《数据模型决策》复习作业题.docx
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《数据模型决策》复习作业题
《数据模型决策》复习（作业）题
一、判断题
1、线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。
√
2、性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。
×
3、线性规划问题存在最优解，则最优解一定对应可行域边界上的唯一一个点。
×
4、单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转换到目标函数值更优的另一个可行解。
√
5、对偶问题的对偶问题一定是原问题。
√
6、线性规划原问题与对偶问题最优解的目标函数值必相等。
√
7、影子价格的大小客观地反映资源在系统内的稀缺程度，是一种虚拟的价格而不是真实的价格。
√
8、求解整数规划ILP时，先求放松问题LP的解，然后四舍五入即可。
×
9、后悔值准则是不确定情况下的决策方法。
√
10、博弈论研究决策主体的行为在发生直接的相互作用时，人们如何进行决策以及这种决策的均衡问题.√
二、分析、建模题
1、（广告策划）一家广告公试司想在电视、广播及杂志做广告，其目的是尽可能多地招徕顾客。
下面是市场调查结果：
电视
无线电
广播
杂志
白天
最佳时间
一次广告费用（千元）
40
75
30
15
受每次广告影响的顾客
数（千人）
400
900
500
200
受每次广告影响的女顾客数（千人）
300
400
200
100
这家公司希望广告费用不超过800（千元），还要求：
（1）至少有二百万妇女收看广告；
（2）电视广告费用不超过500（千元）；（3）电视广告白天至少播出3次，最佳时间至少播出2次；（4）通过广播、杂志做的广告各重复5到10次。
试建立该问题的数学模型，并用软件求解。
解：
设变量X1,X2,X3,X4为白天、最佳时间、无线电广播、杂志次数
目标函数maxZ=400X1+900X2+500X3+200X4
约束条件s.t
40X1+75X2+30X3+15X4≤800
40X1+400X2+200X3+100X4≥800
40X1+75X2≤500
X1≥3
X2≥2
X3≥5
X3≤10
X4≥5
X4≤10
Xi≥0i=1,2,3,4
软件求解
2、（指派问题）分配甲、乙、丙、丁四人分别去完成A、B、C、D四项工作。
已知每人完成各项工作的时间如下表所示。
规定每项工作只能由一人去单独完成，每个人最多承担一项工作。
如何分配工作，使完成四项工作总的耗时为最少？
建立线性规划数学模型（不求解）。
人
工作
甲
乙
丙
丁
1
10
2
3
15
2
5
10
15
2
3
15
5
14
7
4
20
15
13
6
解：
设变量X11,X12,X13,X14为甲参加1，2，3，4工作，X21,X22,X23,X24为乙参加1，2，3，4工作，
X31,X32,X33,X34为丙参加1，2，3，4工作，X41,X42,X43,X44为丁参加1，2，3，4工作
目标函数maXZ=10X11+5X12+15X13,+20X14+2X21+10X22+5X23+15X24+
3X31+15X32+14X33+13X34+15X41+2X42+7X43+6X44
约束条件s.t
X11+X12+X13,+X14=1
X21+X22+X23+X24=1
X31+X32+X33+X34=1
X41+X42+X43+X44=1
Xi,j≥0i=1,2,3,4j=1,2,3,4
软件求解
3、昼夜运营的公交线路每天各时间区段内所需要的司机和乘务员人数如下表：
班次
时间
所需人数
1
2
3
4
5
6
06：
00~10：
00
10：
00~14：
00
14：
00~18：
00
18：
00~22：
00
22：
00~02：
00
02：
00~06：
00
60
70
60
50
20
30
设司机和乘务员分别在各时间区段一开始时上班，并连续工作8小时，问该公交线路至少配备多少名司机和乘务人员。
建立该问题的线性规划数学模型，并用软件求解。
解：
设变量X1,X2,X3,X4,X5,X6为班次人数
目标函数minZ=X1+X2+X3+X4+X5+X6
约束条件s.t
X1+X6≥60
X1+X2≥70
X2+X3≥60
X3+X4≥50
X4+X5≥20
X5+X6≥30
Xi≥0i=1,2,3,4,5,6
4、一家百货商场对售货员的需求经过统计分析如下表所示。
为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。
问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？
用软件求解。
解：
设Xii=1,2,3,4,5,6，7为星期一至星期天每天所需休息人数，建立数学模型
目标函数：
MinX1+X2+X3+X4+X5+X6+X7
约束条件s.t
X1+X2+X3+X4+X5≥31
X2+X3+X4+X5+X6≥15
X3+X4+X5+X6+X7≥24
X4+X5+X6+X7+X1≥25
X5+X6+X7+X1+X2≥19
X6+X7+X1+X2+X3≥31
X7+X1+X2+X3+X4≥28
Xi≥0i=1,2,3,4,5,6，7
5、（投资问题）某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。
某公司在今后五年内考虑给以下的项目投资。
已知：
项目A：
五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%，此项投资金额不限。
项目B：
从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115%，但要求第一年投资最低金额为40万元，第二、三、四年不限；
项目C：
第三年初需要投资，到第五年末能回收本利128％，但规定最低投资金额为30万元，最高金额为50万元；
项目D：
第二年初需要投资，到第五年末能回收本利140%，但规定其投资额或为10万元的整数倍，最高金额为40万元。
据测定每万元每次投资的风险指数如右表：
a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？
b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在280万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？
解：
a）
确定决策变量：
连续投资问题
设Xi,j≥0i=1,2,3,4,5j=1,2,3,4表示第i年初投资于A（j=1）,B（j=2）,C（j=3）,D（j=4）项目金额。
建立如下决策变量
项目
第一年
第二年
第三年
第四年
第五年
A
X11
X21
X31
X41
X51
B
X12
X22
X32
X42
C
X33
D
X24
约束条件s.t.
第一年A，B项目年未可收回投资，故第一年全部资金投入，有X11+X12=200
第二年B次年收回投资，故第二年年初资金为1.06X11，有X21+X22+X24=1.06X11
第三年年初资金为1.06X21+1.15X12，有X31+X32+X33=1.06X21+1.15X12
第四年年初资金为1.06X31+1.15X22，有X41+X42=1.06X31+1.15X22
第五年年初资金为1.06X41+1.15X32，有X51=1.06X41+1.15X22
B,C,D投资限制：
X12≥40
X33≥30
X33≤50
X24≤40
X24=10yy=1,2,3,4
Xi,j≥0i=1,2,3,4,5j=1,2,3,4
目标函数及模型
MaxZ=1.06X51+1.15X42+1.28X33+1.4X32
约束条件s.t
X11+X12=200
X21+X22+X24=1.06X11
X31+X32+X33=1.06X21+1.15X12
X41+X42=1.06X31+1.15X22
X51=1.06X41+1.15X22
X12≥40
X33≥30
X33≤50
X24≤40
X24=10yy=1,2,3,4
Xi,j≥0i=1,2,3,4,5j=1,2,3,4
b）
所设变量与问题a）同，目标函数为风险最小，有
MinZ=X11+X21+X31+X41+X51+2.5（X12+X22+X32+X42）+4X33+5.5X24
增加约束条件，使得第五年年末拥有资金的本利在280万元，
1.06X51+1.15X42+1.28X33+1.4X32≥280
目标函数
MinZ=X11+X21+X31+X41+X51+2.5（X12+X22+X32+X42）+4X33+5.5X24
约束条件s.t
X11+X12=200
X21+X22+X24=1.06X11
X31+X32+X33=1.06X21+1.15X12
X41+X42=1.06X31+1.15X22
X51=1.06X41+1.15X22
1.06X51+1.15X42+1.28X33+1.4X32≥280
X12≥40
X33≥30
X33≤50
X24≤40
X24=10yy=1,2,3,4
Xi,j≥0i=1,2,3,4,5j=1,2,3,4
6、（目标规划）一工艺品厂商手工生产某两种工艺品A、B，已知生产一件产品A需要耗费人力2工时，生产一件产品B需要耗费人力3工时。
A、B产品的单位利润分别为250元和125元。
为了最大效率地利用人力资源，确定生产的首要任务是保证人员高负荷生产，要求每周总耗费人力资源不能低于600工时，但也不能超过680工时的极限；次要任务是要求每周的利润超过70000元；在前两个任务的前提下，为了保证库存需要，要求每周产品A和B的产量分别不低于200和120件，因为B产品比A产品更重要，不妨假设B完成最低产量120件的重要性是A完成200件的重要性的1倍。
如何安排生产，并用软件求解。
目标规划中引入偏差变量，其作用是允许约束条件不被精确满足。
解：
本题有3个不同优先权的目标，用P1，P2，P3表示从高到低的优先权。
对应P1有两个目标，每周总耗费人力资源不能低于600工时，但也不能超过680工时的极限；
对应P2，有一个目标，次要任务是要求每周的利润超过70000元；
对应P3有一个目标，为了保证库存需要，要求每周产品A和B的产量分别不低于200和120件
目标线性规划
MinP1（d1+）+P1（d2-）+P2（d3-）+P3（d4-）+P3（2d5-）
s.t.
2x1+3x2-d1++d1-=680
2x1+3x2-d2++d2-=600
250x1+125x1-d3-+d3+=7000
x1–d4++d4-=200
x2–d5++d5-=120
x1,x2,d1+,d1,d2+,d2-,d3-,d3+,d4+,d4-,d5+,d5-≥0
三、求解题
1、设某商业银行有10亿元资金，其中一部分用于贷款（L）,贷款利率6%（不易流通），另一部分用于购买证券，证券利率4%（易流通）。
银行要求在下列约束下使总盈利最大：
（1）流动投资至少保持在25%；
（2）老客户的贷款额至少为8000万元。
建立该问题的数学模型，并用图解法求解。
MaxZ=0.06x1+0.04x2
s.t.
x1+x2≤10
x1≥0.8
x2≥0.25（x1+x2）
x1,x2≥0
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
A2
A3
4
3
1
1
2
7
4
5
5
6
0
1
8
8
4
销量
6
5
6
3
20
2、表1-表2分别给出了各产地和各销地的产量和销量，以及相应的单位运价。
（1）建立该运输问题的数学模型；
（2）试用软件求最优解。
表1
表2
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
A2
A3
9
4
5
3
9
7
8
4
6
7
5
2
3
3
5
销量
1
3
2
5
11
产销量平衡
xiji=1,2,3j=1,2,3,4表示从产地i到销地j则有
产地A1到销地B1,B2,B3,B4运价为:
4x11+x12+4x13+6x14
产地A2到销地B1,B2,B3,B4运价为:
3x21+2x22+5x23+0x24
产地A3到销地B1,B2,B3,B4运价为:
1x31+7x32+5x33+1x34
s.t.
x11+x12+x13+x14=8
x21+x22+x23+x24=8
x31+x32+x33+x34=4
x11+x21+x31=6
x12+x22+x32=5
x13+x23+x33=6
x14+x24+x34=3
xij≥0i=1,2,3j=1,2,3,4
3、下图表示从起点A到终点E之间各点的距离。
求A到E的最短路径。
第四阶段,两个始点D1,D2,终点为E
第四阶段
本阶段始点
本阶段各终点（决策）
到E的距离
本阶段最优终点（最优决策）
E
D1
10
10
E
D2
6
6
E
4、根据水情资料，某地汛期出现平水水情的概率为0.6，出现高水水情的概率为0.3，出
现洪水水情的概率为0.1，位于江边的某工地对其大型施工设备拟定三个处置方案：
（1）运走，需支付运费25万元；
（2）修堤坝保护，需支付修坝费8万元；
（3）不作任何防范，不需任何支出。
若采用方案
（1），那么无论出现任何水情都不会遭受损失；若采用方案
（2），则仅当发生洪水时，因堤坝冲垮而损失500万元的设备；若采用方案（3），那么出现平水位时不遭受损失，发生高水位时损失部分设备100万元，发生洪水时损失设备500万元。
根据上述条件，选择最优决策方案，并对你所采用的决策方法作出评价。
风险决策的期望决策法
S1=-25
S1=-（0.6×8+0.3×8+0.1×508）=58
S1=-（0.6×0+0.3×100+0.1×500）=80
采用方案
（1），那么无论出现任何水情都不会遭受损失。
对采用的决策方法作出评价如下：
5、P397.第1题。
6、请自行构造一个效用函数决策模型，并画出相应的效用函数曲线。
解：
7、在两寡头古诺模型中市场总产量
的固定成本均为零，边际成本均为2。
（1）求两厂商的纳什均衡产量及各自的总利润；
（2）求两厂商总体利益最大化时的市场总产量及总利润。
解：
（1）Л*1=Л*2=
需求函数P=15–Q总产量Q=q1+q2边际成本均为C=2
利润Л1=Pq1-Cq1=（15-q1-q2）q1-2q1=13q1-q12-q1q2
利润Л2=Pq2-Cq2=（15-q1-q2）q2-2q2=13q2-q22-q1q2
q1*=
q2*=
Q=q1*+q2*=
Л*1=Л*2=
Л*+Л*2=
（总利润）
（2）
相当于两个企业合二为一或合作，其总利润为
利润Л=PQ-CQ=（15-Q）Q-2Q=13Q-Q2
Q*=
Л*=
（总利润）
8、市场上有三个企业生产无差异产品，需求函数如下：
，边际成本均为c=2,且无固定成本.
设企业1首先决定产量，企业2与3观察到1的行动后同时选择产量。
求该博弈的子博弈精炼解。
解：
三个企业生产无差异产品，企业1首先决定产量，企业2与3观察到1的行动后同时选择产量
需求函数P=10–Q总产量Q=q1+q2+q3边际成本均为C=2,且无固定成本，由于企业2与3观察到企业1的行动后同时选择产量，相当于两个企业合二为一或合作，然后再平分产量。
所以使用逆推法，设合作企业为企业4，此时转化为两寡头古诺模型
以下正在思考，还没有完成。
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