秋季新版冀教版九年级数学上学期第27章反比例函数单元复习教学案.docx
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秋季新版冀教版九年级数学上学期第27章反比例函数单元复习教学案
第二十七章 反比例函数
1.结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的表达式,理解并掌握反比例函数的概念.
2.能用待定系数法求反比例函数的解析式.
3.会用描点法画反比例函数的图像,根据图像和表达式探索并理解其性质.
4.掌握反比例函数的图像和性质,能运用相关性质解决有关问题.
5.理解反比例函数中比例系数k的几何意义.
6.能根据实际问题确定变量之间的反比例关系,并确定反比例函数解析式,能灵活运用反比例函数的意义和性质解决相关的实际问题.
1.经历从实际问题情境中探索两个变量之间关系的过程,使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,发展学生的观察能力、探究能力及归纳总结能力.
2.通过函数图像探究函数性质,进一步体会数形结合思想在数学中的应用,经历知识的形成过程,体会由特殊到一般的数学方法.
3.通过探究反比例函数解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高分析问题、解决问题的能力,培养数学应用意识.
4.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.
1.通过探索实际问题中两个变量之间的反比例关系,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生运用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.
2.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.
3.通过用反比例函数表示两个变量间的关系,并解决某些实际问题,体会数学模型思想、数形结合思想在实际问题中的应用,感受数学的价值,增强学好数学的信心.
函数知识是初中代数的核心内容,反比例函数也是新课标明确要求的初中学生必需体会和掌握的三种函数基本形式之一.对函数的认识需要经历由浅入深、螺旋上升的过程,本章内容是在学生已经学习了函数及其图像的初步知识,以及系统地研究了一次函数的概念、图像、性质、简单应用等基础上,类比研究一次函数的方法,较系统地研究反比例函数的模型、图像、性质及应用.通过本章的学习,丰富函数模型的认识,进一步体会数形结合思想,提高用函数的观点解决实际问题的能力,为研究二次函数积累更多的经验.
本章内容从实际问题情境入手引出基本概念,引导学生进一步体会函数的模型思想,重点内容是反比例函数的图像和性质的理解和掌握,通过画特殊的反比例函数的图像,归纳出一般反比例函数的图像特征和性质,体会由特殊到一般的数学学习方法,提高学生观察、分析、归纳总结的能力.加强反比例函数与实际问题的联系,让学生体会数学与生活息息相关,提高学生的数学应用意识.数形结合思想贯穿本章内容,从图像上直观观察函数的变化规律,整体把握函数的性质,而解析式是对函数性质的无限“解读”,但抽象不直观,所以将两者结合起来,共同研究函数的性质.
本章重点是反比例函数的概念、图像、性质及应用,难点是反比例函数图像的生成过程.根据学生的特点,依照前边学过的函数为基础,用类比的方法探究本章内容,重视反比例函数与一次函数的联系、差异和综合运用.反比例函数作为重要的数学模型,在解决日常生活实际问题中发挥了重要作用,通过学习可以培养和提高学生用函数模型解决实际问题,逐步提高分析问题、解决问题及应用数学的能力.
【重点】
1.通过对实际问题情境的分析,确定反比例函数的解析式.
2.会用描点法画反比例函数的图像,并能从图像中认识反比例函数的性质.
3.能用反比例函数的性质解决简单的实际问题.
【难点】
1.能根据反比例函数图像特征及其性质解决有关问题.
2.应用反比例函数解决实际问题,能解决与其他函数结合的问题.
1.数学教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程,所以根据本章内容和呈现的特点,设计恰当的数学活动进行教学,给学生提供不同的实际背景,在理解情境的基础上,分析其中的数量关系,通过分析、归纳,抽象出数学关系,建立反比例函数模型,让学生充分经历建立反比例函数模型的过程,提高学生分析问题、解决问题及抽象概括的能力.
2.反比例函数是初中阶段学习的一类重要函数,在初中教材中起着承上启下的作用,所以在教学中要处理好新旧知识之间的联系,通过复习函数及一次函数的有关内容,为本章的学习做好铺垫,类比一次函数的探究思路,通过表格中函数的变化规律,画出反比例函数图像,再通过观察图像归纳和概括反比例函数的性质,让学生体会数形结合思想在数学中的应用,既加深学生对反比例函数的理解,又克服集中探索的困难.
3.注重反比例函数的应用,增强学生的应用意识,对教材中涉及的一些实际问题和跨学科问题,利用问题中量与量之间的等量关系来解决,不应看做是单纯的公式变形,应将实际问题中的两个量视为变量,建立反比例函数模型,借助反比例函数的性质来解决问题,增强数学的应用意识.
4.渗透数学重要思想与方法成为本章的主要线索,类比思想、从特殊到一般、数形结合思想、方程思想及待定系数法等数学思想和方法,贯穿整章的教学,教学过程中每课时都要注重数学思想的培养.
27.1反比例函数
1课时
27.2反比例函数的图像和性质
2课时
27.3反比例函数的应用
1课时
回顾与反思
1课时
27.1 反比例函数
1.结合具体问题情境体会反比例函数的意义.
2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数.
3.能根据已知条件或实际问题中的条件确定反比例函数的解析式.
1.让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的反比例函数关系的过程.
2.用类比的思想方法,从实际问题中抽象出反比例函数的模型,发展学生的观察能力、探究能力及交流总结能力.
3.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.
1.通过对一些实际问题的探究,发展学生合理的猜想、推理能力,增强他们学习数学的兴趣.
2.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识.
【重点】
1.理解并掌握反比例函数的定义,掌握反比例函数的一般形式.
2.能根据已知条件确定反比例函数的解析式.
【难点】 经历探索和表示反比例函数关系的过程,体验用反比例函数表示变量之间的关系.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P128~129.
导入一:
【课件展示】 如图所示,当电路中的电压一定时.
（1）怎样用电阻R表示电流I?
（2）电流I是怎样随电阻R的变化而变化的?
（电流I随着R的增大而减小）
（3）变量I是R的函数吗?
为什么?
（是,电流I随着R的变化而变化,给一个R的值,都有一个I和它对应）
[设计意图] 由与生活息息相关的跨学科知识和已有的知识出发,将学生引导到一个新的函数模型的研究中,让学生感受到生活中处处有数学,激发学生对学习数学的兴趣和愿望,同时也为抽象出反比例函数的概念做铺垫.
导入二:
【课件展示】 同一条铁路线上,由于不同车次列车运行时间有长有短,所以他们的平均速度有快有慢.
在速度v,时间t与路程s之间满足:
（1）如果速度v一定时,那么路程s与时间t之间是什么函数关系?
（s=vt,是正比例函数关系）
（2）如果时间t一定时,那么路程s与速度v之间又是什么函数关系?
（s=vt,是正比例函数关系）
（3）如果路程s一定时,那么速度v和时间t之间的等量关系是什么?
是函数关系吗?
【思考】 这个函数是不是我们前边学过的函数?
[导入语] 问题
（1）
（2）中的函数是我们学过的一次函数,（3）中的函数不是前边学过的函数,这类函数就是本章要研究的反比例函数.
[设计意图] 通过生活中的问题情景,引导学生发现不同于以往学过的新的函数关系,唤起学生对本课时的学习欲望,使学生带着问题进入本节课的学习.
导入三:
复习提问:
（1）什么是函数?
什么是一次函数?
（2）学习一次函数的基本思路是什么?
【课件展示】 以往研究函数的基本思路:
[导入语] 函数是初中数学中重要的数学模型,我们学习一次函数时,在理解定义的基础上,研究它的图像和性质,并用之解决实际问题,本章将用类似的方法研究一种新的函数——反比例函数.
[设计意图] 通过回忆一次函数的概念及研究思路,引导学生用类比的方法学习本章的反比例函数,在学习中学生易从已有的知识体系中自然地构建出新知识,为学习本章内容做好铺垫.
[过渡语] 若将成正比例的两个量视为变量,则这两个量之间具有正比例函数关系.那么,当将两个成反比例的量视为变量时,它们之间又具有怎样的函数关系呢?
这就是本节课要学习的内容.
一、反比例函数的概念
思路一
【课件展示】
1.要制作容积为15700cm3的圆柱形水桶,水桶的底面积为Scm2,高为hcm,则Sh= ,用h表示S的函数表达式为 .
2.自行车运动员在长为10000m的路段上进行骑车训练,行驶全程所用时间为ts,行驶的平均速度为vm/s,则vt= ,用t表示v的函数表达式为 .
3.y与x的乘积为-2,用x表示y的函数表达式为 .
【学生活动】 独立完成填空,小组内交流答案.
1.15700 S=
2.10000 v=
3.y=
教师引导学生思考:
（1）每个事例中的两个变量是什么?
（2）当一个量变化时,另一个量随着怎样变化?
（3）上述三对量之间每对量都成反比例吗?
（4）请再举出几个具有这种特征的例子.
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,确定三个问题中的每对量都成反比例,并归纳函数表达式的共同特征,教师对学生的回答进行点评归纳.
[设计意图] 通过问题的形式,引导学生发现这些变量之间的关系都成反比例,并且这种函数的解析式不同于以往的一次函数,为进一步研究反比例函数做知识准备,同时调动学生学习的欲望,实现了让学生感知反比例函数的目的.
[过渡语] 刚才同学们总结的函数关系式,不是我们学过的函数类型,接下来让我们一起研究这类函数的特征吧!
观察前面的三个函数关系式,思考:
（1）这三个函数是一次函数吗?
（2）这些函数表达式具有怎样的共同特征?
（3）通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?
（4）你能给这类函数下一个定义吗?
【师生活动】 学生思考后,逐一回答所提问题,教师适时启发,共同归纳结论.
教师引导学生从两个方面思考:
一是与一次函数的解析式对比;二是看给出的三个函数关系式是整式还是分式.
总结:
【课件展示】 一般地,如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成y=（k为常数,且k≠0）的形式,那么称y为x的反比例函数,k称为比例系数.
在反比例函数y=中,自变量x的取值范围是不等于0的实数.
【思考】
（1）在反比例函数y=中,k,x,y可以取任意实数吗?
（2）反比例函数y=中,自变量x的指数是1吗?
为什么?
（3）反比例函数除了这种分式的形式外,还有其他表示方法吗?
【师生活动】 学生独立思考后,小组交流,学生回答时教师及时点评和引导,师生共同归纳反比例函数概念的有关特点:
（1）反比例函数中,比例系数k≠0,自变量x≠0,函数值y≠0.
（2）反比例函数y=右边是分式形式,x的指数是-1.
（3）反比例函数的三种表示形式:
y=,xy=k,y=kx-1.
[设计意图] 通过学生观察思考、小组交流讨论,依据老师设计的问题,类比已学的一次函数,归纳出反比例函数的特征,让学生经历概念的形成过程,达到真正理解反比例函数定义的目的,同时培养学生归纳总结的能力.
思路二
【课件展示】
出示下列几个问题:
1.要制作容积为15700cm3的圆柱形水桶,水桶的底面积为Scm2,高为hcm,则Sh= ,用h表示S的函数表达式为 .
2.自行车运动员在长为10000m的路段上进行骑车训练,行驶全程所用时间为ts,行驶的平均速度为vm/s,则vt= ,用t表示v的函数表达式为 .
3.y与x的乘积为-2,用x表示y的函数表达式为 .
4.已知北京市的总面积为1.68×104km2,人均占有面积S（单位:
km2/人）与全市总人口n（单位:
人）的函数表达式为 .
【学生活动】 独立完成后,小组内交流答案,教师对学生答案进行点评.
1.15700 S=
2.10000 v=
3.y=
4.S=
教师引导学生思考:
（1）每个事例中的中两个变量是什么?
（2）当一个量变化时,另一个量随着怎样变化?
（3）上述几对量之间每对量都成反比例吗?
（4）你能不能再举出几个具有这种特征的例子?
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,确定几个问题中的每对量都成反比例,并归纳函数表达式的共同特征,教师对学生的回答进行点评归纳.
[设计意图] 问题情境既有教材“做一做”栏目的问题,又有新增设的问题,这些事例要求学生从实际问题中找到两个变量之间的函数表达式,为形成反比例函数的概念、辨析反比例函数做好准备.
[过渡语] 刚才同学们列出了相关的4个函数表达式,接下来我们开始研究这些函数表达式的特征吧!
1.反比例函数的一般形式.
【课件展示】
思考下列问题:
（1）这四个函数都是一次函数吗?
（2）这些函数表达式具有怎样的共同特征?
（3）通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?
（4）你能给这类函数下一个定义吗?
问题提示:
通常情况下,我们用y表示函数,用k表示常量,用x表示自变量.对于这四个特殊的函数,学生可以初步总结为y=.
总结:
【课件展示】 一般地,如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成y=（k为常数,且k≠0）的形式,那么称y为x的反比例函数,k称为比例系数.
2.理解反比例函数的概念.
问题1
反比例函数的一般式y=的右边是什么式子?
（提示:
分式,其他的函数都是单项式或多项式）
问题2
反比例函数y=的比例系数k、自变量x取值有什么要求?
（提示:
都是不能为0的实数）
问题3
反比例函数解析式还可以写成其他形式吗?
（提示:
两个变量的乘积为定值;自变量x的指数为-1）
【师生活动】 学生独立思考后小组合作交流,教师对学生的回答作出点评和归纳.
[设计意图] 通过回答教师提出的问题,让学生理解反比例函数的意义,能用数学语言表达反比例函数的表达式,并能理解自变量的取值范围,掌握判断反比例函数的方法.通过学生的观察、思考、合作、交流,反比例函数概念的模型建立也就会水到渠成.
二、例题讲解
[过渡语] 我们通过实例归纳总结了反比例函数的概念,试试能不能解决下列问题.
【课件展示】
下列函数:
①y=;②y=;③y=;④y=;⑤xy=2;⑥y=.其中是反比例函数的是 （填序号）,它们的比例系数k分别是 .
〔解析〕 按照反比例函数的概念判断,易得①②④⑤是反比例函数,其中k分别为5,0.4,,2.
〔答案〕 ①②④⑤ 5,0.4,,2
若y=（a-2）x|a|-3是反比例函数,则a的值为 .
【师生活动】 学生独立思考后,小组交流答案,教师对学生的答案进行点评,并强调易错点.
〔解析〕 根据反比例函数概念可得,反比例函数满足两个条件:
①常数k≠0;②自变量x的指数为-1.由题意可得|a|-3=-1,且a-2≠0,解得a=-2.故填-2.
[设计意图] 通过练习让学生进一步理解和掌握反比例函数的一般形式及特点,特别是忽略k≠0这一易错点.
（教材129页例1）写出下列问题中y与x之间的函数关系式,指出其中的正比例函数和反比例函数,并写出它们的比例系数k.
（1）y与x互为相反数.
（2）y与x互为负倒数.
（3）y与2x的积等于a（a为常数,且a≠0）.
【师生活动】 学生独立完成后小组内交流答案,教师点评学生的答案,并强调易错点.
解:
（1）因为y+x=0,即y=-x,
所以y是x的正比例函数,比例系数k=-1.
（2）因为xy=-1,即y=,
所以y是x的反比例函数,比例系数k=-1.
（3）因为2xy=a,即y=,
所以y是x的反比例函数,比例系数k=a.
[设计意图] 通过书写函数关系式,并认识比例系数k,对正比例函数和反比例函数本质属性进行比较,加深对反比例函数的理解.
（教材129页例2）已知y是x的反比例函数,当x=4时,y=6.
（1）写出这个反比例函数的表达式.
（2）当x=-2时,求y的值.
〔解析〕 类比一次函数求解析式的方法——待定系数法,设出函数解析式,将一对x,y的值代入,求出待定系数k.
【师生活动】 师生共同复习待定系数法求函数解析式,然后学生独立完成,并板书过程,学生之间互相纠正错误答案,教师点评,并归纳待定系数法求函数解析式的一般步骤.
解:
（1）设y=.
把x=4,y=6代入y=,得k=24.
所以这个反比例函数的表达式为y=.
（2）当x=-2时,y==-12.
[设计意图] 通过复习待定系数法,用待定系数法求反比例函数关系式,并让学生体会在反比例函数关系式中,代入一对x,y的值即可求出函数关系式.同时让学生体会建模思想在数学中的应用.
[知识拓展]
1.反比例函数y=（k为常数,且k≠0）的左边是函数,右边为自变量x的分式,也就是说,分母不能是多项式,只能是x的一次单项式,如y=,y=等都是反比例函数,但y=中,y就不是x的反比例函数.
2.反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此可以写成xy=k（k≠0）,y=kx-1（k≠0）的形式.
1.反比例函数的概念:
一般地,如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成y=（k为常数,且k≠0）的形式,那么称y为x的反比例函数,k称为比例系数.
2.反比例函数满足的条件:
（1）自变量的指数是-1;
（2）比例系数不为0.
3.反比例函数的三种表示形式:
y=;xy=k;y=kx-1.
4.反比例函数自变量的取值范围:
x≠0.
1.下列函数中是反比例函数的是（ ）
A.y=2x+1B.y=
C.y=D.2y=x
解析:
A中函数是一次函数,不是反比例函数;B中函数自变量x的指数不是-1,不是反比例函数;C中函数符合反比例函数的定义;D中函数是正比例函数,不是反比例函数.故选C.
2.反比例函数y=-中,k的值是（ ）
A.2B.-2
C.-D.-
解析:
根据反比例函数定义可得,比例系数k为-.故选C.
3.若函数y=（m-1）为反比例函数,则m的值是 ,此函数的表达式为 .
解析:
根据反比例函数定义可得,m2-2=-1,且m-1≠0,解得m=-1,此时函数表达式为y=-.
答案:
-1 y=-
4.长方体的体积为103m3,底面积为Sm2,高度为dm,用d表示S的函数关系式为 ;当S=500m2时,d= m.
解析:
因为体积V=Sd,所以S=,把S=500代入函数解析式,得d=2.
答案:
S= 2
5.已知y与3x成反比例,且当x=1时,y=.
（1）写出y与x的函数表达式;
（2）当x=时,求y的值;
（3）当y=时,求x的值.
解:
（1）设y与x的函数表达式为y=,
把x=1,y=代入,得,所以k=2,
所以y与x的函数表达式为y=.
（2）当x=时,y=2.
（3）当y=时,,解得x=.
27.1 反比例函数
一、反比例函数的概念
二、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第130页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第130页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列关系中,两个量之间为反比例函数关系的是（ ）
A.正方形的面积S与边长a的关系
B.正方形的周长L与边长a的关系
C.长方形的长为a,宽为20,其面积S与a的关系
D.长方形的面积为40,长为a,宽为b,a与b的关系
2.下列函数中,不是反比例函数的是（ ）
A.y=-B.y=
C.y=D.3xy=2
3.下列反比例函数中,当x=2时,y的值为-3的是（ ）
A.y=B.y=-
C.y=-D.y=-
4.若y=（a+1）是反比例函数,则a的值为（ ）
A.1B.-1
C.±1D.任意实数
5.已知y是x的反比例函数,并且当x=-3时,y=-2,则y与x的函数关系式为 .
6.已知反比例函数y=中,k=-12,则当x=2时,y= ;当y=-4时,x= .
7.若梯形的下底长为x,上底长为下底长的,高为y,面积为60,则y与x的函数表达式是 .（不考虑x的取值范围）
8.已知y与x的函数解析式为y=.
（1）请完成下表:
x
-3
-1
1
3
y
（2）求当x=-10时函数y的值;
（3）求当y=6时自变量x的值.
【能力提升】
9.将x=代入反比例函数y=-中,所得函数值记为y1,又将x=y1+1代入原反比例函数中,所得函数值记为y2,再将x=y2+1代入原反比例函数中,所得函数值记为y3,…,如此继续下去,则y2014= .
10.已知一个长方体的体积是100cm3,它的长是ycm,宽是5cm,高是xcm.
（1）写出用高表示长的解析式;
（2）当x=3时,求y的值.
【拓展探究】
11.已知y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x成反比例,且当x=1时,y=4;当x=2时,y=5.
（1）求y与x之间的函数关系式;
（2）当x=4时,求y的值.
【答案与解析】
1.D（解析:
正方形的面积S与边长a的关系为S=a2,不是反比例函数关系;正方形的周长L与边长a的关系为L=4a,不是反比例函数关系;长方形的长为a,宽为20,其面积S与a的关系为S=20a,不是反比例函数关系;长方形的面积为40,长为a,宽为b,a与b的关系为a=,是反比例函数关系.故选D.）
2.C（解析:
A,B,D符合反比例函数的定义,C函数中的分母不是单项式,所以不是反比例函数.故选C.）
3.B（解析:
把x=2分别代入各选项求出y的值,只有B中y的值为-3.故选B.）
4.A（解析:
根据反比例函数的定义,得a2-2=-1,且a+1≠0,解得a=1.故选A.）
5.y=（解析:
设y与x之间的关系式为y=,把x=-3,y=-2代入,得k=6,所以y与x之间的关系式为y=.故填y=.）
6.-6 3（解析:
把x=2代入y=-,得y=-6;把y=-4代入y=-,得-4=-,解得x=3.）
7.y=（解析:
根据梯形的面积公式可得,y=60,化简得y=.故填y=.）
8.解:
（1）-1 -3 3 1
（2）当x=-10时,y=-. （3）当y=6时,6=,解得x=.
9.-（解析:
把x=代入,得y1=-,则x2=-+1=-,所以y2=2,则x3=2+1=3,所以y3=-,则x4=-+1=,所以y4=-,…,观察y1=y4,所以三组循环出现,2014除以3余数为1,所以y2014=y1=-.）
10.解:
（1）y=.
（2）当x=3时,y=.
11.解:
（1）设y1=k1x,y2=,则y=y1+y2=k1x+.把x=1,y=4;x=2,y=5代入,得解得所以y=2x+.
（2）当x=4时,y=2×4+.
本节课精心设计教学导入环节,通过跨学科实际问题和生活实际问题导入新课,激发学生学习本节课的兴趣,通过回顾由成正比例的量抽象出正比例函数
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