完整成都市中考近十年中考数学圆压轴题含答案推荐文档docx.docx
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圆
【2018
成都中考】如图，在
RtABC中，
C90
，AD平分
BAC交BC于点
D，O为
AB上一点，经过
点A，D的⊙O分别交
AB，AC于点
E，
F
，连接
OF
交AD于点
G.
（1）求证：
BC是⊙O
的切线；
（2）设AB
x，AF
y，试用含x,y的代数式表示线段
AD的长；
（3）若BE
8，sinB
5
，求DG的长.
13
【2017成都中考】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过
点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．
（1）求证：
DH是圆O的切线；
（2）若A为EH的中点，求的值；
（3）若EA=EF=1，求圆O的半径．
证明：
（1）连接OD，如图1，
∵OB=OD，
∴△ODB是等腰三角形，
∠OBD=∠ODB①，
在△ABC中，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB②，
由①②得：
∠ODB=∠OBD=∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴DH⊥OD，
∴DH是圆O的切线；
（2）如图2，在⊙O中，∵∠E=∠B，
∴由
（1）可知：
∠E=∠B=∠C，
∴△EDC是等腰三角形，
∵DH⊥AC，且点A是EH中点，
设AE=x，EC=4x，则AC=3x，
连接AD，则在⊙O中，∠ADB=90°，AD⊥BD，
∵AB=AC，
∴D是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，OD=AC=×3x=，
∵OD∥AC，
∴∠E=∠ODF，
在△AEF和△ODF中，
∵∠E=∠ODF，∠OFD=∠AFE，
∴△AEF∽△ODF，
∴，
∴==，
∴=；
（3）如图2，设⊙O的半径为r，即OD=OB=r，
∵EF=EA，
∴∠EFA=∠EAF，
∵OD∥EC，
∴∠FOD=∠EAF，
则∠FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD，
∴DF=OD=r，
∴DE=DF+EF=r+1，
∴BD=CD=DE=r+1，
在⊙O中，∵∠BDE=∠EAB，
∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE，
∴BF=BD，△BDF是等腰三角形，
∴BF=BD=r+1，
∴AF=AB﹣BF=2OB﹣BF=2r﹣（1+r）=r﹣1，
在△BFD和△EFA中，
∵，
∴△BFD∽△EFA，
∴，
∴
=
，
解得：
r1=
，r2=
（舍），
综上所述，⊙
O的半径为
．
【2016成都中考】如图，在Rt△ABC
的延长线于点E，连接ED，BE．
（1）求证：
△ABD∽△AEB；
（2）当=时，求tanE；
中，∠ABC=90°，
以CB为半径作⊙
C，交
AC于点
D，交
AC
（3）在
（2）的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF=2，求⊙C的半径．
解：
（1）∵∠ABC=90°，
∴∠ABD=90°﹣∠DBC，
由题意知：
DE是直径，
∴∠DBE=90°，
∴∠E=90°﹣∠BDE，
∵BC=CD，
∴∠DBC=∠BDE，
∴∠ABD=∠E，
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△AEB；
（2）∵AB：
BC=4：
3，∴设AB=4，BC=3，
∴AC==5，
∵BC=CD=3，
∴AD=AC﹣CD=5﹣3=2，
由
（1）可知：
△ABD∽△AEB，
∴==，
∴AB2=AD?
AE，
∴42=2AE，
∴AE=8，
在Rt△DBE中
tanE====；
（3）过点F作FM⊥AE于点M，
∵AB：
BC=4：
3，∴设AB=4x，BC=3x，
∴由
（2）可知；AE=8x，AD=2x，∴DE=AE﹣AD=6x，
∵AF平分∠BAC，
∴=，
∴==，
∵tanE=，
∴cosE=，sinE=，
∴=，
∴BE=，
∴EF=BE=，
∴sinE==，
∴MF=，
∵tanE=，
∴ME=2MF=
，
∴AM=AE﹣ME=
，
2
2
2
，
∵AF=AM+MF
∴4=
+
，
∴x=
，
∴⊙C的半径为：
3x=
．
【2015成都中考】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相较于点D，
E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．
（1）求证：
△ABC≌△EBF；
（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=1，求HG?
HB的值．
解：
（1）由已知条件易得，
DCE
EFB，ABF
EBF
又
BC
BF
，∴
ABCEBF
（
ASA
）
（2）BD与eO相切。
理由：
连接OB，则
DBC
DCB
OFB
OBF，
∴DBODBCEBOOBFEBO90，
∴DBOB。
（3）连接EA，EH，由于DF为垂直平分线，
∴CE
EA
2AB
2，BF
BC1
2
∴EF2
BE2
BF2
2
112
422，
又∵BH为角平分线，∴
EBH
EFH
HBF
45，
∴GHF
FHB，∴
GHF:
FHB，∴HF
HG，
HB
HF
即HGHB
HF2，∵在等腰RtHEF中EF2
2HF2，
∴HG
HB
HF2
1EF2
2
2
2
【2014成都中考】如图，在⊙
O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，
⌒
垂足为E.设P是AC上异于A,C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.【来源：
21·世
纪·教育·网】
（1）求证：
△PAC∽△PDF；
（2）若AB=5，⌒AP=⌒BP，求PD的长；
（3）在点P运动过程中，设
AG
x，tanAFD
y，求y与x之间的函数关系式
.（不要求写出x的取
BG
值范围）
解：
（1）同弧所对的圆周角相等∠PAC=∠PDC,∠AFD=∠ABP=∠ACP,∴ΔPAC∽ΔPDF；
（2）⌒AP=⌒BP且AB为直径；∴ΔAPB为等腰直角三角形；
又∵AB=5，AC=2BC；∴AC
2
5,BC
5；APBP
5
2
；
2
∴由射影定理可得DE=CE=2，BE=1，AE=4；
又∵∠APB=∠AEF=90°；∴∠AFE=∠ABP=45°；∴FE=AE=4；
5
2
由
（1）的相似可得
AP
AC
即
2
25
310
PD
FD
∴PD
。
PD
6
2
（3）如图，过点G作GH┴PB于点H，
y
tan
AFD
tan
ABP
GH
HB；
∵
AG
PH
x
BG
HB
∴y
GH
HB
GH
tan
HPG；
x
HB
PH
PH
⌒
⌒
又∵AP=BP；∴∠HPG=∠CAB；
∴y
tan
CAB
1
x
2
1x.
∴y与x之间的函数关系式为
y
2
【2013成都中考】如图，⊙
O的半径r
25，四边形ABCD内接圆⊙O，AC
BD于点H，P为CA延长线
上的一点，且PDAABD.
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由：
（2）若tanADB
3
，PA
433AH，求BD的长；
4
3
（3）在
（2）的条件下，求四边形ABCD的面积.
解：
（1）PD与圆O相切．
理由：
如图，连接DO并延长交圆于点E，连接AE，
∵DE是直径，
∴∠DAE=90°，
∴∠AED+∠ADE=90°，
∵∠PDA=∠ABD=∠AED，
∴∠PDA+∠ADE=90°，
即PD⊥DO，
∴PD与圆O相切于点D；
（2）∵tan∠ADB=
∴可设AH=3k，则DH=4k，
∵PA=AH，
∴PA=（4﹣3）k，
∴PH=4k，
∴在Rt△PDH中，tan∠P=
=
，
∴∠P=30°，∠PDH=60°，
∵PD⊥DO，
∴∠BDE=90°﹣∠PDH=30°，
连接BE，则∠DBE=90°，DE=2r=50，
∴BD=DE?
cos30°=；
（3）由
（2）知，BH=
﹣4k，
∴HC=（
﹣4k），
又∵PD2
×
，
=PA
PC
∴（8k）2
（
4
﹣）
×
[4
k+
（
25
﹣）
，
=
3k
4k]
解得：
k=4
﹣3，
∴AC=3k+
（25
﹣4k）=24
+7，
∴S四边形ABCD=
BD?
AC=×25
×（24
+7）=900+
．
补充方法：
【2012成都中考】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．
（1）求证：
KE=GE；
（2）若KG2=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
（3）在
（2）的条件下，若sinE=3，AK=23，求FG的长．
5
解：
（1）如答图1，连接OG．
∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，
∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，
∴KE=GE．
（2）AC∥EF，理由为：
连接GD，如答图2所示．
∵KG2=KD?
GE，即=，
∴=，又∠KGE=∠GKE，
∴△GKD∽△EGK，
∴∠E=∠AGD，又∠C=∠AGD，
∴∠E=∠C，
∴AC∥EF；
（3）连接OG，OC，如答图3所示．
sinE=sin∠ACH=，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，
∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK﹣CH=t．
在Rt△AHK中，根据勾股定理得
AH2+HK2=AK2，
即（3t）2+t2=（
）2，解得t=
．
设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，
由勾股定理得：
OH2+CH2=OC2，
2
2
2
，解得r=t=
．
即（r﹣3t）+（4t）
=r
∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形，
在Rt△OGF中，OG=r=
，tan∠OFG=tan∠CAH=
=，
∴FG===．
【2011成都中考】已知：
如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K。
过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．
（1）求证：
AE=CK；
（2）如果AB=a，AD=1a（a为大于零的常数），求BK的长：
3
（3）若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．
（1）证明：
∵四边形据ABCD是矩形，
∴AD=BC，
∵BK⊥AC，DH∥KB，∴∠BKC=∠AED=90°，∴△BKC≌△ADE，∴AE=CK；
（2）∵AB=a，AD==BC，
∴AC===
∵BK⊥AC，
∴△BKC∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴BK=a，
∴BK=a．
（3）连接OF，
∵ABCD为矩形，∴=，
∴EF=ED=×6=3，
∵F是EG的中点，∴GF=EF=3，
∵△AFD≌△HBF，∴HF=FE=3+6=9，∴GH=6，
∵DH∥KB，ABCD为矩形，∴AE2=EF?
ED=3×6=18，
∴AE=3，
∵△AED∽△HEC，
∴==，
∴AE=AC，
∴AC=9，
则AO=．
【2010成都中考】已知：
如图，
ABC内接于eO，AB为直径，弦CE
?
AB于F，C是AD的中点，连结BD
并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q．
（1）求证：
P是ACQ的外心；
3
（2）若tanABC,CF8,求CQ的长；
4
（3）求证：
（FPPQ）2FPgFG．
（1）证明：
∵C是弧AD的中点，
∴弧AC=弧CD，
∴∠CAD=∠ABC
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。
∴∠CAD+∠AQC=90°
又CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90°∴∠AQC=∠PCQ
∴在△PCQ中，PC=PQ，
∵CE⊥直径AB，∴弧AC=弧AE
∴弧AE=弧CD
∴∠CAD=∠ACE。
∴在△APC中，有PA=PC，
∴PA=PC=PQ
∴P是△ACQ的外心。
（2）解：
∵CE⊥直径AB于F，
∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC=CF
3，CF=8，
BF
4
得BF
4
CF
32。
3
3
∴由勾股定理，得BC
CF2
BF2
40
3
∵AB是⊙O的直径，
∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC=AC
3，BC
40
BC
4
3
得AC
3
。
BC10
4
易知Rt△ACB∽Rt△QCA，∴AC2
CQBC
∴CQ
AC2
15。
BC
2
（3）证明：
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°
∴∠DAB+∠ABD=90°
又CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90°∴∠DAB=∠G；
∴Rt△AFP∽Rt△GFB，
∴AFFP，即AFBFFPFG
FGBF
易知Rt△ACF∽Rt△CBF，
∴FG2AFBF（或由摄影定理得）
2
∴FCPFFG
由
（1），知PC=PQ，∴FP+PQ=FP+PC=FC
∴（FPPQ）2FP?
FG。
【2009成都中考】如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙0交于点D，与BC交于点E，延长
BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结0G．
（1）判断0G与CD的位置关系，写出你的结论并证明；
（2）求证：
AE=BF；
（3）若OGDE3（22），求⊙O的面积。
F
CG
D
E
AB
O
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