高中数学函数知识点总结全.docx
《高中数学函数知识点总结全.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学函数知识点总结全.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高中数学函数知识点总结全
高中数学函数知识点总结
1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的确定性、互异性、无序性
2进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
女口：
集合Ax|x22x30，Bx|ax1
若BA，则实数a的值构成的集合为
3.注意下列性质：
（1）集合a1,a2,,an的所有子集的个数是2n;
。
同样，对于元素a2,a3,
要知道它的来历：
若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择（在或者不在）
an,都有2种选择，所以，总共有2n种选择，即集合A有2n个子集。
非空真子集个数为2n
（2）若ABA
（3）德摩根定律：
CuABCuA
CuB，CuA
BCuACuB
有些版本可能是这种写法
，遇到后要能够看懂
4.你会用补集思想解决问题吗？
（排除法、间接法）
女口：
已知关于x的不等式粵』0的解集为M，若3M且5M，求实数a
xa
的取值范围。
7.对映射的概念了解吗？
映射f:
AtB,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。
）
nm个。
A到B的函
注意映射个数的求法。
如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数有女口：
若A{1,2,3,4}，B{a,b,c};问：
A到B的映射有个，B到A的映射有个；
数有个，若A{1,2,3}，则A到B的一一映射有个。
函数y（x）的图象与直线xa交点的个数为个。
8.函数的三要素是什么？
如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：
①表达式相同；②定义域一致（两点必须同时具备）
9.求函数的定义域有哪些常见类型？
例：
函数yV罕的定义域是
lgx3
函数定义域求法
分式中的分母不为零偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
10.如何求复合函数的定义域？
如：
函数f（x）的定义域是a,b,ba0,则函数F（x）f（x）f（x）的定
义域是
11、函数值域的求法
1直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到
1
例求函数y=的值域
x
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
2
例、求函数y=x-2x+5，x[-1，2]的值域。
3、判别式法
a.y
b.y
K
二型：
直接用不等式性质
k+x2
bx
x
型,先化简，再用均值不等式
mxn
例:
x
1+x2
11
丄12
x+
x
c..y
d.y
2
x
x2mxnx2mxn
型
mx
n型通常用判别式
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简不必拘泥在判别式上面
xn
法一：
用判别式
法二：
用换元法，把分母替换掉
例：
y
x2x1
x1
（x+1）2（x+1）+1
x1
（x+1）
1211
x1
5、函数有界性法
，最常用的就是
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
我们所说的单调性
三角函数的单调性。
6、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。
换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发
挥作用。
例求函数y=x+x1的值域。
8数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这
类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
求函数y=（x+（X8）2的值域。
倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
例求函数y=—仝2的值域
x3
12.求一个函数的解析式时，注明函数的定义域了吗？
，不要犯我当年的错
切记：
做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商
误，与到手的满分失之交臂
女口：
fv'x1exx，求f（x）.
15.如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
判断函数单调性的方法有三种：
（1）定义法：
根据定义，设任意得X1,X2,找出f（Xl）,f（X2）之间的大小关系
f（X|）f（x2）f（x-i）
可以变形为求1-的正负号或者-与1的关系
X1X2f（x2）
（2）参照图象：
1若函数f（X）的图象关于点（a，b）对称，函数f（X）在关于点（a，0）的对称区间具有相同的单调性；（特例：
奇函数）
2若函数f（X）的图象关于直线x=a对称，贝V函数f（X）在关于点（a,0）的对称区间里具有相反的单调性。
（特例：
偶函数）
⑶利用单调函数的性质：
1函数f（x）与f（x）+c（c是常数）是同向变化的
2函数f（x）与cf（x）（c是常数）,当C>0时，它们是同向变化的；当CV0时，它们是反向变化的。
3如果函数f1（x）,f2（x）同向变化，贝恼数f1（x）+f2（x）和它们同向变化；（函数相加）
4如果正值函数f1（x）,f2（x）同向变化，贝V函数f1（x）f2（x）和它们同向变化；如果负值函数f1
（2）与f2（x）同向变化，则函数f1（x）f2（x）和它们反向变化；（函数相乘）
5函数f（x）与在f（x）的同号区间里反向变化。
6若函数U=0（x）,X[a,3与函数y=F（U）,u€[0（a,0（B）]或u€[0（a）]同向变化，则在[a,3上复合函数
y=F[0（X）]是递增的；若函数U=0（x）,x[a,3与函数y=F（U）,U€[0（a）,0（3）]或u€[0（®,0（a）]反向变化，则在[a,3上复合函数y=F[0（x）]是递减的。
（同增异减）
7若函数y=f（x）是严格单调的，则其反函数x=广1（y）也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。
f（g）
g（x）
f[g（x）]
f（x）+g（x）
f（x）*g（x）
都是正
数
增
增
增
增
增
增
减
减
/
/
减
增
减
/
/
减
减
增
减
减
17.函数f（x）具有奇偶性的条件是什么？
（f（x）定义域关于原点对称）
若f（x）f（x）总成立f（x）为奇函数函数图象关于原点对称
若f（x）f（x）总成立f（x）为偶函数函数图象关于y轴对称
注意如下结论：
（1）在公共定义域内：
两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积
是奇函数。
（2）若f（x）是奇函数且定义域中有原点，则f（0）0。
（3）f（x）是定义域在（-6,0）,（0,6）上的奇函数，若x>0时f（x）=求xv0时f（x）
判断函数奇偶性的方法
一、定义域法
一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件•若函数的定义域不关于
原点对称，则函数为非奇非偶函数•
奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下
，计算f（X）,然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性
这种方法可以做如下变形
f（x）+f（-x）=0f（x）-f（-x）=0
f（x）
f（-x）
f（x）
f（-x）
奇函数
偶函数
偶函数
奇函数
复合函数奇偶性
f（g）
g（x）
f[g（x）]
f（x）+g（x）
f（x）*g（x）
奇
奇
奇
奇
偶
奇
偶
偶
非奇非
偶
奇
偶
奇
偶
非奇非
偶
奇
偶
偶
偶
偶
偶
18.（若存在实数T（T0），在定义域内总有fxTf（x），则f（x）为周期函数
，T是一个周期。
）
女口：
若fxaf（x），贝U
这时说这个函数周期2t.
我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况
告诉你f（x）+f（x+t）=0,我们要马上反应过来
f（x）f（x2t）
f（x）f（xt）0推导：
f（xt）f（x2t）0
同时可能也会遇到这种样子
f（x）=f（2a-x）,或者说f（a-x）=f（a+x）.其实这都是说同样一个意思
函数f（x）关于直线对
称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。
比如，f（x）=f（2a-x）,或者说f（a-x）=f（a+x）就都表示函数关于
直线x=a对称。
f（x）f（2ax）
f（x）f（2bx）
f（2ax）f（2bx）
又如：
若f（x）图象有两条对称轴xa,xb即f（ax）f（ax），f（bx）f（bx）
令t2ax,则2bxt2b2a,f（t）f（t2b2a）即f（x）f（x2b2a）
所以，函数f（x）以2|ba|为周期（因不知道a,b的大小关系,为保守起见，我加了一个绝对值
19•你掌握常用的图象变换了吗？
f（x）与f（x）的图象关于y轴对称联想点（x,y）,（-x,y）
f（x）与f（x）的图象关于X轴对称联想点（x,y）,（x,-y）
f（x）与f（x）的图象关于原点对称联想点（x,y）,（-x,-y）
f（x）与f1（x）的图象关于直线yx对称联想点（x,y）,（y,x）
f（x）与f（2ax）的图象关于直线xa对称联想点（x,y）,（2a-x,y）
f（x）与f（2ax）的图象关于点（a,0）对称联想点（x,y）,（2a-x,0）
将yf（x）图象
左移a（a0）个单位
yf（x
a）
右移a（a0）个单位
yf（x
a）
上移b（b0）个单位
yf（xa）b
下移b（b0）个单位
yf（xa）b
注意如下翻折”变换：
f（x）|f（x）|把x轴下方的图像翻到上面f（x）f（|x|）把y轴右方的图像翻到上面
19.
x
0（k为斜率，b为直线与y轴的交点）
（1）一次函数：
y
kxbk
（2）反比例函数:
0推广为y
k0是中心O'（a,b）
的双曲线。
（3）二次函数y
2ax
bxca0a
b
2a
警图象为抛物线
4acb2
顶点坐标为—，
2a4a
，对称轴x
b
2a
开口方向：
a0,向上，函数
ymin
4ac
b2
4a
4acb2
4a
根的关系：
x
bV
2a
x1x2
b
xi
a
c.
x2,|xi
a
a0，向下，ymax
X2I
二次函数的几种表达形式:
V
|a|
f（x）
f（x）
f（X）
ax2bxc（一般式）
a（xm）2n（顶点式，（m,n）为顶点
a（xxj（xx2）（x.|,x2是方程的2个根）
f（x）a（xxj（xx2）h（函数经过点（x「h）（x2,h）
应用：
①三个二次”二次函数、二次方程、二次不等式）的关系一一二次方程
ax2bxc0，0时，两根x1>x2为二次函数yax2bxc的图象与x轴
的两个交点，也是二次不等式
ax2bxc0（0）解集的端点值
区间在对称轴左边（n
区间在对称轴右边（m
区间在对称轴2边（n
4acb2r
fmin,fmax
4a
2a
b
2a
fmax
fmax
m）
f（m）,fmin
f（n）,fmin
max（f（m）,f（n））
f（n）
f（m）
②求闭区间［m,n］上的最值。
也可以比较m,n和对称轴的关系，距离越远，值越大
（只讨论a0的情况）
3求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
4一元二次方程根的分布问题
如：
二次方程ax2bxc0的两根都大于k
b
2a
f（k）
一根大于k，一根小于k
在区间（m，n）内有2根
0
m
bn2a
f（m）
0
f（n）
0
在区间（m，n）内有1根
f（m）f
（n）0
f（k）0
（4）指数函数:
axa0，a1
k
（6）“对勾函数”yxkk0
x
利用它的单调性求最值
21.如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）
女如:
（1）xR,f（x）满足f（xy）f（x）f（y），证明f（x）为奇函数（先令xy0f（0）0再令yx，）
（2）xR，f（x）满足f（xy）f（x）f（y），证明f（x）是偶函数。
（先令xytf（t）（t）f（t•t）
•••f（t）f（t）f（t）f（t）
•-f（t）f（t）……）
（3）证明单调性：
f（x2）fx2X!
x2
（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了
1、代y=x，
2、令x=0或1来求出f（0）或f
（1）
3、求奇偶性，令y=—x;求单调性：
令x+y=x1
几类常见的抽象函数
1.正比例函数型的抽象函数
f（x）=kx（k丸）f（x±y）=f（x）±f（y）
2.幕函数型的抽象函数
f（x）=xaf（xy）=f（x）f（y）;f（-）=
yf（y）
例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x+y）=f（x）+f（y）,且当x>0时，f（x）>0,f（—1）=—2求
f（x）在区间［—2,1］上的值域.
例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x+y）+2=f（x）+f（y）,且当x>0时，f（x）>2,f（3）=5,求
不等式f（a2—2a—2）<3的解.
例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）=f（x）f（y）,且f（—1）=1,f（27）=9,当0时，f（x）€［0,1］.
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在［0,+^］上的单调性，并给出证明;
（3）若a>0且f（a+1）<39,求a的取值范围.
例4设函数f（x）的定义域是（—8,+^）,满足条件：
存在x1^x2,使得f（X1）zf（X2）;对任何x和y,f（x+y）=f（x）f（y）成立.求：
（1）f（0）；
（2）对任意值x,判断f（x）值的符号.
例5是否存在函数f（x）,使下列三个条件：
①f（x）>0,x€N:
②f（a+b）=f（a）f（b）,a、b€N:
③f
（2）=4•同时成立？
若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.
例6设f（x）是定义在（0,+^）上的单调增函数，满足f（xy）=f（x）+f（y）,f（3）=1,求:
（1）f
（1）；
（2）若f（x）+f（x—8）<2,求x的取值范围•
例7设函数y=f（x）的反函数是y=g（x）.如果f（ab）=f（a）+f（b）,那么g（a+b）=g（a）g（b）是否正确，试说明理由
例9已知函数f（x）（x丸）满足f（xy）=f（x）+f（y）,
（1）
求证:
f
（1）=f（—1）=0;
（2）
求证：
f（x）为偶函数；
（3）
1
若f（x）在（0,+s）上是增函数，解不等式f（x）+f（x—）W0.
2
例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）工0,f（x+y）=f（x）f（y）,且当xv0时，f（x）>1,求证:
（1）当x>0时，0vf（x）v1；
（2）f（x）在x€R上是减函数•
练习题：
1.已知：
f（x+y）=f（x）+f（y）对任意实数x、y都成立，则（）
（A）f（0）=0（B）f（0）=1
（C）f（0）=0或1（D）以上都不对
2.若对任意实数x、y总有f（xy）=f（x）+f（y）,贝U下列各式中错误的是（）
1
（A）f
（1）=0（B）f（）=f（x）
x
x
（C）f（）=f（x）-f（y）（D）f（xn）=nf（x）（n€N）
y
3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：
f（0）工0,f（x+y）=f（x）f（y）,且当xv0时，f（x）>1,则当x>
0时，f（x）的取值范围是（）
（A）（1,+m）（B）（-m,1）
（C）（0,1）（D）（-1,+^）
4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的X1、X2都有
f（xjf（x2）
f（X1—x2）=--，则f（x）为（）
1f（Xjf（X2）
（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数
5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x+y）+f（x—y）=2[f（x）+f（y）],贝U函数f（x）是
（）
（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数
函数
1.函数的奇偶性
（1）若f（x）是偶函数，那么f（x）=f（—x）=J；
（2）若f（x）是奇函数，0在其定义域内，则°（可用于求参数）；
（3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：
f（x）±）=0或厕（f（x）丰;0）
（4）若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；
（5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；
2.复合函数的有关问题
（1）复合函数定义域求法：
若已知八）的定义域为［a,b］，其复合函数f［g（x）］的定义域由不等式a（2）复合函数的单调性由同增异减”判定；
3•函数图像（或方程曲线的对称性）
（1）证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；
（2）证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2上，反之亦然；
（3）曲线C1:
f（x,y）=0,关于y=x+a（y=-x+a）的对称曲线C2的方程为f（y—a,x+a）=0（或f（—y+a,—x+a）=0）;
（4）曲线C1：
f（x,y）=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：
f（2a—x,2b—y）=0;
（5）若函数y=f（x）对x€R时，f（a+x）=f（a—x）恒成立，则y=f（x）图像关于直线x=a对称；
04-6
（6）函数y=f（x—a）与y=f（b—x）的图像关于直线x=上对称；
4•函数的周期性
（1）y=f（x）对x€R时,f（x+a）=f（x—a）或f（x—2a）=f（x）（a>0）恒成立，则y=f（x）是周期为2a的周期函数；
（2）若y=f（x）是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f（x）是周期为2|a丨的周期函数；
（3）若y=f（x）奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f（x）是周期为4丨a丨的周期函数;
（4）若y=f（x）关于点（a,O）,（b,O）对称，则f（x）是周期为2如_创的周期函数；
（5）y=f（x）的图象关于直线x=a,x=b（a祠■称,贝U函数y=f（x）是周期为2°引的周期函数;
L
（6）y=f（x）对x€R时，f（x+a）=—f（x）（或f（x+a）=八■",则y=f（x）是周期为2‘彳的周期函数；
5•方程k=f（x）有解Ok€D（D为f（x）的值域）;
6.a>f（x恒成立Ca》[f（x）]max,；a7.
（1）（a>0,a工1,b>0,nR+）;《2）logaN=松（a>0,a工1,b>0,b工1）;
⑶Iogab的符号由口诀同正异负”记忆；⑷alogaN=N（a>0,a丰1,N>0）;
8.判断对应是否为映射时，抓住两点：
（1）A中元素必须都有象且唯一；
（2）B中元素不一定都有原象，并且A中不同元
素在B中可以有相同的象；
9.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。
10.对于反函数，应掌握以下一些结论：
（1）定义域上的单调函数必有反函数；
（2）奇函数的反函数也是奇函数；（3）定
义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；（4）周期函数不存在反函数；（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；
⑸y=f（x）与y=f-1（x）互为反函数，设f（x）的定义域为A,值域为B,则有f[f-—1（x）]=x（x€B）,f-—1[f（x）]=x（x€A）.
11.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用两看法”：
一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系
12.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：
/（町帆城J>0（或
（或）；
13.恒成立问题的处理方法：
（1）分离参数法；
（2）转化为一元二次方程的根的分布列不等式（组）求解;
升级会员 