FloodFill.docx
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FloodFill
FloodFill
种子染色法
译byLuckyCrazy &FeliciaCrazy
（FloodFill按原意应翻译成“水流式填充法”（如果我没译错），有些中文书籍上将它称作“种子染色法”，然而大部分的书籍（包括中文书籍）都直接引用其英文原名：
FloodFill。
介于此，下文所有涉及到FloodFill的都直接引用英文——译者）
样例：
相连的农场
FarmerJohn的农场被一次意外事故破坏了，有一些农场与其他的农场之间有道路相连，而有些道路却已被破坏。
这使得FarmerJohn无法了解到从一个农场能否到达另一个农场。
你的任务就是帮助FarmerJohn来了解哪些农场是连通的。
给出：
上题实际上就是要求寻找一张无向图的所有极大连通子图。
给出一张未知连通性的图，如下图：
可知，该图的极大连通子图是：
{1,4,8}，{2,5,6,7,9}和 {3}。
算法:
FloodFill
FloodFill可以用深度优先搜索，广度优先搜索或广度优先扫描来实现。
他的实现方式是寻找到一个未被标记的结点对它标记后扩展，将所有由它扩展出的结点标上与它相同的标号，然后再找另一个未被标号的结点重复该过程。
这样，标号相同的结点就属于同一个连通子图。
深搜：
取一个结点，对其标记，然后标记它所有的邻结点。
对它的每一个邻结点这么一直递归下去完成搜索。
广搜：
与深搜不同的是，广搜把结点加入队列中。
广度扫描（不常见）：
每个结点有两个值，一个用来记录它属于哪个连通子图（c），一个用来标记是否已经访问（v）。
算法对每一个未访问而在某个连通子图当中的结点扫描，将其标记访问，然后把它的邻结点的（c）值改为当前结点的（c）值。
深搜最容易写，但它需要一个栈。
搜索显式图没问题，而对于隐式图，栈可能就存不下了。
广搜稍微好一点，不过也存在问题。
搜索大的图它的队列有可能存不下。
深搜和广搜时间复杂度均为O（N+M）。
其中，N为结点数，M为边数。
广度扫描需要的额外空间很少，或者可以说根本不要额外空间，但是它很慢。
时间复杂度是O（N^2+M）。
（实际应用中，我们一般写的是DFS，因为快。
空间不是问题，DFS可改用非递归的栈操作完成。
但为了尊重原文，我们还是译出了广度扫描的全过程。
——译者）
广度扫描的伪代码
代码中用了一个小技巧，因此无须额外空间。
结点若未访问，将其归入连通子图（-2），就是代码里的component-2。
这样无须额外空间来记录结点是否访问，请读者用心体会。
# component（i） denotes the
# component that node i is in
1 function flood_fill（new_component）
2 do
3 num_visited = 0
4 for all nodes i
5 if component（i） = -2
6 num_visited = num_visited + 1
7 component（i） = new_component
8 for all neighbors j of node i
9 if component（j） = nil
10 component（j） = -2
11 until num_visited = 0
12 function find_components
13 num_components = 0
14 for all nodes i
15 component（node i） = nil
16 for all nodes i
17 if component（node i） is nil
18 num_components =
num_components + 1
19 component（i） = -2
20 flood_fill（component
num_components）
算法的时间复杂度是O（N2），每个结点访问一次，每条边经过两次。
实例
考虑刚才的那张图：
开始时，所有的结点都没有访问。
（下例中未访问被表示为-2）
首先从结点1开始，结点1未访问，那么先处理结点1，将它归入连通子图1。
结点
连通子图
1
-2
标记完成后，对它进行第一步的扩展，由结点4和结点8与结点1连通，故它们被扩展出来。
结点
连通子图
1
1
4
-2
8
-2
之后，先处理结点4，将它与结点1归入相同的连通子图。
现在它没有可扩展的结点了（结点1已被扩展过）
结点
连通子图
1
1
4
1
8
-2
接着处理结点8。
结果与结点4一样。
结点
连通子图
1
1
4
1
8
1
现在，所有与结点1连通的结点都已扩展，标号为1的连通子图产生了。
那么我们将跳出扩展步骤，寻找下一个连通子图，标号为2。
与上一步相同的顺序，找到结点2。
结点
连通子图
1
1
2
-2
4
1
8
1
扩展结点2，结点7与结点9出现。
结点
连通子图
1
1
2
2
4
1
7
-2
8
1
9
-2
下一步，扩展结点7，结点5出现。
结点
连通子图
1
1
2
2
4
1
5
-2
7
2
8
1
9
-2
然后是结点9。
结点
连通子图
1
1
2
2
4
1
5
-2
7
2
8
1
9
2
扩展结点5。
结点6出现。
结点
连通子图
1
1
2
2
4
1
5
2
6
-2
7
2
8
1
9
2
很遗憾，结点6没有可供扩展的结点。
至此连通子图2产生。
结点
连通子图
1
1
2
2
4
1
5
2
6
2
7
2
8
1
9
2
之后寻找连通子图3，至此，仅有结点3未被扩展。
结点
连通子图
1
1
2
2
3
-2
4
1
5
2
6
2
7
2
8
1
9
2
结点3没有可供扩展的结点，这样，结点3就构成了仅有一个结点的连通子图3。
结点
连通子图
1
1
2
2
3
3
4
1
5
2
6
2
7
2
8
1
9
2
结点3处理结束后，整个图的所有9个结点就都被归入相应的3个连通子图。
FloodFill结束。
问题提示
这类问题一般很清晰，求解关于“连通”的问题会用到FloodFill。
它也很经常用作某些算法的预处理。
扩展与延伸
有向图的连通性比较复杂。
同样的填充算法可以找出从一个结点能够到达的所有结点。
每一层递归时，若一个结点未访问，就将其标记为已访问（表示他可以从源结点到达），然后对它所有能到达且为访问的结点进行下一层递归。
若要求出可以到达某个结点的所有结点，你可以对后向弧做相同的操作。
例题
控制公司[有删节,IOI93]
已知一个带权有向图，权值在0-100之间。
如果满足下列条件，那么结点A“拥有”结点B：
∙A=B
∙从A到B有一条权值大于50的有向弧。
∙存在一系列结点C1到Ck满足A拥有C1到Ck,每个节点都有一条弧到B，记作x1，x2...xk，并且x1+x2+...+xk>50。
找出所有的（A，B）对，满足A拥有B。
分析：
这题可以用上面提到的“给出一个源，在有向图中找出它能够到达的结点”算法的改进版解决。
要计算A拥有的结点，要对每个结点计算其“控股百分比”。
把它们全部设为0。
现在，在递归的每一步中，将其标记为属于A并把它所有出弧的权加到“控股百分比”中。
对于每个“控股百分比”超过50的结点，进行同样的操作（递归）。
街道赛跑[IOI95]
已知一个有向图，一个起点和一个终点。
找出所有的p，使得从起点到终点的任何路径都必须经过p。
分析：
最简单的算法是枚举p，然后把p删除，看看是否存在从起点到终点的通路。
时间复杂度为O（N（M+N））。
题目的数据范围是M<=100,N<=50，不会超时。
牛路[1999USACO国家锦标赛,有删节]
连通图的直径定义为图中任意两点间距离的最大值，两点间距离定义为最短路的长。
已知平面上一个点集，和这些点之间的连通关系，找出不在同一个连通子图中的两个点，使得连接这两个点后产生的新图有最小的直径。
分析：
找出原图的所有连通子图，然后枚举不在同一个连通子图内的每个点对，将其连接，然后找出最小直径。
笨蛋建筑公司
FarmerJohn计划建造一个新谷仓。
不幸的是，建筑公司把他的建造计划和其他人的建造计划混淆了。
FarmerJohn要求谷仓只有一个房间，但是建筑公司为他建好的是有许多房间的谷仓。
已知一个谷仓平面图，告诉FarmerJohn它一共有多少个房间。
分析：
随便找一个格子，遍历所有与它连通的格子，得到一个房间。
然后再找一个未访问的格子，做同样的工作，直到所有的格子均已访问。
虽然题目给你的不是直接的图，但你也可以很容易地对其进行FloodFill。
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