高中物理选修35同步第十六章 3 动量守恒定律.docx
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高中物理选修35同步第十六章3动量守恒定律
3 动量守恒定律
[学习目标] 1.了解系统、内力和外力的概念.2.理解动量守恒定律的确切含义、表达式和守恒条件.3.能用牛顿运动定律推导动量守恒定律的表达式，了解动量守恒定律的普遍意义.4.会用动量守恒定律解释生活中的实际问题．
一、系统、内力与外力
1．系统：
相互作用的两个或多个物体组成一个力学系统．
2．内力：
系统中物体间的相互作用力．
3．外力：
系统外部的物体对系统内物体的作用力．
二、动量守恒定律
1．内容：
如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为0，这个系统的总动量保持不变．
2．表达式：
m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′（作用前后总动量相等）．
3．适用条件：
系统不受外力或者所受外力的矢量和为零．
[即学即用]
1．判断下列说法的正误．
（1）一个系统初、末态动量大小相等，即动量守恒．（ × ）
（2）两个做匀速直线运动的物体发生碰撞，两个物体组成的系统动量守恒．（ √ ）
（3）只要系统所受到的合力的冲量为零，动量就守恒．（ √ ）
（4）系统动量守恒也就是系统的动量变化量为零．（ √ ）
（5）只要系统内存在摩擦力，动量就不可能守恒．（ × ）
2．如图1所示，质量为m的小球A静止在光滑水平面上，质量为2m的小球B以速度v0与A碰撞后粘在一起，则粘在一起后A、B的共同速度v＝________.
图1
答案
v0
一、对动量守恒定律的理解
[导学探究]
1．如图2所示，公路上三辆汽车发生了追尾事故．如果将甲、乙两辆汽车看做一个系统，丙车对乙车的作用力是________（“内”或“外”）力；如果将三车看成一个系统，丙对乙的力是________（“内”或“外”）力．
图2
答案 外 内
解析 内力是系统内物体之间的作用力，外力是系统以外的物体对系统内的物体的作用力．一个力是内力还是外力关键是看选择的系统．如果将甲和乙看成一个系统，丙车对乙车的力是外力；如果将三车看成一个系统，丙车对乙车的力是内力．
2.如图3所示，光滑水平桌面上质量分别为m1、m2的球A、B，沿着同一直线分别以v1和v2的速度同向运动，v2>v1.当B球追上A球时发生碰撞，碰撞后A、B两球的速度分别为v1′和v2′.试用动量定理和牛顿第三定律推导两球碰前总动量m1v1＋m2v2与碰后总动量m1v1′＋m2v2′的关系．
图3
答案 设碰撞过程中两球受到的作用力分别为F1、F2，相互作用时间为t.根据动量定理：
F1t＝m1（v1′－v1），F2t＝m2（v2′－v2）．
因为F1与F2是两球间的相互作用力，根据牛顿第三定律知，F1＝－F2，
则有：
m1v1′－m1v1＝m2v2－m2v2′
即m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
此式表明两球在相互作用前的总动量等于相互作用后的总动量，这就是动量守恒定律的表达式．
[知识深化]
1．对动量守恒定律条件的理解：
（1）系统不受外力作用，这是一种理想化的情形．
（2）系统受外力作用，但所受合外力为零．像光滑水平面上两物体的碰撞就是这种情形．
（3）系统受外力作用，但当系统所受的外力远远小于系统内各物体间的内力时，系统的总动量近似守恒．例如，抛出去的手榴弹在空中爆炸的瞬间，弹片所受火药爆炸时的内力远大于其重力，重力完全可以忽略不计，系统的动量近似守恒．
（4）系统受外力作用，所受的合外力不为零，但在某一方向上合外力为零，则系统在该方向上动量守恒．
2．对动量守恒定律的理解：
（1）系统性：
动量守恒定律的研究对象不是单一物体而是几个相互作用的物体组成的系统，动量保持不变并不是每个物体动量保持不变，而是系统总动量保持不变．
（2）矢量性：
表达式p1＋p2＝p1′＋p2′是一个矢量式，其矢量性表现在：
系统的总动量在相互作用前后不仅大小相等，而且方向也相同．求初、末状态系统的总动量时，如果各物体动量的方向在同一直线上，要选取正方向，将矢量运算转化为代数运算．
（3）相对性：
动量守恒定律中，系统中各物体在相互作用前后的动量必须相对于同一惯性系，各物体的速度通常均为相对于地面的速度．
（4）同时性：
动量守恒定律中p1、p2……必须是系统中各物体在相互作用前同一时刻的动量，p1′、p2′……必须是系统中各物体在相互作用后同一时刻的动量，不同时刻的动量不能相加．
（5）普适性：
动量守恒定律不仅适用于两个物体组成的系统，也适用于多个物体组成的系统；不仅适用于宏观物体组成的系统，也适用于微观粒子组成的系统．
例1
（多选）如图4所示，A、B两物体质量之比mA∶mB＝3∶2，原来静止在平板小车C上，A、B间有一根被压缩的弹簧，地面光滑，当弹簧突然释放后，则下列说法正确的是（ ）
图4
A．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B组成的系统动量守恒
B．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B、C组成的系统动量守恒
C．若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B组成的系统动量守恒
D．若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B、C组成的系统动量守恒
答案 BCD
解析 如果A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，弹簧释放后，A、B分别相对于小车向左、向右滑动，它们所受的滑动摩擦力FfA向右，FfB向左．由于mA∶mB＝3∶2，所以FfA∶FfB＝3∶2，则A、B组成的系统所受的外力之和不为零，故其动量不守恒，A选项错误；对A、B、C组成的系统，A、B与C间的摩擦力为内力，该系统所受的外力为竖直方向上的重力和支持力，它们的合力为零，故该系统的动量守恒，B、D选项正确；若A、B所受摩擦力大小相等，则A、B组成的系统所受的外力之和为零，故其动量守恒，C选项正确．
1．动量守恒定律的研究对象是相互作用的物体组成的系统．判断系统的动量是否守恒，与选择哪几个物体作为系统和分析哪一段运动过程有直接关系．
2．判断系统的动量是否守恒，要注意守恒的条件是不受外力或所受合外力为零，因此要分清哪些力是内力，哪些力是外力．
3．系统的动量守恒，并不是系统内各物体的动量都不变．一般来说，系统的动量守恒时，系统内各物体的动量是变化的，但系统内各物体的动量的矢量和是不变的．
针对训练 下列情形中，满足动量守恒条件的是（ ）
A．用铁锤打击放在铁砧上的铁块，打击过程中，铁锤和铁块的总动量
B．子弹水平穿过放在光滑桌面上的木块的过程中，子弹和木块的总动量
C．子弹水平穿过墙壁的过程中，子弹和墙壁的总动量
D．棒击垒球的过程中，棒和垒球的总动量
答案 B
二、动量守恒定律的简单应用
1．动量守恒定律不同表现形式的表达式的含义：
（1）p＝p′：
系统相互作用前的总动量p等于相互作用后的总动量p′.
（2）m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′：
相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量的矢量和等于作用后的动量矢量和．
（3）Δp1＝－Δp2：
相互作用的两个物体组成的系统，一个物体的动量变化量与另一个物体的动量变化量大小相等、方向相反．
（4）Δp＝0：
系统总动量增量为零．
2．应用动量守恒定律的解题步骤：
例2
质量m1＝10g的小球在光滑的水平桌面上以30cm/s的速率向右运动，恰遇上质量为m2＝50g的小球以10cm/s的速率向左运动，碰撞后，小球m2恰好停止，则碰后小球m1的速度大小和方向如何？
答案 20cm/s 方向向左
解析 碰撞过程中，两小球组成的系统所受合外力为零，动量守恒．设向右为正方向，则v1＝30cm/s，v2＝－10cm/s；v2′＝0.
由动量守恒定律列方程m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′，
代入数据解得v1′＝－20cm/s.
故碰后小球m1的速度大小为20cm/s，方向向左．
例3
将两个完全相同的磁铁（磁性极强）分别固定在质量相等的小车上，水平面光滑．开始时甲车速度大小为3m/s，方向向右，乙车速度大小为2m/s，方向向左并与甲车速度方向在同一直线上，如图5所示．
图5
（1）当乙车速度为零时，甲车的速度多大？
方向如何？
（2）由于磁性极强，故两车不会相碰，那么两车的距离最小时，乙车的速度是多大？
方向如何？
答案
（1）1m/s 方向向右
（2）0.5m/s 方向向右
解析 两个小车及磁铁组成的系统在水平方向不受外力作用，两车之间的磁力是系统内力，系统动量守恒，设向右为正方向．
（1）v甲＝3m/s，v乙＝－2m/s.
据动量守恒定律得：
mv甲＋mv乙＝mv甲′，代入数据解得
v甲′＝v甲＋v乙＝（3－2）m/s＝1m/s，方向向右．
（2）两车的距离最小时，两车速度相同，设为v′，
由动量守恒定律得：
mv甲＋mv乙＝mv′＋mv′.
解得v′＝
＝
＝
m/s＝0.5m/s，方向向右.
1．（对动量守恒条件的理解）如图6所示，小车与木箱紧挨着静放在光滑的水平冰面上，现有一男孩站在小车上用力向右迅速推出木箱，关于上述过程，下列说法正确的是（ ）
图6
A．男孩和木箱组成的系统动量守恒
B．小车与木箱组成的系统动量守恒
C．男孩、小车与木箱三者组成的系统动量守恒
D．木箱的动量增量与男孩、小车的总动量增量相同
答案 C
解析 由动量守恒定律成立的条件可知男孩、小车与木箱三者组成的系统动量守恒，A、B错误，C正确；木箱的动量增量与男孩、小车的总动量增量大小相等，方向相反，D错误．
2．（对动量守恒条件的理解）（多选）如图7所示，在光滑水平地面上有A、B两个木块，A、B之间用一轻弹簧连接．A靠在墙壁上，用力F向左推B使两木块之间的弹簧压缩并处于静止状态．若突然撤去力F，则下列说法中正确的是（ ）
图7
A．木块A离开墙壁前，A、B和弹簧组成的系统动量守恒，机械能也守恒
B．木块A离开墙壁前，A、B和弹簧组成的系统动量不守恒，但机械能守恒
C．木块A离开墙壁后，A、B和弹簧组成的系统动量守恒，机械能也守恒
D．木块A离开墙壁后，A、B和弹簧组成的系统动量不守恒，但机械能守恒
答案 BC
解析 若突然撤去力F，木块A离开墙壁前，墙壁对木块A有作用力，所以A、B和弹簧组成的系统动量不守恒，但由于A没有离开墙壁，墙壁对木块A不做功，所以A、B和弹簧组成的系统机械能守恒，选项A错误，B正确；木块A离开墙壁后，A、B和弹簧组成的系统所受合外力为零，所以系统动量守恒且机械能守恒，选项C正确，D错误．
3．（动量守恒定律的简单应用）解放军鱼雷快艇在南海海域附近执行任务，假设鱼雷快艇的总质量为M，以速度v前进，现沿快艇前进方向发射一颗质量为m的鱼雷后，快艇速度减为原来的
，不计水的阻力，则鱼雷的发射速度为（ ）
A.
vB.
vC.
vD.
v
答案 A
解析 设快艇的速度方向为正方向，根据动量守恒定律有：
Mv＝（M－m）
v＋mv′，解得v′＝
v.
4．（动量守恒定律的简单应用）如图8所示，传送带以v0＝2m/s的水平速度把质量m＝20kg的行李包运送到原来静止在光滑轨道上的质量M＝30kg的小车上，若行李包与车上表面间的动摩擦因数μ＝0.4，g＝10m/s2，求：
（小车足够长）
图8
（1）小车的最大速度的大小；
（2）行李包从滑上小车至在小车上滑到最远处所经历的时间是多少？
答案
（1）0.8m/s
（2）0.3s
解析
（1）以行李包与小车组成的系统为研究对象，行李包与小车最后达到速度相同，此时小车速度最大，设为v.
由动量守恒定律得mv0＝（M＋m）v
解得v＝0.8m/s.
（2）对行李包，由动量定理得－μmgt＝mv－mv0
解得t＝0.3s.
一、选择题
考点一 对动量守恒条件的理解
1.（多选）在光滑水平面上A、B两小车中间有一弹簧，如图1所示，用手抓住小车并将弹簧压缩后使小车处于静止状态．将两小车及弹簧看做一个系统，下面说法正确的是（ ）
图1
A．两手同时放开后，系统总动量始终为零
B．先放开左手，再放开右手后，动量不守恒
C．先放开左手，后放开右手，总动量一定向右
D．无论何时放手，两手放开后，在弹簧恢复原长的过程中，系统总动量都保持不变，但系统的总动量不一定为零
答案 AD
2．下列情况中系统动量守恒的是（ ）
①小车停在光滑水平面上，人在车上走动时，对人与车组成的系统
②子弹水平射入放在光滑水平面上的木块中，对子弹与木块组成的系统
③子弹射入紧靠墙角的木块中，对子弹与木块组成的系统
④气球下用轻绳吊一重物一起加速上升时，绳子突然断开后的一小段时间内，对气球与重物组成的系统
A．只有①B．①和②
C．①和③D．①和③④
答案 B
解析 ①小车停在光滑水平面上，人在车上走动时，对人与车组成的系统，系统受到的合外力为零，系统动量守恒；②子弹水平射入放在光滑水平面上的木块中，对子弹与木块组成的系统，系统所受到的合外力为零，系统动量守恒；③子弹射入紧靠墙角的木块中，子弹与木块组成的系统受墙的作用力，系统所受到的合外力不为零，系统动量不守恒；④气球下用轻绳吊一重物一起加速上升时，绳子突然断开后的一小段时间内，对气球与重物组成的系统，所受到的合外力不为零，系统动量不守恒．综上可知，B正确，A、C、D错误．
3．（多选）如图2所示，小车放在光滑的水平面上，将系着绳的小球拉开一定的角度，然后同时放开小球和小车，那么在以后的过程中（ ）
图2
A．小球向左摆动时，小车也向左运动，且系统动量守恒
B．小球向左摆动时，小车向右运动，且系统在水平方向上动量守恒
C．小球向左摆到最高点，小球的速度为零而小车的速度不为零
D．在任意时刻，小球和小车在水平方向上的动量一定大小相等、方向相反（或者都为零）
答案 BD
解析 以小球和小车组成的系统为研究对象，在水平方向上不受外力的作用，所以系统在水平方向上动量守恒．由于初始状态小车与小球均静止，所以小球与小车在水平方向上的动量要么都为零，要么大小相等、方向相反，所以A、C错，B、D对．
4．（多选）根据UIC（国际铁路联盟）的定义，高速铁路是指营运速率达200km/h以上的铁路和动车组系统．据广州铁路局警方测算：
当和谐号动车组列车（如图3所示）以350km/h的速度在平直铁轨上匀速行驶时，如果撞击一块质量为0.5kg的障碍物，会产生大约5000N的冲击力，撞击时间约为0.01s，瞬间可能造成列车颠覆，后果不堪设想．在撞击过程中，下列说法正确的是（ ）
图3
A．列车受到合外力的冲量约为50N·s
B．列车受到合外力的冲量约为104N·s
C．障碍物受到合外力的冲量约为175N·s
D．列车和障碍物组成的系统动量近似守恒
答案 AD
考点二 动量守恒定律的简单应用
5．一颗手榴弹被投出后到达最高点时的速度为v0＝10m/s，设它炸成两块后，质量为0.4kg的大块速度大小为250m/s，方向与原来方向相反，若取v0方向为正方向，则质量为0.2kg的小块速度为（ ）
A．－470m/sB．530m/sC．470m/sD．800m/s
答案 B
解析 手榴弹爆炸过程系统水平方向动量守恒，以手榴弹的初速度方向为正方向，根据动量守恒定律得：
Mv0＝m1v1＋m2v2.即：
0.6×10kg·m/s＝0.4×（－250）kg·m/s＋0.2kg×v2，解得：
v2＝530m/s.故选B.
6．如图4所示，质量为M的小船在静止水面上以速率v0向右匀速行驶，一质量为m的救生员站在船尾，相对小船静止．若救生员以相对水面速率v水平向左跃入水中，则救生员跃出后小船的速率为（ ）
图4
A．v0＋
vB．v0－
v
C．v0＋
（v0＋v）D．v0＋
（v0－v）
答案 C
解析 小船和救生员组成的系统满足动量守恒条件：
（M＋m）v0＝m·（－v）＋Mv′
解得v′＝v0＋
（v0＋v），
故C项正确，A、B、D项错误．
7．如图5所示，一枚火箭搭载着卫星以速率v0进入太空预定位置，由控制系统使箭体与卫星分离．已知前部分的卫星质量为m1，后部分的箭体质量为m2，分离后箭体以速率v2沿火箭原方向飞行，若忽略空气阻力及分离前后系统质量的变化，则分离后卫星的速率v1为（ ）
图5
A．v0－v2B．v0＋v2
C．v0－
v2D．v0＋
（v0－v2）
答案 D
解析 以火箭原运动方向为正方向，根据动量守恒定律有（m1＋m2）v0＝m1v1＋m2v2，可得v1＝v0＋
（v0－v2），故选D.
8．（多选）如图6所示，水平面上有两个木块，两木块的质量分别为m1、m2，且m2＝2m1.开始两木块之间有一根用轻绳缚住的已压缩轻弹簧，烧断绳后，两木块分别向左、右运动．若两木块m1和m2与水平面间的动摩擦因数分别为μ1、μ2，且μ1＝2μ2，则在弹簧伸长的过程中，两木块（ ）
图6
A．动量大小之比为1∶1B．速度大小之比为2∶1
C．动量大小之比为2∶1D．速度大小之比为1∶1
答案 AB
解析 以两木块及弹簧组成的系统为研究对象，绳断开后，弹簧对两木块的推力可以看成是内力；水平面对两木块有方向相反的滑动摩擦力，且Ff1＝μ1m1g，Ff2＝μ2m2g.因此系统所受合外力F合＝μ1m1g－μ2m2g＝0，满足动量守恒定律的条件．设弹簧伸长过程中某一时刻，两木块速度大小分别为v1、v2.由动量守恒定律有（以向右为正方向）：
－m1v1＋m2v2＝0，即m1v1＝m2v2.即两木块的动量大小之比为1∶1，故A项正确，C项错误．两木块的速度大小之比为
＝
＝
，故B项正确，D项错误．
9．（多选）两个小木块A和B（均可视为质点）中间夹着一轻质弹簧，用细线（未画出）捆在一起，放在光滑的水平桌面上，烧断细线后，木块A、B分别向左、右方向运动，离开桌面后做平抛运动（离开桌面前两木块已和弹簧分离），落地点与桌面边缘的水平距离分别为lA＝1m，lB＝2m，如图7所示，则下列说法正确的是（ ）
图7
A．木块A、B离开弹簧时的速度大小之比vA∶vB＝1∶2
B．木块A、B的质量之比mA∶mB＝2∶1
C．木块A、B离开弹簧时的动能之比EkA∶EkB＝1∶2
D．弹簧对木块A、B的作用力大小之比FA∶FB＝1∶2
答案 ABC
解析 A、B两木块脱离弹簧后做平抛运动，由平抛运动规律得：
木块A、B离开弹簧时的速度大小之比为
＝
＝
，A正确；根据动量守恒定律得：
mAvA－mBvB＝0，因此
＝
＝
，B正确；木块A、B离开弹簧时的动能之比为：
＝
＝
×
＝
，C正确；弹簧对木块A、B的作用力大小之比：
＝
，D错误．
10．质量为M的木块在光滑水平面上以速度v1水平向右运动，质量为m的子弹以速度v2水平向左射入木块，要使木块停下来，必须使发射子弹的数目为（子弹留在木块中不穿出）（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 设发射子弹的数目为n，选择n颗子弹和木块M组成的系统为研究对象．系统在水平方向所受的合外力为零，满足动量守恒的条件．选子弹运动的方向为正方向，由动量守恒定律有：
nmv2－Mv1＝0，得n＝
.
11．（多选）如图8所示，三辆完全相同的平板小车a、b、c成一直线排列，静止在光滑水平面上．c车上有一小孩跳到b车上，接着又立即从b车跳到a车上．小孩跳离c车和b车时对地的水平速度相同．他跳到a车上相对a车保持静止，此后（ ）
图8
A．a、b两车运动速率相等
B．a、c两车运动速率相等
C．三辆车的速率关系vc＞va＞vb
D．a、c两车运动方向相反
答案 CD
解析 若人跳离b、c车时对地的水平速度为v，由动量守恒定律知：
人和c车组成的系统：
0＝m人v－M车vc
对人和b车：
m人v＝M车vb＋m人v
对人和a车：
m人v＝（M车＋m人）·va
所以：
vc＝
，vb＝0，va＝
即vc＞va＞vb，并且a、c两车运动方向相反．
12．（多选）如图9所示，光滑水平面上，质量为m1的足够长的木板向左匀速运动．t＝0时刻，质量为m2的木块从木板的左端向右以与木板相同大小的速度滑上木板．t1时刻，木块和木板相对静止，共同向左匀速运动，以v1和a1表示木板的速度和加速度，以v2和a2表示木块的速度和加速度，以向左为正方向．则下列图中正确的是（ ）
图9
答案 BD
解析 木块和木板组成的系统动量守恒，因为最终共同的速度方向向左，根据m1v－m2v＝（m1＋m2）v′，知m1>m2；木块的加速度大小a2＝
，方向向左，木板的加速度大小a1＝
，方向向右，因为m1>m2，则a1二、非选择题
13．（动量守恒定律的计算）一辆质量m1＝3.0×103kg的小货车因故障停在车道上，后面一辆质量m2＝1.5×103kg的轿车来不及刹车，直接撞入货车尾部失去动力，碰撞时间极短，相撞后两车一起沿轿车运动方向滑行了x＝6.75m停下．已知车轮与路面间的动摩擦因数μ＝0.6，求碰撞前瞬间轿车的速度大小．（重力加速度取g＝10m/s2）
答案 27m/s
解析 由牛顿第二定律得a＝
＝μg＝6m/s2
由运动学公式得v＝
＝9m/s
碰撞过程中，货车和轿车组成的系统动量守恒．由动量守恒定律得m2v0＝（m1＋m2）v
v0＝
v＝27m/s.
14．（动量守恒与能量问题的初步结合）如图10所示，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切，小滑块A和B（均可视为质点）分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点．现将A无初速度释放，A与B碰撞后结合为一个整体，并沿桌面滑动．已知圆弧轨道光滑，半径R＝0.2m，A和B的质量相等，A和B整体与桌面之间的动摩擦因数μ＝0.2.取重力加速度g＝10m/s2.求：
图10
（1）碰撞后瞬间A和B整体的速率v′；
（2）A和B整体在桌面上滑动的距离L.
答案
（1）1m/s
（2）0.25m
解析
（1）滑块A从圆弧轨道最高点到最低点机械能守恒，由
mAv
＝mAgR，可得vA＝2m/s.在底部和B相撞，满足动量守恒，由mAvA＝（mA＋mB）v′，可得v′＝1m/s.
（2）根据动能定理，对A、B一起滑动过程由－μ（mA＋mB）gL＝0－
（mA＋mB）v′2，可得L＝0.25m.
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