《线性代数》复习docx.docx

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《线性代数》复习

第一部分线性代数中的最基本概念

1•矩阵

（1）基本概念

矩阵是描写事物形态的数量形式的发展.

由mxn个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个mxn型矩阵.这些数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为（i,j）位元素.

元素全为0的矩阵称为零矩阵，通常就记作0.

两个矩阵A和B相等（记作A二B）,是指它的行数相等，列数也相等（即它们的类型相同），并且对应的元素都相等.

（2）线性运算和转置

加（减）法:

两个mxn的矩阵A和〃可以相加（减）,得到的和（差）仍是mxn矩阵，记作A^B法则为对应元素相加（减）.

数乘：

一个mxn的矩阵A与应该数c可以相乘，乘积仍为mxn的矩阵，记作cJ,法则为A的每个元素乘c.

这两种运算统称为先性运算，它们满足以下规律：

1加法交换律：

2加法结合律：

3加乘分配律：

c=cA+cB.（c+d）J=ct4+cU.

4数乘结合律：

c（d）J=（cd）4

5cA=0<=>c=0或A二0.

转置:

把一个mxn的矩阵A行和列互换,得到的nxm的矩阵称为A的转置，记作才（或的.有以下规律：

①⑷丁二A.

③（cJ）-（cA）

（3）n阶矩阵几个待殊矩阵

行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.

n阶矩阵A的相应的行列式记作|川，称为力的行列式.

把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它的主对角线.（其上的运算行列号相等.）下面列出几类常用的n阶矩阵，它们但是考试大纲中要求掌握的.

对角矩阵：

主对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.

单位矩阵：

主对角线外的的元素都为1的对角矩阵，记作E（或1）・数量矩阵：

主对角线外的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是cE.

上（下）三角矩阵：

主对角线下（上）的的元素都为0的n阶矩阵.

对称矩阵:

满足矩阵.也就是对任何i,j,（i,J）位的元素和（j,i）位的元素总是相等的n阶矩阵.

反对称矩阵:

满足才二-虫矩阵.也就是对任何i,j,（i,j）位的元素和（j,i）位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.

（4）矩阵的初等变换和阶梯形矩阵

矩阵的初等行变换有以下三种：

1交换两行的上下位置.

2用一个非0的常数乘某一行的各元素.

3把某一行的倍数加到另一行上.

类似地，矩阵还有三种初等列变换，大家可以模仿着写出它们，这里省略了.初等行变换与初等列变换统称初等变换.

阶梯形矩阵:

一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足：

1如果它有零行，则都出现在下面.

2每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.

每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练.

2.向量

（1）基本概念

向量是另一种描述事物形态的数量形式.

由n个数构成的有序数组称为一个n维向量，称这些数为它的分量.

书写中可用矩阵的形式來表示向量，例如分量依次是內,弧...,an的向量可表示成

（ell）H2,...>3n）或32>

I

I

I

、an,

请注意，作为向量它们并没有区别，但是作为矩阵，它们不一样（左边是lxn矩阵，右边nxl是矩阵）•习惯上把它们分别称为行向量和列向量.请注意它与矩阵的行向量和列向量的区别.

一个mxn的矩阵的每一行是一个n维向量，称为它的行向量；每一列是一个m维向量,称为它的列向量•常常用矩阵的列向量组来写出矩阵，例如当矩阵A的列向量组为a,偽...，％时（它们都是表示为列的形式!

）可记a,...,a）.

矩阵的许多概念也可对向量來规定，如向量的相等，零向量等等.这里从略.

（2）线性运算和线性组合

向量也有加减法和数乘这两种线性运算，并且也有完全一样的运算规律,这里也不来复述了.

向量组的线性组合:

设皿，％...是一组n维向量，sc—.心是一组数,则称cia.+C2©+…，+cs比为

a,a,...的似c】，C2,…，cs为系数的）线性组合•它也是n维向量.

3.线性方程组

（1）基本概念

线性方程组的-•般形式为：

011X1+312X2+.・・+ainXn=bl,

a2]X]+a22X2+...+a2nXn=b2,

V

••••••••••••

amlXl+a«n2X2+・••+a（nnXn—bm,

英中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.分别称矩阵

为方程组的系数矩阵和增广矩阵.

如果b：

二b?

二…=bn）,则称为齐次线性方程组.把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成o,所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.

线性方程组的解是一个n维向量（k],k2,…，kn）,它满足：

当每个方程中的未知数Xi都用ki替代时都成为等式.

线性方程组的解的情况有三种:

无解,唯一解，无穷多解.

n维零向量总是齐次线性方程组的解，因此齐次线性方程组的解情况只有两种:

唯一解（即只要零解）和无穷多解（即有非零解）.

（2）同解变换与矩阵消元法

线性方程组的同解变换有三种：

1交换两个方程的上下位置.

2用一个非0的常数乘某个方程.

3把某方程的倍数加到另一方程上.

以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.

线性方程组的基本求解方法是消元法，用增广矩阵或系数矩阵来进行，称为矩阵消元法:

写岀方程组的增广矩阵（对齐次方程组用系数矩阵），用初等行变换把它化为阶梯形矩阵，再写岀所代表的阶梯形方程组（它是原方程组的同解方程组），用它求解.

第二部分行列式

1.形式和意义

形式:

用『个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线，就成为一个n阶行列式.如果行列式的列向量组为a,a,…，％则此行列式可表示为e,a,...,a|.

意义:

是一个算式，把『个元素按照一定的法则进行运算，得到的数值称为这个行列式的值.

请注意行列式和矩阵在形式和意义上的区别.

当两个行列式的值相等时，就可以在它们Z间写等号！

（不必形式一样，甚至阶数可不同•）

每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式，记作|川.

2.定义（完全展开式）

2阶和3阶行列式的计算公式：

311312

出1出2=3]1322一312321•

Silai2313

cl21cl22ci23二3】1牝2&33+312出3431+3133213-32""3-13322^31""3119-23332^3.123219-33.

cl31&32cl33

一般地，一个n阶行列式

311312…Hin

3.21S22•••&2n

•••••••••

cln1Sn2•••3nn

的值是许多项的代数和，每一项都是取白不同行，不同列的n个元素的乘积，其一般形式为：

5%…％,这里把相乘的口个元素按照行标的大小顺序排列，它们的列标J.j2...jn构成1,2,...,n的一个全排列（称为一个n元排列），一共有n!

个n元排列，每个n元排列对应一项，因此共有n!

个项..

所谓代数和是在求总和吋每项先要乘+1或.规定T（jlj2...jn）为全排列的逆序数（即小数排列在大数后面的现象出现的个数，例如6元排列231645有4个逆

序:

21,31,64,65,因此1（231645）二4）,则所乘的是（_1）"丿2…心于是

311312…Hln

助322...a2n=工（-1）52…人）仙饬…％.加2…人

•••••••••

a”1Sn2•••3nn

这里工表示对所有n元排列求和.称上式为n阶行列式的完全展开式.

3.性质

行列式有以下性质：

1把行列式转置值不变，即|/|=|川.

2某一行（列）的公因子可提出.

3对一行或一列可分解，即如果某个行（列）向量则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行（列）向量。

换为0或y所得到的行列式.

4把两个行（列）向量交换，行列式的值变号.

5如果一个行（列）向量是另一个行（列）向量的倍数，则行列式的值为0.

6如果把-个行（列）向量的倍数加到另一个行（列）向量上，则行列式的值不变.

把n阶行列式的笫i行和第j列划去后所得到的n-1阶行列式称为（i,j）位元素知的余子式，记作Mij・称AMI）%为如的代数余子式.

7行列式可对某一行（列）展开，即行列式的值等于该行（列）的各元素与其代数余子式乘积之和.

8某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和=0.

9如果A与B都是方阵（不必同阶），则

范德蒙行列式:

形如

1

1

1…

1

ai

a2

33...

an

2ai

2a2

2

cl:

}•••

cln

••

cn-iai

••••

cn-i

a2

•••

qn-id3…

ann

的行列式（或其转置）•它由a.,比,如…,弘所决定，它的值等于

馬（—）・

因此范德蒙行列式不等于0oaba2,&缶两两不同.

4•计算

行列式的核心问题是值的计算.

（1）用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0吋,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式，上（下）厂角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.

⑵化零降阶法:

取定一行（列），先用性质⑥把这行（列）的元素消到只有一个或很少儿个不为0,再用⑦，对这行（列）展开.例如设4阶行列式

1111

D二-2x31,

22x4

334x

取第1行，把第2,3,4行各减去第一行，得到

x+253

x-22

0x-22

=（x+2）

1x~3

01x-3

1

二（x+2）[（x-2）（x~3）-2]=（x+2）（xT）（x-4）.

000

D二-2x+253

20x-22

301x-3

（3）利用性质简化计算,主要应用于元素有规律的行列式，包括n阶行列式.

5.克莱姆法则

克莱姆法则当线性方程组的方程个数等于未知数个数n（即系数矩阵为n阶矩阵）时,如果它的系数行列式不等于0,则方程组有唯一解，这个解为（D./D,D2/D,这里D是

系数行列式的值，山是把系数行列式的第i个列向暈换成常数列向量所得到的行列式的值.

两点说明：

1按法则给的公式来求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上.（实际求解方法:

对增广矩阵G4Q作初等行变换，使得彳变为单位矩阵，此时〃变为解.）

2法则的改进，事实上系数行列式不等丁•0是唯一解的充分必要条件.

第三部分线性方程组

1.线性方程组的形式

线性方程组除了通常的写法外，还常用两种简化形式：

矩阵式信0,（齐次方程组信0）.

向量式x】a+X2a+...,+xa二0,（齐次方程组xa+X2©+...,+xa=0）.

2.线性方程组解的性质

（1）齐次方程组倨0

如果7,…，",是齐次方程组必的一组解，则它们的任何线性组合C17/1+C2g+...+

Csfjs也都是解.

（2）非齐次方程组处0（HO）

如果爲$,・・・，纟是呵的一组解，则

1它们的线性组合C1§+C2$+...+Cs《也是你询解的OC1+C2+...+Cs二1.

2它们的线'性组合C1§+C2$+...+c：

点是信（）的解OC1+C2+...+Cs二0.

如果§是信闻勺一组解，则n维向量（n是未知数的个数）§也是解是导出齐次方程组处0的解.（§是§和处0的一个解的和.）

3.线性方程组解的情况的判别对于方程组信0,判别其解的情况用三个数:

未知数个数n,rU）,r（J|y®.

1无解

2有唯一解or（J）=r（Ay®=n.

（当A是方阵时，就推出克莱姆法则.）

3有无穷多解or（A）=r（A\fi）

方程的个数m虽然在判别公式屮没有出现，但它rU）和rUl；®的上限，因此当r（J）=m吋，AX^P-定有解.当m

对于齐次方程组倨0,判别解的情况用两个数：

n,rU）.

有非零解orU）=

推论当虫的秩等于列数n时，虫在矩阵乘法中有左消去律：

妙0=>伊0;AB-ACn

4.齐次方程组基础解系线性方程组的通解

（1）齐次方程组基础解系

如果齐次方程组信0有非零解，则它的解集（全部解的集合）是无穷集，称解集的每个极大无关组为处0的基础解系.

于是，当7，...，広是应U0的基础解系时，向量"是倨0的解o”可用7，升,…，m线性表示.

定理设倨（）有n个未知数，则它的解集的秩（即基础解系中包含解的个数）等于n~r（J）.

于是，判别一组向量7，帀2,…，弘是处0的基础解系的条件为

17,叶,…，"是倨0的一组解.

2巾，/，…，耳线性无关.

3s=n-r（A）.

（2）线性方程组的通解

如果0,处,…是齐次方程组处0的基础解系，则处0的通解（-・般解）为Ci7+C20+...+C*其中C1,C2,...,Cs,可収任何常数.

如果$是非齐次方程组倨师勺解，7],处,…，広是导出组倨0的基础解系则松闻勺通解（一般解）为

§+ci〃i+c2772+...+Cs/,其中Cl,C2,..・，c»可取任何常数.

第四部分n维向量空间

向量组的线性关系与秩

1.向量组的线性表示关系

如果n维向量0等于n维向量组处%…，a的一个线性组合，就说0可以用a,a,,a线性表示.

判别“0是否可以用％a,...,a线性表示？

表示方式是否唯一？

”就是问：

向量方程

XiGi+X2a+...+Xsd二0

是否有解？

解是否唯一？

这个向量方程用分量写出就是以（”，a,・・.，a|0）为增广矩阵的线性方程组.

设”，a,,a和0,,0都是n维向量组，如果每个0「都可以用命，a,…，a线性表示，则说向量组0,A...,fl可以用a,a;线性表示.

例如，乘积矩阵AB的列向量组可以用A的列向量组线性组合.反之，如果向量组队〃,.・・，0可以用e,宓，…，a线性表示,则矩阵（0,",...,0）等于矩阵（如a,...,a）和一个sxt矩阵C的乘积.C可以这样构造：

它的第i个列向量就是0对e,的分

解系数.

当向量组仏，a,...,a和0,…，0互相都可以表示时，就说它们互相等价拼记作

{a,a,…，a}三{〃，辰，…，0}.

向量组的线性表示关系有传递性,从而等价关系也有传递性.

2.向量组的线性相关性

线性相关性是描述向量组内在关系的概念.

定义设e,g…，a是n维向量组，如果存在不全为0的一组数cbC2,…，s使得c】a+C2©+...,+ca：

=O,

则说a,...,a线性相关，否则（即要使得ca+c2O：

+.・・，+ca二0,必须cbc2,...,cs全为0）就说它们线性无关.

于是，a,偽…，a“线性相关还是无关”即xa+X2亦…，+xa二0“有还是没有非0解”，也就是以处…，a）为系数矩阵的齐次线性方程组有无非0解.

一个向量（s=l）相关（无关）即它是（不是）零向量.

与线性相关性有关的性质：

1少，a,...线性相关o至少有一个a可以用其它向量线性表示.

2当向量的个数s大于维数n时，a,他...，a—定线性相关.

3线性无关向量组的侮个部分组都无关（从而每个向量就不是0）.

4如果如a,...,a线性相关，而如a,…，a,礎性相关，则何用如他…，a线性表示.

5如果阳■用％线性表示侧表示方式唯一oa,%a线性无关.

6如果0,0?

…，0可以用a,a,,a线性表不，并且t>s,则0.0：

...,0线性相关.

推论如果两个线性无关的向量组互相等价，则它们包含的向量个数相等.

3.向量组的极大无关组和秩

秩是刻画向量组相关“程度”的一个数量概念•它表明向量组可以有多大的线性无关的部分组.

定义设仏，的…，a是n维向量组，⑴是它的一个部分组.如果

1（I）线性无关.

2（I）在扩大就线性相关.

就称⑴为少，a....,a的一个极大无关组.

条件②可换为:

任何”都可用⑴线性表示.也就是⑴与％氐，…，a等价.

当仏，a,...,a不全为零向量时,它就存在极大无关组，并且任意两个极大无关组都等价,从而包含的向量个数相等，

定义如果a,%a不全为零向量，则把它的极大无关组中所包含向量的个数（是一个正整数）称为ai,a,...,a的秩，记作r（ai,a,,a）.如果％,a：

全是零向量，则

规定r（ai,ok,...,a）=0.

秩有以下性质：

1a,a,,a线性无关u>r（a,a,...,a）二s.

2炉I用a,a：

...,a线性表示or（a,a>,...,a,y®=r（ai,a,...,a）.（见例3.2）

3如果e,…，a）二k,则

i）e,他…，a的每个含有多于k个向量的部分组相关.

ii）",（x>y...,a的每个含有k个向量的无关部分组一定是极大无关组..

4如果“，几,…，0可以用e,他…，a线性表示，则

r（0,…，0）0（%a,...,a）.

如果ai,a,...,a和0i,屁,...，0等价，则

r（a,a,...,a）=r（0,…，0）.

极人无关组和秩的概念可以推广到向量集合上（即包含的向量的个数不必有限），所有性质仍然成立.

4.有相同线性关系的向量组

两个向量数相同的向量组a,a,,a和0,加…,長称为有相同线性关系,如果向量方程

X1O1+X2©+...+xs僱=0和x0+X2屈+...+x0二0

同解.

（例如，当〃经过初等行变换化为〃时，力的列向量组和区的列向量组有相同线性关系.）当a,他…，a和0,昼,...，0有相同线性关系时，

（1）它们的秩相等.

（2）它们的极大无关组相对应.

（3）它们有相同的内在线性表示关系.

5.矩阵的秩

定义一个矩阵A的行向量组的秩和列向量组的秩相等，称为此矩阵的秩，记作r（J）.于是

r（A）=0<=>力二0.

如果A是mxn矩阵，则r（J）

命题①初等变换保持矩阵的秩.

②阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.

矩阵A的r阶子式:

任取A的r行和r列,在它们的交叉位置上的元素所构成的行列式.命题rU）就是〃的不等于0的子式的阶数的最大值.（即〃的每个阶数大于rG4）的子式都为0,都是A有阶数等于rG4）非0子式・）

在作矩阵的运算屮，矩阵的秩有性质：

1r（JT）=r（J）.

2如果c不为0,贝！

|r（cA）=r（A）.

3r（

4

6如果AB=0fn为虫的列数（B的行数），则r（J）+r（B）

7如果rG4）等于列数，贝ijr（個二r（B.

下面给11!

⑤和⑦在判别向量组的线性相关性和秩的计算问题上的应用.

设向量组a,a,…，a线性无关，向量组0,爲...，0可用％©，…，仏线性表示，表示矩阵为C,则

i）t（0i,屆...，0）=r（0・

ii）如果t=s（此时Q是t阶矩阵），则队区…£线性无关oC可逆.

（令A=（aha>,...,a）,伊（0】，爲...，0）,则AAC,并且r（〃）=列数s,用⑦得到r（0,爲...，0、）=r（O.t=s时，Q可逆u>r（“，0，,,八）二r（0二s0队0：

…，0：

线性无关.

或直接用⑤证明ii）:

Q可逆时t（BpG4）=s,从而0,爲…，後线性无关.如果C不可逆，则r（0,爲…，QSr（0

笫五部分矩阵

1.矩阵乘法的定义和性质

定义2.1当矩阵A的列数和〃相等时，和A和〃可以相乘，乘积记作AB.AB的行数和力相等，列数和$相等.初的（i,j）位元素等于川的第i个行向量和$的第j个列向量（维数相同）对应分量乘积之和.

矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同：

1矩阵乘法有条件.

2矩阵乘法无交换律.

3矩阵乘法无消去律，即一般地

由妙0推不出缶0或広0.

由倨?

和朋0推不出或BC.（无左消去律）

由BA=CA和用0推不出或伊Q（无右消去律）

把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来，这是常见错误.

矩阵乘法适合以下法则：

1加乘分配律A（BP二AB^AC,（卅0GAC+BC.

2数乘性质（cA）B-c（AB）・

3结合律（A£DOA^BC）.

4（ab）'=bW.

2.n阶矩阵的方幕和多项式

任何两个n阶矩阵A和〃都可以相乘，乘积曲仍是n阶矩阵.

（1）行列式性质|处|二|川|别.

（2）如果於谢则说A和〃可交换.

（3）方幕设k是正整数，n阶矩阵"的k次方幕屮即k个力的连乘积.规定A°=E.

显然A的任何两个方幕都是可交换的,并且方幕运算符合指数法则：

©A^Ah=AMh.

②Uk）JAkh.

但是一般地（初如窃.

（3）n阶矩阵的多项式乘法公式

设f（x）=a«x"+am-ixnrl+...+aix+ao,对n阶矩阵A规定

fG4）二&才"+為M"+...+Q..A+a0E.

称为A的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E.

一般地，由于交换性问题,乘法公式对于n阶矩阵的多项式不再成立,如果所出现的n阶矩阵互相都是交换的，则乘法公式成立•例如

（应2二才±2虺龙0〃和〃可交换.

G4+Q（A-3）二启Ro〃和〃可交换.

A和0可交换=>（不是o!

）有二项公式：

3.乘积矩阵的列向量组和行向量组，

设力是mxn矩阵B是nxs矩阵.A的列向量组为a,a>,...,a.,B的列向量组为0,爲…，0、，曲的列向量组为兀则根据矩阵乘法的定义容易看出：

1曲的每个列向量组为沪矽，i=l,2,…，s.

即心,俺,…，戻）二（妙,妙,…，坐）・

2^=（bbb^,...,bn）则砂=b】a】+b2a+...+bna,.

应用这两个性质可以得到：

乘积矩阵曲的第i个列向量第是"的列向量组为”，a,,a的线性组合，组合系数就是〃的第i个列向量〃的各分暈.

类似地，乘积矩阵曲的第i个行向量是〃的行向量组的线性组合，组合系数就是力的第i个行向量的各分量.

以上规律在一般教材都没有强调，但只要対矩阵乘法稍加分析就不难看出.然而它们无论在理论上