最新北师大版七年级数学下第一章整式的乘除教案.docx
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最新北师大版七年级数学下第一章整式的乘除教案
1．1 同底数幂的乘法
1．理解并掌握同底数幂的乘法法则；（重点）
2．运用同底数幂的乘法法则进行相关运算．（难点）
一、情境导入
问题：
2015年9月24日，美国国家航空航天局（下简称：
NASA）对外宣称将有重大发现宣布，可能发现除地球外适合人类居住的星球，一时间引起了人们的广泛关注．早在2014年，NASA就发现一颗行星，这颗行星是第一颗在太阳系外恒星旁发现的适居带内、半径与地球相若的系外行星，这颗行星环绕红矮星开普勒186，距离地球492光年.1光年是光经过一年所行的距离，光的速度大约是3×105km/s.问：
这颗行星距离地球多远（1年＝3.1536×107s）?
3×105×3.1536×107×492＝3×3.1536×4.92×105×107×102＝4.6547136×10×105×107×102.
问题：
“10×105×107×102”等于多少呢？
二、合作探究
探究点：
同底数幂的乘法
【类型一】底数为单项式的同底数幂的乘法
计算：
（1）23×24×2；
（2）－a3·（－a）2·（－a）3；
（3）mn＋1·mn·m2·m.
解析：
（1）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；
（2）先算乘方，再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；（3）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
解：
（1）原式＝23＋4＋1＝28；
（2）原式＝－a3·a2·（－a3）＝a3·a2·a3＝a8；
（3）原式＝mn＋1＋n＋2＋1＝a2n＋4.
方法总结：
同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1.
【类型二】底数为多项式的同底数幂的乘法
计算：
（1）（2a＋b）2n＋1·（2a＋b）3·（2a＋b）n－4；
（2）（x－y）2·（y－x）5.
解析：
将底数看成一个整体进行计算．
解：
（1）原式＝（2a＋b）（2n＋1）＋3＋（n－4）＝（2a＋b）3n；
（2）原式＝－（x－y）2·（x－y）5＝－（x－y）7.
方法总结：
底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算．（a－b）n＝
【类型三】运用同底数幂的乘法求代数式的值
若82a＋3·8b－2＝810，求2a＋b的值．
解析：
根据同底数幂的乘法法则，底数不变指数相加，可得a、b的关系，根据a、b的关系求解．
解：
∵82a＋3·8b－2＝82a＋3＋b－2＝810，∴2a＋3＋b－2＝10，解得2a＋b＝9.
方法总结：
将等式两边化为同底数幂的形式，底数相同，那么指数也相同．
变式训练：
本课时练习第6题
【类型四】同底数幂的乘法法则的逆用
已知am＝3，an＝21，求am＋n的值．
解析：
把am＋n变成am·an，代入求值即可．
解：
∵am＝3，an＝21，∴am＋n＝am·an＝3×21＝63.
方法总结：
逆用同底数幂的乘法法则把am＋n变成am·an.
变式训练：
本课时练习第9题
三、板书设计
1．同底数幂的乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
即am·an＝am＋n（m，n都是正整数）．
2．同底数幂的乘法法则的运用
在同底数幂乘法公式的探究过程中，学生表现出观察角度的差异：
有的学生只是侧重观察某个单独的式子，把它孤立地看，而不知道将几个式子联系起来；有的学生则既观察入微，又统揽全局，表现出了较强的观察力．教师要善于抓住这个契机，适当对学生进行指导，培养他们“既见树木，又见森林”的优良观察品质．对于公式使用的条件既要把握好“度”，又要把握好“方向”
1．2 幂的乘方与积的乘方
第1课时 幂的乘方
1．理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；（重点）
2．掌握幂的乘方法则的推导过程并能灵活应用．（难点）
一、情境导入
1．填空：
（1）同底数幂相乘，________不变，指数________；
（2）a2×a3＝________；10m×10n＝________；
（3）（－3）7×（－3）6＝________；
（4）a·a2·a3＝________；
（5）（23）2＝23·23＝________；
（x4）5＝x4·x4·x4·x4·x4＝________．
2．计算（22）3；（24）3；（102）3.
问题：
（1）上述几道题目有什么共同特点？
（2）观察计算结果，你能发现什么规律？
（3）你能推导一下（am）n的结果吗？
请试一试．
二、合作探究
探究点一：
幂的乘方
计算：
（1）（a3）4;
（2）（xm－1）2；
（3）[（24）3]3;（4）[（m－n）3]4.
解析：
直接运用（am）n＝amn计算即可．
解：
（1）（a3）4＝a3×4＝a12；
（2）（xm－1）2＝x2（m－1）＝x2m－2；
（3）[（24）3]3＝24×3×3＝236；
（4）[（m－n）3]4＝（m－n）12.
方法总结：
运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．
变式训练：
本课时练习第4题
探究点二：
幂的乘方的逆用
【类型一】逆用幂的乘方比较数的大小
请看下面的解题过程：
比较2100与375的大小．
解：
∵2100＝（24）25，375＝（33）25，又∵24＝16，33＝27，16＜27，∴2100＜375.
请你根据上面的解题过程，比较3100与560的大小，并总结本题的解题方法．
解析：
首先理解题意，然后可得3100＝（35）20，560＝（53）20，再比较35与53的大小，即可求得答案．
解：
∵3100＝（35）20，560＝（53）20，又∵35＝243，53＝125，243＞125，即35＞53，∴3100＞560.
方法总结：
此题考查了幂的乘方的性质的应用．注意理解题意，根据题意得到3100＝（35）20，560＝（53）20是解此题的关键．
变式训练：
本课时练习第7题
【类型二】逆用幂的乘方求代数式的值
已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．
解析：
由2x＋5y－3＝0得2x＋5y＝3，再把4x·32y统一为底数为2的乘方的形式，最后根据同底数幂的乘法法则即可得到结果．
解：
∵2x＋5y－3＝0，∴2x＋5y＝3，∴4x·32y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.
方法总结：
本题考查了幂的乘方的逆用及同底数幂的乘法，整体代入求解也比较关键．
【类型三】逆用幂的乘方结合方程思想求值
已知221＝8y＋1，9y＝3x－9，则代数式
x＋
y的值为________．
解析：
由221＝8y＋1，9y＝3x－9得221＝23（y＋1），32y＝3x－9，则21＝3（y＋1），2y＝x－9，解得x＝21，y＝6，故代数式
x＋
y＝7＋3＝10.故答案为10.
方法总结：
根据幂的乘方的逆运算进行转化得到x和y的方程组，求出x、y，再计算代数式．
变式训练：
本课时练习第6题
三、板书设计
1．幂的乘方法则：
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
即（am）n＝amn（m，n都是正整数）．
2．幂的乘方的运用
幂的乘方公式的探究方式和前节类似，因此在教学中可以利用该优势展开教学，在探究过程中可以进一步发挥学生的主动性，尽可能地让学生在已有知识的基础上，通过自主探究，获得幂的乘方运算的感性认识，进而理解运算法则
1．2 幂的乘方与积的乘方
第2课时 积的乘方
1．掌握积的乘方的运算法则；（重点）
2．掌握积的乘方的推导过程，并能灵活运用．（难点）
一、情境导入
1．教师提问：
同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式是什么？
学生积极举手回答：
同底数幂的乘法公式：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
幂的乘方公式：
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
2．肯定学生的发言，引入新课：
今天学习幂的运算的第三种形式——积的乘方．
二、合作探究
探究点一：
积的乘方
【类型一】直接运用积的乘方法则进行计算
计算：
（1）（－5ab）3;
（2）－（3x2y）2；
（3）（－
ab2c3）3;（4）（－xmy3m）2.
解析：
直接运用积的乘方法则计算即可．
解：
（1）（－5ab）3＝（－5）3a3b3＝－125a3b3；
（2）－（3x2y）2＝－32x4y2＝－9x4y2；
（3）（－
ab2c3）3＝（－
）3a3b6c9＝－
a3b6c9；
（4）（－xmy3m）2＝（－1）2x2my6m＝x2my6m.
方法总结：
运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．
变式训练：
本课时练习第7题
【类型二】含积的乘方的混合运算
计算：
（1）（－2a2）3·a3＋（－4a）2·a7－（5a3）3；
（2）（－a3b6）2＋（－a2b4）3.
解析：
（1）先进行积的乘方，然后根据同底数幂的乘法法则求解；
（2）先进行积的乘方和幂的乘方，然后合并．
解：
（1）原式＝－8a6·a3＋16a2·a7－125a9＝－8a9＋16a9－125a9＝－117a9；
（2）原式＝a6b12－a6b12＝0.
方法总结：
先算积的乘方，再算乘法，然后算加减，最后合并同类项．
变式训练：
本课时练习第7题（3）
【类型三】积的乘方的实际应用
太阳可以近似地看作是球体，如果用V、R分别代表球的体积和半径，那么V＝
πR3，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米（π取3）?
解析：
将R＝6×105千米代入V＝
πR3，即可求得答案．
解：
∵R＝6×105千米，∴V＝
πR3≈
×3×（6×105）3≈8.64×1017（立方千米）．
答：
它的体积大约是8.64×1017立方千米．
方法总结：
读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方的性质是解题的关键．
探究点二：
积的乘方的逆用
【类型一】逆用积的乘方进行简便运算
计算：
（
）2014×（
）2015.
解析：
将（
）2015转化为（
）2014×
，再逆用积的乘方公式进行计算．
解：
原式＝（
）2014×（
）2014×
＝（
×
）2014×
＝
.
方法总结：
对公式an·bn＝（ab）n要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形转化为公式的形式，运用此公式可进行简便运算．
变式训练：
本课时练习第7题
（2）
【类型二】逆用积的乘方比较数的大小
试比较大小：
213×310与210×312.
解：
∵213×310＝23×（2×3）10，210×312＝32×（2×3）10，又∵23＜32，∴213×310＜210×312.
方法总结：
利用积的乘方，转化成同底数的同指数幂是解答此类问题的关键．
三、板书设计
1．积的乘方法则：
积的乘方等于各因式乘方的积．
即（ab）n＝anbn（n是正整数）．
2．积的乘方的运用
在本节的教学过程中教师可以采用与前面相同的方式展开教学．教师在讲解积的乘方公式的应用时，再补充讲解积的乘方公式的逆运算：
an·bn＝（ab）n，同时教师为了提高学生的运算速度和应用能力，也可以补充讲解：
当n为奇数时，（－a）n＝－an（n为正整数）；当n为偶数时，（－a）n＝an（n为正整数）
1．3 同底数幂的除法
第1课时 同底数幂的除法
1．理解并掌握同底数幂的除法运算并能运用其解决实际问题；（重点）
2．理解并掌握零次幂和负指数幂的运算性质．（难点）
一、情境导入
一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌．要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？
二、合作探究
探究点一：
同底数幂的除法
【类型一】直接运用同底数幂的除法进行运算
计算：
（1）（－xy）13÷（－xy）8；
（2）（x－2y）3÷（2y－x）2；
（3）（a2＋1）7÷（a2＋1）4÷（a2＋1）2.
解析：
利用同底数幂的除法法则即可进行计算，其中
（1）应把（－xy）看作一个整体；
（2）把（x－2y）看作一个整体，2y－x＝－（x－2y）；（3）把（a2＋1）看作一个整体．
解：
（1）（－xy）13÷（－xy）8＝（－xy）13－8＝（－xy）5＝－x5y5；
（2）（x－2y）3÷（2y－x）2＝（x－2y）3÷（x－2y）2＝x－2y；
（3）（a2＋1）7÷（a2＋1）4÷（a2＋1）2＝（a2＋1）7－4－2＝（a2＋1）1＝a2＋1.
方法总结：
计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或可变形为相同，再根据法则计算．
变式训练：
本课时练习第3题
【类型二】逆用同底数幂的除法进行计算
已知am＝4，an＝2，a＝3，求am－n－1的值．
解析：
先逆用同底数幂的除法，对am－n－1进行变形，再代入数值进行计算．
解：
∵am＝4，an＝2，a＝3，∴am－n－1＝am÷an÷a＝4÷2÷3＝
.
方法总结：
解此题的关键是逆用同底数幂的除法得出am－n－1＝am÷an÷a.
变式训练：
本课时练习第7题
【类型三】同底数幂除法的实际应用
声音的强弱用分贝表示，通常人们讲话时的声音是50分贝，它表示声音的强度是105，汽车的声音是100分贝，表示声音的强度是1010，喷气式飞机的声音是150分贝，求：
（1）汽车声音的强度是人声音的强度的多少倍？
（2）喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的多少倍？
解析：
（1）用汽车声音的强度除以人声音的强度，再利用“同底数幂相除，底数不变，指数相减”计算；
（2）将喷气式飞机声音的分贝数转化为声音的强度，再除以汽车声音的强度即可得到答案．
解：
（1）因为1010÷105＝1010－5＝105，所以汽车声音的强度是人声音的强度的105倍；
（2）因为人的声音是50分贝，其声音的强度是105，汽车的声音是100分贝，其声音的强度为1010，所以喷气式飞机的声音是150分贝，其声音的强度为1015，所以1015÷1010＝1015－10＝105，所以喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的105倍．
方法总结：
本题主要考查同底数幂除法的实际应用，熟练掌握其运算性质是解题的关键．
变式训练：
本课时练习第4题
探究点二：
零指数幂和负整数指数幂
【类型一】零指数幂
若（x－6）0＝1成立，则x的取值范围是（ ）
A．x≥6B．x≤6
C．x≠6D．x＝6
解析：
∵（x－6）0＝1成立，∴x－6≠0，解得x≠6.故选C.
方法总结：
本题考查的是0指数幂成立的条件，非0的数的0次幂等于1，注意0指数幂的底数不能为0.
变式训练：
本课时练习第5题
【类型二】比较数的大小
若a＝（－
）－2，b＝（－1）－1，c＝（－
）0，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＝cB．a＞c＞b
C．c＞a＞bD．b＞c＞a
方法总结：
本题的关键是熟悉运算法则，利用计算结果比较大小．当底数是分数，指数为负整数时，只要把底数的分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
【类型三】零指数幂与负整数指数幂中底数的取值范围
若（x－3）0－2（3x－6）－2有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x≠3且x≠2
C．x≠3或x≠2D．x＜2
方法总结：
任意非0的数的0次幂为1，底数不能为0，负整数指数幂的底数不能为0.
【类型四】含整数指数幂、零指数幂与绝对值的混合运算
计算：
－22＋（－
）－2＋（2015－π）0－|2－
|.
解析：
分别根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算．
解：
－22＋（－
）－2＋（2015－π）0－|2－
|＝－4＋4＋1－2＋
＝
－1.
方法总结：
熟练掌握有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质是解答此题的关键．
三、板书设计
1．同底数幂的除法法则：
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
2．零次幂：
任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.即a0＝1（a≠0）．
3．负整数次幂：
任何一个不等于零的数的－p（p是正整数）次幂，等于这个数p次幂的倒数．即a－p＝
（a≠0，p是正整数）．
从计算具体问题中的同底数幂的除法，逐步归纳出同底数幂除法的一般性质．教学时要多举几个例子，让学生从中总结出规律，体验自主探究的乐趣和数学学习的魅力，为以后的学习奠定基础
1．3 同底数幂的除法
第2课时 用科学记数法表示较小的数
1．理解并掌握科学记数法表示小于1的数的方法；（重点）
2．能将用科学记数法表示的数还原为原数．
一、情境导入
同底数幂的除法公式为am÷an＝am－n，有一个附加条件：
m＞n，即被除数的指数大于除数的指数．当被除数的指数不大于除数的指数，即m＝n或m＜n时，情况怎样呢？
二、合作探究
探究点：
用科学记数法表示较小的数
【类型一】用科学记数法表示绝对值小于1的数
2014年6月18日中商网报道，一种重量为0.000106千克，机身由碳纤维制成，且只有昆虫大小的机器人是全球最小的机器人，0.000106用科学记数法可表示为（ ）
A．1.06×10－4B．1.06×10－5
C．10.6×10－5D．106×10－6
解析：
0.000106＝1.06×10－4.故选A.
方法总结：
绝对值小于1的数也可以用科学记数法表示，一般形式为a×10－n，其中1≤a<10，n为正整数．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数前面的0的个数所决定．
变式训练：
本课时练习第2题
【类型二】将用科学记数法表示的数还原为原数
用小数表示下列各数：
（1）2×10－7;
（2）3.14×10－5；
（3）7.08×10－3;（4）2.17×10－1.
解析：
小数点向左移动相应的位数即可．
解：
（1）2×10－7＝0.0000002；
（2）3.14×10－5＝0.0000314；
（3）7.08×10－3＝0.00708；（4）2.17×10－1＝0.217.
方法总结：
将科学记数法表示的数a×10－n还原成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．
变式训练：
本课时练习第6题
三、板书设计
用科学记数法表示绝对值小于1的数：
一般地，一个小于1的正数可以表示为a×10n，其中1≤a<10，n是负整数．
从本节课的教学过程来看，结合了多种教学方法，既有教师主导课堂的例题讲解，又有学生主导课堂的自主探究．课堂上学习气氛活跃，学生的学习积极性被充分调动，在拓展学生学习空间的同时，又有效地保证了课堂学习质量
1．4 整式的乘法
第1课时 单项式与单项式相乘
1．复习幂的运算性质，探究并掌握单项式乘以单项式的运算法则；（重点）
2．能够熟练运用单项式乘以单项式的运算法则进行计算并解决实际问题．（难点）
一、情境导入
根据乘法的运算律计算：
（1）2x·3y；
（2）5a2b·（－2ab2）．
解：
（1）2x·3y＝（2×3）·（x·y）＝6xy；
（2）5a2b·（－2ab2）＝5×（－2）·（a2·a）·（b·b2）＝－10a3b3.
观察上述运算，你能归纳出单项式乘法的运算法则吗？
二、合作探究
探究点：
单项式与单项式相乘
【类型一】直接利用单项式乘以单项式法则进行计算
计算：
（1）（－
a2b）·
ac2；
（2）（－
x2y）3·3xy2·（2xy2）2；
（3）－6m2n·（x－y）3·
mn2（y－x）2.
解析：
运用幂的运算法则和单项式乘以单项式的法则计算即可．
解：
（1）（－
a2b）·
ac2＝－
×
a3bc2＝－
a3bc2；
（2）（－
x2y）3·3xy2·（2xy2）2＝－
x6y3×3xy2×4x2y4＝－
x9y9；
（3）－6m2n·（x－y）3·
mn2（y－x）2＝－6×
m3n3（x－y）5＝－2m3n3（x－y）5.
方法总结：
（1）在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；
（2）注意按顺序运算；（3）不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；（4）此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
变式训练：
本课时练习第7题
【类型二】单项式乘以单项式与同类项的综合
已知－2x3m＋1y2n与7x5m－3y5n－4的积与x4y是同类项，求m2＋n的值．
解析：
根据－2x3m＋1y2n与7x5m－3y5n－4的积与x4y是同类项可得出关于m，n的方程组，进而求出m，n的值，即可得出答案．
解：
∵－2x3m＋1y2n与7x5m－3y5n－4的积与x4y是同类项，∴
解得
∴m2＋n＝
.
方法总结：
掌握单项式乘以单项式的运算法则，再结合同类项，列出二元一次方程组是解题关键．
变式训练：
本课时练习第5题
【类型三】单项式乘以单项式的实际应用
有一块长为xm，宽为ym的长方形空地，现在要在这块地中规划一块长
xm，宽
ym的长方形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积．
解析：
先求出长方形的面积，再求出绿化的面积，两者相减即可求出剩下的面积．
解：
长方形的面积是xym2，绿化的面积是
x×
y＝
xy（m2），则剩下的面积是xy－
xy＝
xy（m2）．
方法总结：
掌握长方形的面积公式和单项式乘单项式法则是解题的关键．
变式训练：
本课时练习第7题
三、板书设计
1．单项式乘以单项式的运算法则：
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里面含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
2．单项式乘以单项式的应用
本课时的重点是让学生理解单项式的乘法法则并能熟练应用．要求学生在乘法的运算律以及幂的运算律的基础上进行探究．教师在课堂上应该处于引导位置，鼓励学生“试一试”，学生通过动手操作，能够更为直接的理解和应用该知识点
1．4 整式的乘法
第2课时 单项式与多项式相乘
1．能根据乘法分配律和单项式与单项式相乘的法则探究单项式与多项式相乘的法则；
2．掌握单项式与多项式相乘的法则并会运用．（重点，难点）
一、情境导入
计算：
（－12）×（
－
－
）．我们可以根据有理数乘法的分配律进行计算，那么怎样计算2x·（3x2－2x＋1）呢？
二、合作探究
探究点：
单项式乘以多项式
【类型一】直接利用单项式乘以多项式法则进行计算
计算：
（1）（
ab2－2ab）·
ab；
（2）－2x·（
x2y＋3y－1）．
解析：
利用单项式乘以多项式法则计算即可．
解：
（1）（
ab2－2ab）·
ab＝
ab2·
ab－2ab·
ab＝
a2b3－a2b2；
（2）－2x·（
x2y＋3y－1）＝－2x·
x2y＋（－2x）·3y＋（－2x）·（－1）＝－x3y＋（－6xy）＋2x＝－x3y－6xy＋2x.
方法总结：
单项式与多项式相乘的运算法则：
单项式与多项式
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