图论习题及答案.docx

1、图论习题及答案作业解答练习题2 利用matlab编程FFD算法完成下题：设有6种物品，它们的体积分别为：60、45、35、20、20和20单位体积，箱子的容积为100个单位体积。解答一：function num,s = BinPackingFFD(w,capacity)%一维装箱问题的FFD（降序首次适应）算法求解:先将物体按长度从大到小排序,%然后按FF算法对物体装箱%输入参数w为物品体积，capacity为箱子容量%输出参数num为所用箱子个数，s为元胞数组，表示装箱方案，si为第i个箱子所装%物品体积数组%例w = 60,45,35,20,20,20; capacity = 100;%

2、num=3,s=1,3,2,4,5,6;w = sort(w,descend);n = length(w);s = cell(1,n);bin = capacity * ones(1,n);num = 1;for i = 1:n for j = 1:num + 1 if w(i) =max(V_Left) box_count=box_count+1; x(i,box_count)=1; V_Left=V_Left V-v(i); else j=1; while(v(i)V_Left(j) j=j+1; end x(i,j)=1; V_Left(j)=V_Left(j)-v(i); end te

3、mp=find(x(i,:)=1); fprintf(第%d个物品放在第%d个容器n,i,temp)endoutput:第1个物品放在第1个容器第2个物品放在第2个容器第3个物品放在第1个容器第4个物品放在第2个容器第5个物品放在第2个容器第6个物品放在第3个容器解答三：function box_count=FFD(x)%降序首次适应算法v=100;x=fliplr(sort(x);%v=input(请输入箱子的容积:);n=length(x);I=ones(n);E=zeros(1,n);box=v*I;box_count=0;for i=1:n j=1; while(jbox(j) j=j

4、+1; continue; else box(j)=box(j)-x(i); E(i)=j; break; end end if jbox_count box_count=box_count+1; box(box_count)=box(box_count)-x(i); E(i)=j; endenddisp(E);在命令窗口输入： x=60,45,35,20,20,20; FFD(x) 1 2 1 2 2 3ans = 3练习题5 “超市大赢家”提供了50种商品作为奖品供中奖顾客选择,车的容量为1000dm3 , 奖品i占用的空间为wi dm3 ,价值为vi 元, 具体的数据如下:vi = 22

5、0, 208, 198, 192, 180, 180, 165, 162, 160, 158,155, 130, 125, 122, 120, 118, 115, 110, 105, 101, 100, 100, 98,96, 95, 90, 88, 82, 80, 77, 75, 73, 72, 70, 69, 66, 65, 63, 60, 58,56, 50, 30, 20, 15, 10, 8, 5, 3, 1wi = 80, 82, 85, 70, 72, 70, 66, 50, 55, 25, 50, 55, 40, 48,50, 32, 22, 60, 30, 32, 40, 3

6、8, 35, 32, 25, 28, 30, 22, 50, 30, 45,30, 60, 50, 20, 65, 20, 25, 30, 10, 20, 25, 15, 10, 10, 10, 4, 4, 2,1。问如何装车才能总价值最大。解答：clear;clc;v=220, 208, 198, 192, 180, 180, 165, 162, 160, 158,155, 130, 125, 122, 120, 118, 115, 110, 105, 101, 100, 100, 98,96, 95, 90, 88, 82, 80, 77, 75, 73, 72, 70, 69, 66,

7、65, 63, 60, 58,56, 50, 30, 20, 15, 10, 8, 5, 3, 1; w=80, 82, 85, 70, 72, 70, 66, 50, 55, 25, 50, 55, 40, 48,50, 32, 22, 60, 30, 32, 40, 38, 35, 32, 25, 28, 30, 22, 50, 30, 45,30, 60, 50, 20, 65, 20, 25, 30, 10, 20, 25, 15, 10, 10, 10, 4, 4, 2,1;totalw=1000;limitw=1000;n=length(w);for i=1:n f(1,i)=v(

8、i)/w(i); f(2,i)=w(i); f(3,i)=i;endfor i=1:(n-1) for j=(i+1):n if f(1,i)f(1,j) t=f(1,i); f(1,i)=f(1,j); f(1,j)=t; t=f(2,i); f(2,i)=f(2,j); f(2,j)=t; t=f(3,i); f(3,i)=f(3,j); f(3,j)=t; end endendtotalv=0;a=;for i=1:n if f(2,i)=limitw a=a,f(3,i); %disp(f(3,i); limitw=limitw-f(2,i); totalv=totalv+f(1,i)

9、*f(2,i); endendatotalvtotalw=totalw-limitw结果a = Columns 1 through 21 10 40 17 25 28 16 19 35 37 8 26 20 13 11 24 27 9 23 41 1 4 Columns 22 through 27 22 6 30 14 2 47totalv = 3103totalw = 1000练习题8 对最后一个求有向圈的示例用matlab程序实现。解答：H= 0 1 0 0 0; 0 0 0 1 1; 1 1 1 0 0; 0 0 1 0 1; 0 1 0 0 0;n=size(H,1);%顶点个数p=z

10、eros(1,n);%存储搜索过的顶点X=zeros(n,n);%用来设置禁止矩阵，往回返的时候设置此路已被搜索k=1;p(1)=1;%第一个点作为初始点开始搜索while p(1)=n %每个顶点都作为初始点搜索包含p(1)的有向圈， i=p(1)+1;%当前点k往后搜索时都是从p(1)+1开始，从而也可以搜索下标小于k的点while in %k点往后的所有点都被搜索 if H(p(k),p(1)=1%有圈，每次搜索的都是包含初始点的圈 disp(p(1:k);%输出圈 end %不管有没有圈，此时k点要往回返 if k1%路径上不止出发点 for j=1:n X(p(k),j)=0;%取消

11、以前的限制通行 end X(p(k-1),p(k)=1;%增加此路已搜索 p(k)=0;%撤销路径上的k点 k=k-1;%返回上一个点作为当前点 else %返回到出发点了 p(1)=p(1)+1; %换下一个出发点（初始点） end endend运行结果：1 2 4 3 2 4 5 2 4 3 2 5 3练习题9 选址问题 现准备在7个居民点中设置一银行，路线与距离如下图，问设在哪个点，可使最大服务距离最小？若设两个点呢？解答：第一步：function D,R=floyd(A)%用floyd算法实现求任意两点之间的最短路程。可以有负权%参数D为连通图的权矩阵 A=0 3 inf inf in

12、f inf inf 3 0 2 inf inf 1.5 inf inf 2 0 6 inf 2.5 4 inf inf 6 0 inf inf 3 inf inf inf inf 0 1.5 inf inf 1.5 2.5 inf 1.5 0 1.8 inf inf 4 3 inf 1.8 0 ;D=A;n=length(D);for i=1:n for j=1:n R(i,j)=i;%赋路径初值 endendfor k=1:n for i=1:n for j=1:n if D(i,k)+D(k,j)D(i,j) D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);%更新 D(i,j)，说明通过k的路程

13、更短 R(i,j)=R(k,j);%更新R(i,j)，需要通过k end end end hl=0; for i=1:n if D(i,i) min_spend(m)XX =69.6000 150.0000 147.6000 90.0000 156.0000 174.0000 189.6000 111.6000 120.0000 122.4000INDEX = 2 1 3 3 1 3 2 3 1 3XX为从各个仓库到三个企业中的最小费用，INDEX为最小费用的企业。练习题14 最小代价流 将上题容量网络的边上增加另一个权数-代价，变为具有代价的容量网络，单位代价为容量数的十位上的数字，求比最大

14、流少30单位的最小代价流。由上题结果可知，最大流为142，则最小代价流的流量应该为112。用迭代算法，预定流量值wf0=112。方法一：C=0 25 0 56 61 0 0 0 0; 0 0 71 0 0 36 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 34 0; 0 0 0 0 49 0 74 0 0; 0 24 0 0 0 72 57 0 0; 0 0 38 0 0 0 0 53 45; 0 0 0 0 0 38 0 0 67; 0 0 0 0 0 0 0 0 74; 0 0 0 0 0 0 0 0 0;%弧容量b=0 2 0 5 6 0 0 0 0; 0 0 7 0 0 3 0 0 0;

15、 0 0 0 0 0 0 0 3 0; 0 0 0 0 4 0 7 0 0; 0 2 0 0 0 7 5 0 0; 0 0 3 0 0 0 0 5 4; 0 0 0 0 0 3 0 0 6; 0 0 0 0 0 0 0 0 7; 0 0 0 0 0 0 0 0 0; %弧上单位流量的费用n=9;wf=0;wf0=112; %wf表示最大流量, wf0表示预定的流量值for(i=1:n) for(j=1:n) f(i,j)=0;end;end %取初始可行流f为零流while(1) for(i=1:n)for(j=1:n)if(j=i)a(i,j)=Inf;end;end;end%构造有向赋权图

16、 for(i=1:n)for(j=1:n)if(C(i,j)0&f(i,j)=0)a(i,j)=b(i,j); elseif(C(i,j)0&f(i,j)=C(i,j)a(j,i)=-b(i,j); elseif(C(i,j)0)a(i,j)=b(i,j);a(j,i)=-b(i,j);end;end;end for(i=2:n)p(i)=Inf;s(i)=i;end %用Ford算法求最短路, 赋初值 for(k=1:n)pd=1; %求有向赋权图中vs到vt的最短路 for(i=2:n)for(j=1:n)if(p(i)p(j)+a(j,i)p(i)=p(j)+a(j,i);s(i)=j;

17、pd=0;end;end;end if(pd)break;end;end %求最短路的Ford算法结束 if(p(n)=Inf)break;end %不存在vs到vt的最短路, 算法终止. 注意在求最小费用最大流时构造有向赋权图中不会含负权回路, 所以不会出现k=n dvt=Inf;t=n; %进入调整过程, dvt表示调整量 while(1) %计算调整量 if(a(s(t),t)0)dvtt=C(s(t),t)-f(s(t),t); %前向弧调整量 elseif(a(s(t),t)dvtt)dvt=dvtt;end if(s(t)=1)break;end %当t的标号为vs时, 终止计算调

18、整量 t=s(t);end %继续调整前一段弧上的流f pd=0;if(wf+dvtwf0) dvt=wf0-wf;pd=1;end %如果最大流量大于或等于预定的流量值 t=n;while(1) %调整过程 if(a(s(t),t)0)f(s(t),t)=f(s(t),t)+dvt; %前向弧调整 elseif(a(s(t),t) f = 0 25 0 26 61 0 0 0 0 0 0 0 0 0 36 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 26 0 0 0 11 0 0 0 9 41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 45 0 0 0 0 0 0

19、0 0 67 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0wf = 112zwf = 1708由程序运行结果可得：比最大流少30单位的最小代价流为f，最小代价为1708。方法二在已知流量上限情况下的Lingo最小费用求解sets: nodes/1.9/:; arcs(nodes, nodes): c,b,f; !f为流，c为网络容量，b为费用;endsetsdata:fmax = 112; !流量上界; c=0 25 0 56 61 0 0 0 0 0 0 71 0 0 36 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 34 0 0 0 0 0 49 0 74 0 0 0

20、 24 0 0 0 72 57 0 0 0 0 38 0 0 0 0 53 45 0 0 0 0 0 38 0 0 67 0 0 0 0 0 0 0 0 74 0 0 0 0 0 0 0 0 0;b= 0 2 0 5 6 0 0 0 0 0 0 7 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 4 0 7 0 0 0 2 0 0 0 7 5 0 0 0 0 3 0 0 0 0 5 4 0 0 0 0 0 3 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0;enddatamin=sum(arcs:b*f);for(nodes(i)

21、 | i #ne# 1 #and# i #ne# size(nodes): sum(arcs(i,j):f(i,j) - sum(arcs(j,i):f(j,i)=0);sum(arcs(i,j)|i #eq# 1 : f(i,j)=fmax;for(arcs:bnd(0,f,c);练习题20 现在有8个城市，已知两个城市之间的路费如下表，现在有一个人从A城市出发旅行，应该选择怎样的路线才能刚好每个城市都到达一次又回到A城市，其总路费最少？A B C D E F G HABCDEFG 56 35 21 51 60 43 39 21 57 78 70 64 49 36 68 - 70 60 51 61 65 26 13 45 62 53 26 50解答：方法一建立规划模型：先将一般加权连通图转化成一个等价的加权完全图，设当从到时，否则，则得如下模型：利用lingo求解：model:!TSP问题;sets: cities/A,B,C,D,E,F,G,H/:level; link(cities, cities)|&1#ne#&2: w, x;!W距离矩阵;endsetsdata: w= 56 35 21 51 60 43 39 56 21 57 78 70 64 49 35 21 36 68 1000 70 60 21 57 3