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1、线性代数复习docx线性代数复习第一部分线性代数中的最基本概念1 矩阵(1) 基本概念矩阵是描写事物形态的数量形式的发展.由mxn个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个mxn 型矩阵.这些数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i, j)位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵，通常就记作0.两个矩阵A和B相等(记作A二B),是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并 且对应的元素都相等.(2) 线性运算和转置加(减)法:两个mxn的矩阵A和可以相加(减),得到的和(差)仍是mxn矩阵，记作 AB 法则为对应元素相加(减).数乘：一个mxn的矩阵A与应该数c可

2、以相乘，乘积仍为mxn的矩阵，记作cJ,法则为A 的每个元素乘c.这两种运算统称为先性运算，它们满足以下规律：1 加法交换律：2 加法结合律：3 加乘分配律：c =cA+cB. (c+d) J=ct4+cU.4 数乘结合律：c(d)J=(cd)45 cA=0 c=0 或 A二0.转置:把一个mxn的矩阵A行和列互换,得到的nxm的矩阵称为A的转置，记作才(或的. 有以下规律：丁二A.(cJ) - (cA)(3) n阶矩阵几个待殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.n阶矩阵A的相应的行列式记作|川，称为力的行列式.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它的主对角

3、线.(其上的运算行列号相等.) 下面列出几类常用的n阶矩阵，它们但是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵：主对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵：主对角线外的的元素都为1的对角矩阵，记作E(或1) 数量矩阵：主对角线外的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是cE.上(下)三角矩阵：主对角线下(上)的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足矩阵.也就是对任何i,j, (i, J)位的元素和(j ,i)位的元素总是相 等的n阶矩阵.反对称矩阵:满足才二-虫矩阵.也就是对任何i, j, (i, j)位的元素和(j , i)位的元素之和 总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.(4)

4、矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵的初等行变换有以下三种：1 交换两行的上下位置.2 用一个非0的常数乘某一行的各元素.3 把某一行的倍数加到另一行上.类似地，矩阵还有三种初等列变换，大家可以模仿着写出它们，这里省略了.初等行变 换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足：1 如果它有零行，则都出现在下面.2 每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中 频繁运用的基本运算，必须十分熟练.2. 向量(1) 基本概念向量是另一种描述事物形态的数量形式.由n个数构成的有序数组称为一个

5、n维向量，称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式來表示向量，例如分量依次是內,弧.,an的向量可表示成(ell) H2, . 3n)或 32 III、an ,请注意，作为向量它们并没有区别，但是作为矩阵，它们不一样(左边是lxn矩阵，右边nxl是 矩阵)习惯上把它们分别称为行向量和列向量.请注意它与矩阵的行向量和列向量的区别.一个mxn的矩阵的每一行是一个n维向量，称为它的行向量；每一列是一个m维向量, 称为它的列向量常常用矩阵的列向量组来写出矩阵，例如当矩阵A的列向量组为 a,偽.，时(它们都是表示为列的形式!)可记a,. , a).矩阵的许多概念也可对向量來规定，如向量的相等，零向量等等

6、.这里从略.(2) 线性运算和线性组合向量也有加减法和数乘这两种线性运算，并且也有完全一样的运算规律,这里也不来复 述了.向量组的线性组合:设皿，.是一组n维向量，sc.心是一组数,则称 cia.+ C2+，+cs比为a, a, . 的似c】，C2,，cs为系数的)线性组合它也是n维向量.3. 线性方程组(1)基本概念线性方程组的-般形式为：011X1+312X2+. +ainXn=bl,a2X+a22X2+. +a2nXn=b2,V amlXl+an2X2+ +a(nnXnbm,英中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.分别称矩阵为方程组的系数矩阵和增广矩阵.如果b：二b?二=bn）,则称

7、为齐次线性方程组.把一个非齐次线性方程组的每个方程的常 数项都换成o,所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.线性方程组的解是一个n维向量（k,k2,，kn）,它满足：当每个方程中的未知数Xi都用 ki替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解，无穷多解.n维零向量总是齐次线性方程组的解，因此齐次线性方程组的解情况只有两种:唯一解 （即只要零解）和无穷多解（即有非零解）.（2）同解变换与矩阵消元法线性方程组的同解变换有三种：1 交换两个方程的上下位置.2 用一个非0的常数乘某个方程.3 把某方程的倍数加到另一方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初

8、等行变换.线性方程组的基本求解方法是消元法，用增广矩阵或系数矩阵来进行，称为矩阵消元法: 写岀方程组的增广矩阵（对齐次方程组用系数矩阵），用初等行变换把它化为阶梯形矩阵，再 写岀所代表的阶梯形方程组（它是原方程组的同解方程组），用它求解.第二部分行列式1. 形式和意义形式:用个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线，就成为一个n阶行列式. 如果行列式的列向量组为a, a,，则此行列式可表示为e, a,. ,a|.意义:是一个算式，把个元素按照一定的法则进行运算，得到的数值称为这个行列式的 值.请注意行列式和矩阵在形式和意义上的区别.当两个行列式的值相等时，就可以在它们Z间写等号！（不必形式

9、一样，甚至阶数可不 同）每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式，记作|川.2. 定义（完全展开式）2阶和3阶行列式的计算公式：311 312出1 出2 = 31322一312321 Sil ai2 313cl21 cl22 ci23 二 3】1牝2&33+ 312出3431+ 3133213-32 3-1332231 3119-23332 3.123219-33.cl31 &32 cl33一般地，一个n阶行列式311 312 Hin3.21 S22 &2n cln 1 Sn2 3nn的值是许多项的代数和，每一项都是取白不同行，不同列的n个元素的乘积，其一般形式 为：5% ,这里把相乘的口个元素按照行

10、标的大小顺序排列，它们的列标J.j2.jn构 成1,2, .,n的一个全排列（称为一个n元排列），一共有n!个n元排列，每个n元排列对应 一项，因此共有n!个项.所谓代数和是在求总和吋每项先要乘+ 1或.规定T（jlj2.jn）为全排列的逆序 数（即小数排列在大数后面的现象出现的个数，例如6元排列231645有4个逆序:21,31,64, 65,因此1（231645）二4）,则所乘的是（_1）丿2心于是311 312 Hln助322 . a2n =工（-1）52人）仙饬. 加2人 a” 1 Sn2 3nn这里 工 表示对所有n元排列求和.称上式为n阶行列式的完全展开式.3. 性质行列式有以下性

11、质：1 把行列式转置值不变，即|/| = |川.2 某一行（列）的公因子可提出.3 对一行或一列可分解，即如果某个行（列）向量则原行列式等于两个行列式之 和,这两个行列式分别是把原行列式的该行（列）向量。换为0或y所得到的行列式.4 把两个行（列）向量交换，行列式的值变号.5 如果一个行（列）向量是另一个行（列）向量的倍数，则行列式的值为0.6 如果把-个行（列）向量的倍数加到另一个行（列）向量上，则行列式的值不变.把n阶行列式的笫i行和第j列划去后所得到的n-1阶行列式称为（i, j）位元素知的余 子式，记作Mij称AMI）%为如的代数余子式.7 行列式可对某一行（列）展开，即行列式的值等于

12、该行（列）的各元素与其代数余子式 乘积之和.8 某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和=0.9 如果A与B都是方阵（不必同阶），则范德蒙行列式:形如111 1aia233 .an2 ai2 a22cl: cln c n-i ai c n-ia2 q n-i d3 ann的行列式（或其转置）它由a.,比,如,弘所决定，它的值等于馬()因此范德蒙行列式不等于0o ab a2, &缶两两不同.4计算行列式的核心问题是值的计算.（1）用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少 数项不为0吋,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式，上（下）厂角

13、行列式的值就等于 主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.化零降阶法:取定一行（列），先用性质把这行（列）的元素消到只有一个或很少儿个 不为0,再用，对这行（列）展开.例如设4阶行列式1111D二-2 x 3 1 ,2 2x43 3 4 x取第1行，把第2, 3, 4行各减去第一行，得到x+2 5 3x-2 20 x-2 2= (x+2)1 x30 1 x-31 二(x+2) (x-2) (x3)-2 = (x+2) (xT) (x-4).0 0 0D二-2 x+2 5 32 0 x-2 23 0 1 x-3（3）利用性质简化计算,主要应用于元素有规律的行列式，包括n阶行列式.5.克莱姆法则

14、克莱姆法则当线性方程组的方程个数等于未知数个数n （即系数矩阵为n阶矩阵）时, 如果它的系数行列式不等于0,则方程组有唯一解，这个解为（D./D, D2/D, 这里D是系数行列式的值，山是把系数行列式的第i个列向暈换成常数列向量所得到的行列式的值.两点说明：1 按法则给的公式来求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上. （实际求解方法:对增广矩阵G4 Q作初等行变换，使得彳变为单位矩阵，此时变为解.）2 法则的改进，事实上系数行列式不等丁 0是唯一解的充分必要条件.第三部分线性方程组1. 线性方程组的形式线性方程组除了通常的写法外，还常用两种简化形式： 矩阵式 信0,（齐次方程

15、组信0）.向量式 x】a+ X2a+. ,+xa二0,（齐次方程组 xa+ X2+. ,+xa=0）.2. 线性方程组解的性质（1） 齐次方程组倨0如果7, ，,是齐次方程组必的一组解，则它们的任何线性组合C17/1+ C2g+. +Csfjs也都是解.（2） 非齐次方程组处0（HO）如果爲$,，纟是呵的一组解，则1 它们的线性组合C1+C2$+. +Cs也是 你询解的OC1+C2+. +Cs二1.2 它们的线性组合C1+C2$+. +c：点是信（）的解O C1+C2+. +Cs二0.如果是信闻勺一组解，则n维向量（n是未知数的个数）也是解是导出齐次方 程组处0的解.（是和处0的一个解的和.）

16、3. 线性方程组解的情况的判别 对于方程组信0,判别其解的情况用三个数:未知数个数n,rU),r(J|y.1 无解2 有唯一解or (J) =r (A y =n.(当A是方阵时，就推出克莱姆法则.)3 有无穷多解or(A)=r(Afi)n.方程的个数m虽然在判别公式屮没有出现，但它rU)和rUl；的上限，因此 当r (J) =m吋，AXP -定有解. 当mn时，一定不是唯一解.对于齐次方程组倨0,判别解的情况用两个数：n, rU).有非零解o rU)= 伊0; AB-AC n4. 齐次方程组基础解系线性方程组的通解(1) 齐次方程组基础解系如果齐次方程组 信0有非零解，则它的解集(全部解的集合

17、)是无穷集，称解集的每个极 大无关组为处0的基础解系.于是，当7，.，広是应U0的基础解系时，向量是倨0的解o”可用7，升,，m 线性表示.定理 设 倨()有n个未知数，则它的解集的秩(即基础解系中包含解的个数)等于 nr (J).于是，判别一组向量7，帀2,，弘是处0的基础解系的条件为1 7,叶,，是倨0的一组解.2 巾，/，耳线性无关.3 s=n-r(A).(2) 线性方程组的通解如果0,处,是齐次方程组处0的基础解系，则处0的通解(-般解)为 Ci7+C20+. + C* 其中 C1,C2,. ,Cs,可収任何常数.如果$是非齐次方程组倨师勺解，7,处,，広是导出组倨0的基础解系则松闻勺

18、通 解(一般解)为+cii+c2772+. + Cs/,其中 Cl, C2,.，c可取任何常数.第四部分n维向量空间向量组的线性关系与秩1. 向量组的线性表示关系如果n维向量0等于n维向量组处 %，a的一个线性组合，就说0可以用 a, a, a线性表示.判别“0是否可以用 a,. , a线性表示？表示方式是否唯一？ ”就是问：向量方程XiGi+X2a+. +Xsd 二 0是否有解？解是否唯一？这个向量方程用分量写出就是以(”，a,.，a|0)为增广矩阵的线 性方程组.设”，a, a和0, , 0都是n维向量组，如果每个0都可以用命，a,，a 线性表示，则说向量组0, A . , fl可以用a,

19、 a;线性表示.例如，乘积矩阵AB的列向量组可以用A的列向量组线性组合.反之，如果向量组 队 ,.，0可以用e,宓，a线性表示,则矩阵（0, , .,0）等于矩阵（如a, .,a） 和一个sxt矩阵C的乘积.C可以这样构造：它的第i个列向量就是0对e, 的分解系数.当向量组仏，a,. ,a和0, ，0互相都可以表示时，就说它们互相等价拼记作a, a,，a 三，辰，0.向量组的线性表示关系有传递性,从而等价关系也有传递性.2. 向量组的线性相关性线性相关性是描述向量组内在关系的概念.定义 设e, g，a是n维向量组，如果存在不全为0的一组数cb C2,，s使得 c】a+ C2+. ,+ca：=O

20、,则说a, . , a线性相关，否则（即要使得ca+ c2O：+.，+ca二0,必须cb c2,. , cs全为 0）就说它们线性无关.于是，a,偽，a “线性相关还是无关”即xa+ X2亦，+xa二0 “有还是没有非0 解”，也就是以处，a）为系数矩阵的齐次线性方程组有无非0解.一个向量（s=l）相关（无关）即它是（不是）零向量.与线性相关性有关的性质：1 少，a,. 线性相关o至少有一个a可以用其它向量线性表示.2 当向量的个数s大于维数n时，a,他.，a定线性相关.3 线性无关向量组的侮个部分组都无关（从而每个向量就不是0）.4 如果如a,. ,a线性相关，而如a,，a,礎性相关，则何用

21、如 他，a线性 表示.5 如果阳用 线性表示侧表示方式唯一 oa, %a线性无关.6 如果0, 0?,，0可以用a, a, a线性表不，并且ts,则0.0：, .,0线性 相关.推论如果两个线性无关的向量组互相等价，则它们包含的向量个数相等.3. 向量组的极大无关组和秩秩是刻画向量组相关“程度”的一个数量概念它表明向量组可以有多大的线性无关的部 分组.定义 设仏，的，a是n维向量组，是它的一个部分组.如果1 （I）线性无关.2 （I）在扩大就线性相关.就称为少，a. , a的一个极大无关组.条件可换为:任何”都可用 线性表示.也就是 与氐，a等价.当仏，a,. ,a不全为零向量时,它就存在极大

22、无关组，并且任意两个极大无关组都等 价,从而包含的向量个数相等，定义 如果a, %a不全为零向量，则把它的极大无关组中所包含向量的个数（是一 个正整数）称为ai, a,. , a的秩，记作r（ai, a, a ）.如果, a：全是零向量，则规定 r（ai, ok,. , a ）=0.秩有以下性质：1 a, a, a 线性无关u r（a, a,. ,a）二s.2 炉I用a, a：,. , a 线性表示or（a, a,. , a, y =r（ai, a,. ,a）.（见例 3. 2）3 如果e,，a）二k,则i) e,他，a的每个含有多于k个向量的部分组相关.i i) ,(xy. , a的每个含有

23、k个向量的无关部分组一定是极大无关组.4 如果“，几,，0可以用e,他，a线性表示，则r(0, ，0)0(% a,. , a ).如果ai, a,. ,a和0i,屁,.，0等价，则r (a, a,. ,a)=r(0, ，0).极人无关组和秩的概念可以推广到向量集合上(即包含的向量的个数不必有限)，所有性 质仍然成立.4. 有相同线性关系的向量组两个向量数相同的向量组a, a, a和0,加,長称为有相同线性关系,如果向 量方程X1O1+ X2+. +xs僱=0 和 x0+ X2屈+. +x0二0同解.(例如，当经过初等行变换化为时，力的列向量组和区的列向量组有相同线性关系.) 当a,他，a和0,

24、昼,.，0有相同线性关系时，(1) 它们的秩相等.(2) 它们的极大无关组相对应.(3) 它们有相同的内在线性表示关系.5. 矩阵的秩定义 一个矩阵A的行向量组的秩和列向量组的秩相等，称为此矩阵的秩，记作r(J). 于是r (A) =0 力二0.如果A是mxn矩阵，则r (J) Min m, n,当等号成立时，称A为满秩的. 如果是n阶矩阵，则A满秩，即r(J)=n A的行(列)向量组无关 o|川工可逆o你汐有唯一解o齐次方程组话0只有零解.命题初等变换保持矩阵的秩.阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.矩阵A的r阶子式:任取A的r行和r列,在它们的交叉位置上的元素所构成的行列式. 命题rU)就

25、是的不等于0的子式的阶数的最大值.(即的每个阶数大于rG4)的子 式都为0,都是A有阶数等于r G4)非0子式)在作矩阵的运算屮，矩阵的秩有性质：1 r (JT) =r (J).2 如果c不为0,贝！| r (cA) =r (A).3 r (r (J) + HB).4 Minr(J), r(5).当虫(或 Q 可逆, r AB) =r B)(或 rG4)6 如果AB=0fn为虫的列数(B的行数)，则r (J) +r (B) ,. , a),伊(0】，爲.，0),则A AC,并且r() =列数s,用得到 r(0,爲.，0、)=r(O. t=s 时，Q可逆ur(“，0，,八)二r(0二s 0队 0

26、：,，0：线性无关.或直接用证明ii): Q可逆时t(BpG4)=s,从而0,爲，後线性无关.如果C不可逆，则 r(0,爲，QSr(0 (不是o!)有二项公式：3. 乘积矩阵的列向量组和行向量组，设力是mxn矩阵B是nxs矩阵.A的列向量组为a, a, . , a., B的列向量组为 0,爲，0、，曲的列向量组为兀 则根据矩阵乘法的定义容易看出：1 曲的每个列向量组为沪矽，i=l, 2,，s.即心,俺,，戻）二（妙,妙,，坐）2 =（bb b, ., bn）则砂=b】a】+b2a+ .+bna,.应用这两个性质可以得到：乘积矩阵曲的第i个列向量第是的列向量组为”，a, a的线性组合，组合系数就 是的第i个列向量的各分暈.类似地，乘积矩阵曲的第i个行向量是的行向量组的线性组合，组合系数就是力的 第i个行向量的各分量.以上规律在一般教材都没有强调，但只要対矩阵乘法稍加分析就不难看出.然而它们无 论在理论上