图论习题及答案.docx
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图论习题及答案
作业解答
练习题2利用matlab编程FFD算法完成下题：
设有6种物品，它们的体积分别为：
60、45、35、20、20和20单位体积，箱子的容积为100个单位体积。
解答一：
function[num,s]=BinPackingFFD（w,capacity）
%一维装箱问题的FFD（降序首次适应）算法求解:
先将物体按长度从大到小排序,
%然后按FF算法对物体装箱
%输入参数w为物品体积，capacity为箱子容量
%输出参数num为所用箱子个数，s为元胞数组，表示装箱方案，s{i}为第i个箱子所装
%物品体积数组
%例w=[60,45,35,20,20,20];capacity=100;
%num=3,s={[1,3],[2,4,5],6};
w=sort（w,'descend'）;
n=length（w）;
s=cell（1,n）;
bin=capacity*ones（1,n）;
num=1;
fori=1:
n
forj=1:
num+1
ifw（i）bin（j）=bin（j）-w（i）;
s{j}=[s{j},i];
ifj==num+1
num=num+1;
end
break;
end
end
end
s=s（1:
num）;
解答二：
clear;
clc;
V=100;
v=[604535202020];
n=length（v）;
v=fliplr（sort（v））;
box_count=1;
x=zeros（n,n）;
V_Left=100;
fori=1:
n
ifv（i）>=max（V_Left）
box_count=box_count+1;
x（i,box_count）=1;
V_Left=[V_LeftV-v（i）];
else
j=1;
while（v（i）>V_Left（j））
j=j+1;
end
x（i,j）=1;
V_Left（j）=V_Left（j）-v（i）;
end
temp=find（x（i,:
）==1）;
fprintf（'第%d个物品放在第%d个容器\n',i,temp）
end
output:
第1个物品放在第1个容器
第2个物品放在第2个容器
第3个物品放在第1个容器
第4个物品放在第2个容器
第5个物品放在第2个容器
第6个物品放在第3个容器
解答三：
functionbox_count=FFD（x）
%降序首次适应算法
v=100;
x=fliplr（sort（x））;
%v=input（'请输入箱子的容积:
'）;
n=length（x）;
I=ones（n）;
E=zeros（1,n）;
box=v*I;
box_count=0;
fori=1:
n
j=1;
while（j<=box_count）
ifx（i）>box（j）
j=j+1;
continue;
else
box（j）=box（j）-x（i）;
E（i）=j;
break;
end
end
ifj>box_count
box_count=box_count+1;
box（box_count）=box（box_count）-x（i）;
E（i）=j;
end
end
disp（E）;
在命令窗口输入：
>>x=[60,45,35,20,20,20];
>>FFD（x）
121223
ans=
3
练习题5“超市大赢家”提供了50种商品作为奖品供中奖顾客选择,车的容量为1000dm3,奖品i占用的空间为widm3,价值为vi元,具体的数据如下:
vi={220,208,198,192,180,180,165,162,160,158,155,130,125,122,120,118,115,110,105,101,100,100,98,96,95,90,88,82,80,77,75,73,72,70,69,66,65,63,60,58,56,50,30,20,15,10,8,5,3,1}
wi={80,82,85,70,72,70,66,50,55,25,50,55,40,48,50,32,22,60,30,32,40,38,35,32,25,28,30,22,50,30,45,30,60,50,20,65,20,25,30,10,20,25,15,10,10,10,4,4,2,1}。
问如何装车才能总价值最大。
解答：
clear;
clc;
v=[220,208,198,192,180,180,165,162,160,158,155,130,125,122,120,118,115,110,105,101,100,100,98,96,95,90,88,82,80,77,75,73,72,70,69,66,65,63,60,58,56,50,30,20,15,10,8,5,3,1];
w=[80,82,85,70,72,70,66,50,55,25,50,55,40,48,50,32,22,60,30,32,40,38,35,32,25,28,30,22,50,30,45,30,60,50,20,65,20,25,30,10,20,25,15,10,10,10,4,4,2,1];
totalw=1000;limitw=1000;
n=length（w）;
fori=1:
n
f（1,i）=v（i）/w（i）;
f（2,i）=w（i）;
f（3,i）=i;
end
fori=1:
（n-1）
forj=（i+1）:
n
iff（1,i）t=f（1,i）;
f（1,i）=f（1,j）;
f（1,j）=t;
t=f（2,i）;
f（2,i）=f（2,j）;
f（2,j）=t;
t=f（3,i）;
f（3,i）=f（3,j）;
f（3,j）=t;
end
end
end
totalv=0;a=[];
fori=1:
n
iff（2,i）<=limitw
a=[a,f（3,i）];%disp（f（3,i））;
limitw=limitw-f（2,i）;
totalv=totalv+f（1,i）*f（2,i）;
end
end
a
totalv
totalw=totalw-limitw
结果
a=
Columns1through21
10401725281619353782620131124279234114
Columns22through27
2263014247
totalv=
3103
totalw=
1000
练习题8对最后一个求有向圈的示例用matlab程序实现。
解答：
H=[01000;
00011;
11100;
00101;
01000];
n=size（H,1）;%顶点个数
p=zeros（1,n）;%存储搜索过的顶点
X=zeros（n,n）;%用来设置禁止矩阵，往回返的时候设置此路已被搜索
k=1;
p
（1）=1;%第一个点作为初始点开始搜索
whilep
（1）<=n%每个顶点都作为初始点搜索包含p
（1）的有向圈，
i=p
（1）+1;%当前点k往后搜索时都是从p
（1）+1开始，从而也可以搜索下标小于k的点
whilei<=n%还有后续点没有搜索（这些点有可能比当前点k小）
if（H（p（k）,i）==1）&（X（p（k）,i）==0）&isempty（find（p==i））%满足三个条件
k=k+1;%搜索路径上增加一个点
p（k）=i;%搜索路径向前延伸一个点
else
i=i+1;%当前被搜索点不满足条件，换下一个点
end
end
ifi>n%k点往后的所有点都被搜索
ifH（p（k）,p
（1））==1%有圈，每次搜索的都是包含初始点的圈
disp（p（1:
k））;%输出圈
end
%不管有没有圈，此时k点要往回返
ifk>1%路径上不止出发点
forj=1:
n
X（p（k）,j）=0;%取消以前的限制通行
end
X（p（k-1）,p（k））=1;%增加此路已搜索
p（k）=0;%撤销路径上的k点
k=k-1;%返回上一个点作为当前点
else%返回到出发点了
p
（1）=p
（1）+1;%换下一个出发点（初始点）
end
end
end
运行结果：
1243
245
243
25
3
练习题9选址问题现准备在7个居民点中设置一银行，路线与距离如下图，问设在哪个点，可使最大服务距离最小？
若设两个点呢？
解答：
第一步：
function[D,R]=floyd（A）
%用floyd算法实现求任意两点之间的最短路程。
可以有负权
%参数D为连通图的权矩阵
A=[03infinfinfinfinf
302infinf1.5inf
inf206inf2.54
infinf60infinf3
infinfinfinf01.5inf
inf1.52.5inf1.501.8
infinf43inf1.80
];
D=A;n=length（D）;
fori=1:
n
forj=1:
n
R（i,j）=i;%赋路径初值
end
end
fork=1:
n
fori=1:
n
forj=1:
n
ifD（i,k）+D（k,j）D（i,j）=D（i,k）+D（k,j）;%更新D（i,j），说明通过k的路程更短
R（i,j）=R（k,j）;%更新R（i,j），需要通过k
end
end
end
hl=0;
fori=1:
n
ifD（i,i）<0
hl=1;
break;%跳出内层的for循环
end
end
if（hl==1）
fprintf（'有负回路'）
break;%跳出最外层循环
end
end
D
运行结果：
D=
03.00005.00009.30006.00004.50006.3000
3.000002.00006.30003.00001.50003.3000
5.00002.000006.00004.00002.50004.0000
9.30006.30006.000006.30004.80003.0000
6.00003.00004.00006.300001.50003.3000
4.50001.50002.50004.80001.500001.8000
6.30003.30004.00003.00003.30001.80000
第二步：
对于第一问
在矩阵D中每一个取大得到一列数，再在这列数中取小，
[m,n]=size（D）;
p=[];
fori=1:
m
p（i）=max（D（i,:
））;
end
fori=1:
m
ifp（i）==min（p）
disp（i）;
end
end
min（p）
在顶点6建立银行，最大服务距离最小，最小是4.8.
第三步：
对于第二问
任取两个点做集合，计算每个点到这个集合的最小值，再在这个最小值中取大，即在矩阵D中任取两行，对应比较取小得一向量，将所有这样的向量写成行向量构成一矩阵，然后用问题一的算法程序即可。
a=0;
b=[];
n=size（D,1）;
fori=1:
（n-1）
forj=（i+1）:
n
a=a+1;
fork=1:
n
s{a}=[ij];
b（a,k）=min（D（i,k）,D（j,k））;
end
end
end
m=size（b,1）;
p=[];
fori=1:
m
p（i）=max（b（i,:
））;
end
fori=1:
m
ifp（i）==min（p）
disp（s{i}）;
end
end
min（p）
结果，在顶点2,4或2,7点建立银行都使得最大服务距离最小，最小值是3
练习题10货物调运已知该地区有生产该物资的企业三家，大小物资仓库八个，国家级储备库两个，其分布情况见下面的附件1。
经核算该物资的运输成本为高等级公路2元/公里•百件，普通公路1.2元/公里•百件，假设各企业、物资仓库及国家级储备库之间的物资可以通过公路运输互相调运，请给出各个仓库应该从哪个企业调运。
解答：
首先建立各个交汇点的距离矩阵m。
然后建立函数文件。
%各仓库到各企业的最小运费
functionmin_spend（m）
c=[28,23,35,31,22,36,29,38];%仓库
cc=[27,30];%国家储存库
C=[c,cc];
g=[8,15,11,27,7,10,17,14,28,16,18,25,6,5,39,35,13,40,4,29];%高级公路上的点
n=length（g）;
A=zeros（42）;
fori=1:
42
forj=1:
42
ifm（i,j）~=0
A（i,j）=1.2*m（i,j）;%普通公路上每百件的运费
else
A（i,j）=inf;
end
end
end
fori=1:
n
forj=1:
n
A（g（i）,g（j））=2*A（g（i）,g（j））/1.2;%高级公路上每百件的运费
end
end
fori=1:
42
A（i,i）=0;
end
[D,R]=floyd（A）;
fori=1:
10
forj=1:
3
X（i,j）=D（C（i）,q（j））;
end
end
[XX,INDEX]=min（X'）
在命令窗口输入：
>>min_spend（m）
XX=
69.6000150.0000147.600090.0000156.0000174.0000189.6000111.6000120.0000122.4000
INDEX=
2133132313
XX为从各个仓库到三个企业中的最小费用，INDEX为最小费用的企业。
练习题14最小代价流将上题容量网络的边上增加另一个权数----代价，变为具有代价的容量网络，单位代价为容量数的十位上的数字，求比最大流少30单位的最小代价流。
由上题结果可知，最大流为142，则最小代价流的流量应该为112。
用迭代算法，预定流量值wf0=112。
方法一：
C=[025056610000;
00710036000;
0000000340;
00004907400;
024000725700;
003800005345;
00000380067;
0000000074;
000000000];%弧容量
b=[020560000;
007003000;
000000030;
000040700;
020007500;
003000054;
000003006;
000000007;
000000000];%弧上单位流量的费用
n=9;
wf=0;wf0=112;%wf表示最大流量,wf0表示预定的流量值
for（i=1:
n）for（j=1:
n）f（i,j）=0;end;end%取初始可行流f为零流
while
（1）
for（i=1:
n）for（j=1:
n）if（j~=i）a（i,j）=Inf;end;end;end%构造有向赋权图
for（i=1:
n）for（j=1:
n）if（C（i,j）>0&f（i,j）==0）a（i,j）=b（i,j）;
elseif（C（i,j）>0&f（i,j）==C（i,j））a（j,i）=-b（i,j）;
elseif（C（i,j）>0）a（i,j）=b（i,j）;a（j,i）=-b（i,j）;end;end;end
for（i=2:
n）p（i）=Inf;s（i）=i;end%用Ford算法求最短路,赋初值
for（k=1:
n）pd=1;%求有向赋权图中vs到vt的最短路
for（i=2:
n）for（j=1:
n）if（p（i）>p（j）+a（j,i））p（i）=p（j）+a（j,i）;s（i）=j;pd=0;end;end;end
if（pd）break;end;end%求最短路的Ford算法结束
if（p（n）==Inf）break;end%不存在vs到vt的最短路,算法终止.注意在求最小费用最大流时构造有向赋权图中不会含负权回路,所以不会出现k=n
dvt=Inf;t=n;%进入调整过程,dvt表示调整量
while
（1）%计算调整量
if（a（s（t）,t）>0）dvtt=C（s（t）,t）-f（s（t）,t）;%前向弧调整量
elseif（a（s（t）,t）<0）dvtt=f（t,s（t））;end%后向弧调整量
if（dvt>dvtt）dvt=dvtt;end
if（s（t）==1）break;end%当t的标号为vs时,终止计算调整量
t=s（t）;end%继续调整前一段弧上的流f
pd=0;if（wf+dvt>wf0）dvt=wf0-wf;pd=1;end%如果最大流量大于或等于预定的流量值
t=n;while
（1）%调整过程
if（a（s（t）,t）>0）f（s（t）,t）=f（s（t）,t）+dvt;%前向弧调整
elseif（a（s（t）,t）<0）f（t,s（t））=f（t,s（t））-dvt;end%后向弧调整
if（s（t）==1）break;end%当t的标号为vs时,终止调整过程
t=s（t）;end
if（pd）break;end%如果最大流量达到预定的流量值
wf=0;for（j=1:
n）wf=wf+f（1,j）;end;end%计算最大流量
zwf=0;for（i=1:
n）for（j=1:
n）zwf=zwf+b（i,j）*f（i,j）;end;end%计算最小费用
f%显示最小费用最大流
wf%显示最小费用最大流量
zwf%显示最小费用
运行结果：
>>
f=
025026610000
0000036000
000000000
0000002600
01100094100
0000000045
0000000067
000000000
000000000
wf=
112
zwf=
1708
由程序运行结果可得：
比最大流少30单位的最小代价流为f，最小代价为1708。
方法二
在已知流量上限情况下的Lingo最小费用求解
sets:
nodes/1..9/:
;
arcs（nodes,nodes）:
c,b,f;!
f为流，c为网络容量，b为费用;
endsets
data:
fmax=112;!
流量上界;
c=025056610000
00710036000
0000000340
00004907400
024000725700
003800005345
00000380067
0000000074
000000000;
b=020560000
007003000
000000030
000040700
020007500
003000054
000003006
000000007
000000000;
enddata
min=@sum（arcs:
b*f）;
@for（nodes（i）|i#ne#1#and#i#ne#@size（nodes）:
@sum（arcs（i,j）:
f（i,j））-@sum（arcs（j,i）:
f（j,i））=0）;
@sum（arcs（i,j）|i#eq#1:
f（i,j））=fmax;
@for（arcs:
@bnd（0,f,c））;
练习题20现在有8个城市，已知两个城市之间的路费如下表，现在有一个人从A城市出发旅行，应该选择怎样的路线才能刚好每个城市都到达一次又回到A城市，其总路费最少？
ABCDEFGH
A
B
C
D
E
F
G
56352151604339
215778706449
3668---7060
51616526
134562
5326
50
解答：
方法一
建立规划模型：
先将一般加权连通图转化成一个等价的加权完全图，设当从
到
时，
，否则，
，则得如下模型：
利用lingo求解：
model:
!
TSP问题;
sets:
cities/A,B,C,D,E,F,G,H/:
level;
link（cities,cities）|&1#ne#&2:
w,x;!
W距离矩阵;
endsets
data:
w=56352151604339
56215778706449
3521366810007060
21573
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