数轴确定．

例2、解下列关于x的不等式（组）．

（1）|x－2|≤2x－10；

（2）（2mx＋3）－n＜3x．

分析：

　　对于

（1）确定“零界点”x=2（令x－2=0得x=2）分x≥2和x＜2，去掉绝对值后求出不等式的解集；对于

（2），化为ax＜b的形式，再就a的正负性讨论．

说明：

涉及未知系数或绝对值式子的题目，均可用零点分段讨论法解答．

例3、已知3a＋2b－6=ac＋4b－8=0且a≥b＞0求c的取值范围．

分析：

消去a，b得到关于c的不等式组，解不等式组得c的取值范围．

分析：

　已知不等式组的解集，求某些字母的值（或范围）是不等式组解集确定方法的逆向应用，处理这类问题时，可先求出原不等式组含有字母的解集，然后对照已知“对号入座”，应取有针对性的方法．

例6、东风商场文具部的某种毛笔每枝售价25元，书法练习本每本售价5元，该商场为促销制定了两种优惠方法：

　　甲：

买一支毛笔就赠送一本书法练习本；

　　乙：

按购买金额打九折付款．

　　某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本x（x≥10）本．

（1）写出每种优惠办法实际付款金额y甲（元）、y乙（元）与x（本）之间的关系式；

（2）比较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款更省钱；

　　（3）如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时用两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10支和书法练习本60本设计一种更省钱的购买方案．

例7、我市某化工厂现有甲种原料290kg，乙种原料212kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共80件，生产一件A产品需要甲种原料5kg，乙种原料1.5kg，生产成本是120元；生产一件B产品，需要甲种原料2.5kg，乙种原料3.5kg，生产成本是200元．

（1）该化工厂现有的原料能否保证生产？

若能的话，有几种生产方案？

请你设计出来．

（2）设生产A、B两种产品的总成本为y元，其中一种生产的件数为x，试写出y与x之间的关系式，并利用关系式说明

（1）中哪种生产方案总成本最低？

最低生产总成本是多少？

分析：

　　若设安排生产A种产品x件，根据题意可建立关于x的不等式组，解出不等式组得x的取值范围．由x为整数在取值范围内确定x的取值，从而得出生产方案，然后由成本的已知条件求出x与y之间的关系式，根据此关系式求出最低生产总成本．

说明：

利用列不等式组然后求出不等式组的集，在其解集内求出符合条件（一般是整数）的值，是解方案设计型应用题的常用方法．

方程与方程组

一、知识要点概述

1、等式和方程的有关概念、等式的基本性质．

2、一元一次方程的解法及最简方程ax=b解的三种情况．

（1）解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和将未知数的系数化为1．

（2）最简方程ax=b的解有以下三种情况：

　　①当a≠0时，方程有唯一解

；

　　②当a=0，b≠0时，方程无解．

　　③当a=0，b=0时，方程有无穷多解．

3、一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c=0（a≠0）

　　其解法主要有：

直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法．

4、一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的求根公式是：

注意：

求根公式成立的条件为：

①a≠0；②b2－4ac≥0．

5、一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根的判别式是△=b2－4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根．

当△=0时，方程有两个相等的实数根，即

；

当△＜0时，方程没有实根，反之成立．

6、若一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则

7、以两数α、β为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－（α＋β）x＋αβ=0．

8、解一次方程组的基本思想是消元，常用的消元方法是加减消元法和代入消元法．

9、解简单的二元二次方程组的基本思想是“消元”与“降次”．①若方程组中有一个是一次方程，则一般用代入消元法求解；②若方程组中有能分解成两个一次方程的方程，则一般用“分解降次”的方法将原方程组化为两个或四个方程组求解．

10、简单的分式方程组的解法，一般是用去分母或换元法将其转化为整式方程组求解，并要验解．

11、方程组的解的存在性问题，一般转化为方程的解的存在性问题来研究．

二、典例剖析

点评：

灵活解一元一次方程时常用到以下方法技巧．

（1）若括号内有分数时，则由外向内先去括号，再去分母；

（2）若有多重括号，则去括号与合并同类项交替进行；（3）恰当用整体思想．

例2、解下列关于x的方程．

（1）4x＋b=ax－8（a≠4）

（2）mx－1=nx（3）

分析：

把方程化为一般形式后，再对每个方程中字母系数可能取值的情况进行讨论．

例4、已知m是整数，方程组

有整数解，求m的值．

分析：

先求出y，运用整除的性质求出m的值，需注意所求的整数m要使得x也为整数．

例5、已知关于x的一元二次方程

有两个不等的实数根．

（1）求m的取值范围；

例7、解下列方程

（2）3x2＋x－7=0

分析：

　　对于

（1）首先应回避复杂的小数运算，注意此时只运用分数的基本性质而未用到等式有关性质．

　　对于

（2）此方程用分解因式法难以行通，故考虑用求根公式．

例8、如果关于x的一元二次方程kx2－2（k＋2）x＋k＋5=0没有实根，试说明关于x的方程（k－5）x2－2（k＋2）x＋k=0必有实数根．

分析：

　　由一元二次方程kx2－2（k＋2）x＋k＋5=0没有实数根，可以得出k≠0，b2－4ac＜0，从而求出k的取值范围，再由k的取值范围来说明（k－5）x2－2（k＋2）x＋k=0必有实数根．

点评：

（1）方程“有实数根”与“有两个实数根”有着质的区别．方程“有实数根”表示方程可能为一元一次方程，此时方程有一实数根，方程也可能为一元二次方程，此时方程有两个实数根，而方程“有两个实数根”，则表示此时方程一定为一元二次方程．

点评：

　　构造一元二次方程是解题的常用技巧，构造的主要方法有：

（1）当已知等式具有相同的结构，就可以把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程；

（2）对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程．

分式方程

一、知识要点概述

1、分式方程：

分母中含有未知数的有理方程叫分式方程．

2、解分式方程的基本思想方法是：

3、解分式方程必须验根．

二、典型例题剖析

例1、解方程

．

分析：

根据解分式方程的一般步骤来解此题．

分析：

用换元法解这些分式方程．

例3、当m为何值时，关于x的方程

无实根？

分析：

　　先将分式方程化为整式方程，如果整式方程有实根，那么这些根均是原方程的增根，这样x=0或x=1是所得整式方程的根，如果整式方程无实根，那么原方程也无实根．

例4、若方程

有增根，试求m的值．

分析：

　　分式方程将会产生增根，即最简公分母x2－4=0，故方程产生增根有两种可能：

x1=2，x2=－2．由增根的定义知：

x1=2，x2=－2是原分式方程去分母化成整式方程的根，由根的定义即可求出m的值．

点评：

（1）增根的求法：

令最简公分母为0；

（2）求有增根的方程中参数的值，应先求出可能的增根，再将其代入化简后的整式方程即可．

例5、已知a2－a－1=0且

求x的值．

分析：

　为求x的值，须将x与a2分离，联想到分式的基本性质，从而原等式含

，这样应从条件出发构造倒数关系．

列方程解应用题

、知识要点概述

1、列方程（组）解应用题的一般步骤．

　　审题，设未知数，找出相等关系，布列方程（组），解方程（组），检验作答，其中找出相等关系，布列方程（组）是关键，而如何设未知数又是至关重要的开端．

2、几种常见应用题型的基本等量关系及解题策略．

（1）和、差、倍、分的有关问题．

　　涉及和、差、倍、分问题，一般可直接列出方程．但需要抓住关键词：

大、小、多、少、增加、减小、几倍、几分之几、几折优惠等．

　　如：

将若干支铅笔分给几个同学，若每人5支，还剩3支，若每人7支，还差5支，问有学生几人？

铅笔几支？

（2）等积（面积、体积）问题

　　涉及等积问题，应依变形前后体（面）积不变建立等式关系，但需注意单位的统一．

　　如要用截面积为48mm2的圆钢条锻造成长、宽、高分别为25mm、8mm、15mm的长方体钢坯，需要这种圆钢条多少米？

　　（3）商品利润问题：

　　商品利润=商品售价－商品进价

　　（4）浓度问题：

　　溶液质量=溶质质量＋溶剂质量

　　（5）工程问题：

　　工程问题中通常把工作量看做“1”

　　工作效率×工作时间=工作量

　　（6）行程问题（又分三类）

　　a．相遇（包括环形相遇）问题：

两运动物体所走过的路程等于全程（或圈长）．

　　b．追及问题：

分路程相同、时间不同的追及问题和时间相同、路程不同的追及问题，常可画行程示意图帮助分析题意，若甲为快者，则被追路程=甲走的路程－乙走的路程．

　　c．时针问题：

注意一圈为60分格则分针速度为1分格/分钟：

时针速度为

分格/分钟．时间×速度=路程．

　　（7）航行（或飞行）问题

这类问题要注意航行速度与水（风）速的关系

顺水速度=静水速度＋水速

逆水速度=静水速度－水速

　　（8）数字问题

n位数

　　（9）增长率问题：

　　（10）投资利润问题：

投资总额×投资利率=投资利润

二、典型例题剖析

例1、某市为了进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程能提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%，问原计划完成这项工程用多少个月？

点评：

分式应用题一定不能忽视两个检验．

（1）验根；

（2）验题意．

例2、有浓度为60%和30%的两种硫酸若干，现在要配制成浓度为50%的硫酸3000千克，问两种硫酸各取多少千克？

点评：

浓度问题一般抓住配制前后溶质不变的关系来列方程，一般用列表法来分析数量关系．

例3、某商店将彩电按原价提40%进行标价，然后在广告中写上“八折优惠销售”结果每台彩电比原价多赚了270元，彩电原价是多少？

点评：

对这种明优惠、暗提价的经销问题关键是区分清楚标价、优惠价及原价之间的关系．

例4、某公司存入银行甲、乙两种不同年利率的存款共20万元，甲种存款的年利率为1.4%，乙种存款的年利率为3.7%，该公司一年共得利息6250元，求甲、乙两种存款各为多少万元？

点评：

　　利率问题是中考命题的热点问题，应弄清存款本金、利率、存期及利息之间的关系：

利息=本金×利率×期数．

例5、A、B两汽车站，每隔相同的时间相向发出一辆汽车，A、B之间有一骑自行车的人，发现每隔4分钟迎面开过来一辆汽车，而每隔12分钟有一辆汽车从后面开来并超过他，若人与汽车的速度始终是匀速的，问A、B两站每隔几分钟各发一次车？

分析：

　　行程问题也是一类重要的应用题，解题时，一定要透彻理解题意，本题中“每隔4分钟迎面开过来一辆汽车”相当于“骑车人和汽车相向而行4分钟相遇”，而“每隔12分钟有一辆汽车从后面开过来并超过他”相当于汽车与自行车同向而行，12分钟汽车追上自行车”．

例6、某三位数除以它各数位上数字的和的9倍得到的商为3，已知百位上的数字与个位数字的和比十位上的数字大1，如果把数位上的数字顺序颠倒，则所得的新数比原数大99，试求这个三位数．