高中数学函数知识点总结全.docx

1、高中数学函数知识点总结全高中数学函数知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素 ，及元素的 确定性、互异性、无序性2进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题 。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。女口：集合 A x|x2 2x 3 0 ， B x|ax 1若B A，则实数a的值构成的集合为 3. 注意下列性质：(1) 集合a1, a2, , an的所有子集的个数是2n;。同样，对于元素a2, a3,要知道它的来历：若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择(在或者不在)an,都有2种选择，所以，总共有2n种选择，即集合

2、A有2n个子集。非空真子集个数为2n(2)若 ABA(3)德摩根定律：Cu A B CuACuB ， Cu AB CuA CuB有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂4. 你会用补集思想解决问题吗 ？(排除法、间接法)女口：已知关于x的不等式 粵0的解集为M，若3 M且5 M，求实数ax a的取值范围。7. 对映射的概念了解吗？映射f: AtB,是否注意到 A中元素的任意性和 B中与之对应元素的唯一性 ，哪几种对应 能构成映射？（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）nm个。A到B的函注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数有 女口：若A 1,2,

3、3,4，B a,b,c;问：A到B的映射有 个，B到A的映射有 个；数有 个，若A 1,2,3，则A到B的一一映射有 个。函数y （x）的图象与直线x a交点的个数为 个。8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同 ？（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致（两点必须同时具备）9. 求函数的定义域有哪些常见类型 ？例：函数y V罕的定义域是lg x 3函数定义域求法分式中的分母不为零 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；10. 如何求复合函数的定义域 ？如：函数f(x)的定义域是 a, b , b a 0,则函数F(x) f(x) f( x)的定义域是 11

4、、函数值域的求法1直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到1例求函数y= 的值域x2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一 。2例、求函数y= x -2x+5 ，x -1，2的值域。3、判别式法a. yb. yK二型：直接用不等式性质k+x2bxx型,先化简，再用均值不等式mx n例:x1+x21 1丄1 2x+xc. yd. y2xx2 mx n x2 mx n型mxn型通常用判别式对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简 不必拘泥在判别式上面x n法一：用判别式法二：用换元法，把分母替换掉例：yx2 x 1x

5、1(x+1 )2 (x+1 )+1x 1(x+1)12 11x 15、函数有界性法，最常用的就是直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性 ，来确定函数的值域。我们所说的单调性三角函数的单调性。6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数 ，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一 ，在求函数的值域中同样发挥作用。例 求函数y=x+ x 1的值域。8数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义 ，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法 ，往往会更加简单，一目

6、了然，赏心悦目。求函数y= (x + (X 8)2的值域。倒数法有时，直接看不出函数的值域时 ，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例求函数y= 仝 2的值域x 312. 求一个函数的解析式时，注明函数的定义域了吗？，不要犯我当年的错切记：做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商误，与到手的满分失之交臂女口： f vx 1 ex x，求 f（x）.15 .如何用定义证明函数的单调性 ？（取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：(1) 定义法：根据定义，设任意得X1,X2,找出f(Xl),f(X2)之间的大小关系f (X| ) f (x2 ) f (x-i

7、)可以变形为求 1 -的正负号或者 -与1的关系X1 X2 f (x2 )(2) 参照图象：1 若函数f(X)的图象关于点(a，b)对称，函数f(X)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性；(特例：奇函 数)2 若函数f(X)的图象关于直线x = a对称，贝V函数f(X)在关于点(a, 0)的对称区间里具有相反的单调性 。(特例：偶函数)利用单调函数的性质：1 函数f(x)与f(x) + c(c是常数)是同向变化的2 函数f(x)与cf(x)(c是常数),当C0时，它们是同向变化的；当CV 0时，它们是反向变化的。3 如果函数f1(x), f2(x)同向变化，贝恼数f1(x) + f2(

8、x)和它们同向变化；(函数相加)4 如果正值函数f1(x), f2(x)同向变化，贝V函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化， 则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；(函数相乘)5 函数f(x)与在f(x)的同号区间里反向变化。6 若函数U =0(x), X a,3与函数y = F(U), u 0(a,0(B)或u 0( a)同向变化，则在a,3上复合函数y = F0(X)是递增的；若函数 U =0(x),xa,3 与函数 y = F(U), U 0(a),0(3)或 u 0( , 0(a)反向变化，则 在a,3上复合函数y= F 0(x)是递减

9、的。(同增异减)7 若函数y = f(x)是严格单调的，则其反函数x =广1(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)都是正数增增增增增增减减/减增减/减减增减减17.函数f(x)具有奇偶性的条件是什么 ？(f(x)定义域关于原点对称)若f( x) f(x)总成立 f(x)为奇函数 函数图象关于原点对称若f( x) f(x)总成立 f(x)为偶函数 函数图象关于y轴对称注意如下结论：(1) 在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数 ；两个偶函数的乘积是偶函数 ；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。(2) 若f(x)是奇函数且定义域

10、中有原点，则f(0) 0。(3) f (x)是定义域在 (-6,0 ) ,( 0 , 6)上的奇函数，若x 0时f (x)= 求xv 0时f (x)判断函数奇偶性的方法一、 定义域法一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称 ，它是函数为奇(偶)函数的必要条件若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算f( X),然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 f(x)-f(-x)=0f(x)f(-x)f(x)f(-x)奇函数偶函数偶函数奇函数复合函数奇偶性f(g)g(x)fg(x)f(

11、x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶18.(若存在实数T(T 0)，在定义域内总有f x T f(x)，则f(x)为周期函数，T是一个周期。)女口：若 f x a f (x)，贝U 这时说这个函数周期 2t.我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来f (x) f (x 2t)f (x) f (x t) 0 推导：f(x t) f (x 2t) 0同时可能也会遇到这种样子f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思函数f(x)关于直线对称，对称轴可以由括号内的

12、 2个数字相加再除以 2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。f (x) f (2a x)f (x) f (2b x)f (2a x) f (2b x)又如：若f (x)图象有两条对称轴x a, x b 即f (a x) f (a x)，f (b x) f (b x)令t 2a x,则2b x t 2b 2a, f (t) f (t 2b 2a) 即f (x) f (x 2b 2a)所以，函数f(x)以2|b a|为周期(因不知道a, b的大小关系, 为保守起见，我加了一个绝对值19你掌握常用的图象变换了吗 ？f (x)与f (

13、x)的图象关于y轴 对称 联想点(x,y),(-x,y)f (x)与f (x)的图象关于X轴 对称 联想点(x,y),(x,-y)f (x)与f( x)的图象关于 原点 对称 联想点(x,y),(-x,-y)f(x)与f 1 (x)的图象关于 直线y x对称 联想点(x,y) ,(y,x)f(x)与f(2a x)的图象关于 直线x a对称 联想点(x,y) ,(2a-x,y)f (x)与f(2a x)的图象关于 点(a, 0)对称 联想点(x,y) ,(2a-x,0)将y f(x)图象左移a(a 0)个单位y f(xa)右移a(a 0)个单位y f(xa)上移b(b 0)个单位y f (x a

14、) b下移b(b 0)个单位y f (x a) b注意如下翻折”变换：f(x) | f (x) |把x轴下方的图像翻到上面 f(x) f (| x|)把y轴右方的图像翻到上面19.x0 (k为斜率，b为直线与y轴的交点)(1) 一次函数：ykx b k(2)反比例函数:0推广为yk 0是中心O(a, b)的双曲线。(3)二次函数y2 axbx c a 0 ab2a警图象为抛物线4ac b2顶点坐标为 ，2a 4a，对称轴xb2a开口方向：a 0,向上，函数y min4acb24a4ac b24a根的关系：xb V2ax1 x2b,xiac .x2 ,|xiaa 0，向下，ymaxX2I二次函数

15、的几种表达形式:V|a|f (x)f (x)f (X)ax2 bx c（一般式）a（x m）2 n（顶点式，（m, n）为顶点a（x xj（x x2）（x.|, x2是方程的 2个根）f (x) a(x xj(x x2) h(函数经过点(xh)(x2,h)应用：三个二次”二次函数、二次方程、二次不等式）的关系一一二次方程ax2 bx c 0， 0时，两根x1 x2为二次函数y ax2 bx c的图象与x轴的两个交点，也是二次不等式ax2 bx c 0 （ 0）解集的端点值区间在对称轴左边（n区间在对称轴右边（m区间在对称轴2边（n4ac b2 rf min , f max4a2ab2af ma

16、xf maxm)f (m), f minf (n), f minmax( f (m), f (n)f (n)f (m)求闭区间m , n上的最值。也可以比较m, n和对称轴的关系，距离越远，值越大（只讨论a 0的情况）3 求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。4 一元二次方程根的分布问题如：二次方程ax2 bx c 0的两根都大于kb2af(k)一根大于k，一根小于k在区间(m，n)内有2根0mb n 2af(m)0f(n)0在区间(m，n)内有1根f(m)f(n) 0f(k) 0(4)指数函数:ax a 0，a 1k(6) “对勾函数” y x k k 0x利用它的单调性求最值21.如何

17、解抽象函数问题？(赋值法、结构变换法)女如:( 1) x R, f(x)满足f(x y) f(x) f(y)，证明 f(x)为奇函数 (先令 x y 0 f (0) 0再令 y x， )(2)x R，f(x)满足f (xy) f (x) f(y)，证明 f (x)是偶函数。(先令 x y t f ( t)( t) f (t t) f( t) f( t) f(t) f(t)-f( t) f(t)(3)证明单调性：f(x2) f x2 X! x2 (对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了1、 代 y=x，2、 令x=0或1来求出f(0)或f(1)3、 求奇偶性，令y= x;求单调性：

18、令x+y=x 1几类常见的抽象函数1. 正比例函数型的抽象函数f (x) = kx (k 丸) f (x y)= f (x)f (y)2. 幕函数型的抽象函数f (x )= xa f (xy )= f (x) f (y); f ( - )=y f(y)例1已知函数f (x)对任意实数x、y均有f (x+ y)= f (x) + f (y),且当x0时，f(x)0 , f( 1) = 2求f(x)在区间2,1上的值域.例2已知函数f (x)对任意实数x、y均有f (x + y) + 2= f (x) + f ( y),且当x0时，f(x)2 , f(3) = 5,求不等式f ( a2 2a 2)

19、 3的解.例 3 已知函数 f (x)对任意实数 x、y 都有 f (xy)= f (x) f (y),且 f ( 1) = 1 , f ( 27) = 9,当 0x0且f (a+ 1 )0,x N :f (a+ b )= f (a) f (b) , a、b N :f(2) = 4同时成立？若存在，求出f (x)的解析式，若不存在，说明理由.例6设f (x)是定义在(0 ,+)上的单调增函数，满足f (xy)= f (x) + f (y), f (3 )= 1 ,求:(1) f (1)；(2) 若f (x) + f (x 8) 1, 求证:(1) 当 x 0 时，0 v f (x)v 1；(2

20、) f (x)在x R上是减函数练习题：1. 已知：f (x+ y) = f (x)+ f (y)对任意实数x、y都成立，则( )(A) f ( 0)= 0 ( B) f (0 )= 1(C) f (0 )= 0或1 ( D)以上都不对2. 若对任意实数x、y总有f (xy)= f (x) + f (y),贝U下列各式中错误的是 ( )1(A) f (1)= 0 ( B) f ( )= f (x)xx(C) f ( )= f (x)- f (y) ( D) f (xn)= nf (x)( n N)y3. 已知函数f (x)对一切实数x、y满足：f (0)工0 , f (x + y)= f (x

21、) f (y),且当xv 0时，f (x) 1,则当x0时，f (x)的取值范围是()(A)( 1 , +m) (B) (-m, 1)(C)( 0 , 1) ( D)(- 1,+)4. 函数f (x)定义域关于原点对称，且对定义域内不同的 X1、X2都有f(xj f(x2)f ( X1 x2)= - -，则 f (x)为()1 f(Xjf(X2)(A)奇函数非偶函数 (B)偶函数非奇函数(C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶函数5. 已知不恒为零的函数 f (x)对任意实数 x、y满足f (x+ y) + f (x y)= 2f (x) + f (y),贝U函数f (x)是()(A)奇函数

22、非偶函数 (B)偶函数非奇函数(C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶函数函数1. 函数的奇偶性(1) 若f(x)是偶函数，那么f(x)=f( x)=J ；(2) 若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则 (可用于求参数)；(3) 判断函数奇偶性可用定义的等价形式 ：f(x) )=0或厕 (f(x)丰;0)(4) 若所给函数的解析式较为复杂 ，应先化简，再判断其奇偶性；(5) 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性 ；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性 ；2. 复合函数的有关问题(1) 复合函数定义域求法：若已知 八)的定义域为a, b，其复合函数fg(x)的定义域由不等式 a0)恒成立，

23、则 y=f(x)是周期为 2a 的周期函数；(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线 x=a对称，则f(x)是周期为2 | a丨的周期函数；(3) 若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线 x=a对称，则f(x)是周期为4丨a丨的周期函数;(4) 若y=f(x)关于点(a,O),(b,O)对称，则f(x)是周期为2如_创 的周期函数；(5) y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a 祠称,贝U函数y=f(x)是周期为2引 的周期函数;L(6) y=f(x)对x R时，f(x+a)= f(x)(或f(x+a)= 八,则y=f(x)是周期为2彳 的周期函数；5方程k=f(x)有解O k D

24、(D为f(x)的值域);6. a f(x恒成立 C af(x) max,； a 0,a 工 1,b0,nR+);2) l og a N=松(a0,a 工 1,b0,b 工 1);I og a b的符号由口诀 同正异负”记忆；a log a N = N ( a0 ,a丰1,N0 );8. 判断对应是否为映射时，抓住两点：(1) A中元素必须都有象且唯一 ；(2) B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象；9. 能熟练地用定义证明函数的单调性 ，求反函数，判断函数的奇偶性。10. 对于反函数，应掌握以下一些结论：(1)定义域上的单调函数必有反函数 ；(2)奇函数的反函数也是奇函

25、数 ；(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数 ；(4)周期函数不存在反函数 ；(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性 ； y=f(x)与 y=f-1(x)互为反函数，设 f(x)的定义域为 A,值域为 B,则有 ff- 1 (x)=x(x B),f- 1 f(x)=x(x A).11. 处理二次函数的问题勿忘数形结合 ；二次函数在闭区间上必有最值 ,求最值问题用 两看法”：一看开口方向；二看对称 轴与所给区间的相对位置关系12. 依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：/(町帆城J 0 (或(或 )；13. 恒成立问题的处理方法：(1)分离参数法；(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式 (组)求解;