六大基本初等函数图像及其性质.docx

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六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质

、常值函数（也称常数函数）y二C（其中C为常数）；

常数函数（yC）

C0

C0

yJ

yC

1x

y，

yo

O

O

平行于x轴的直线

y轴本身

定义域R

定义域R

，x是自变量，是常数；1

yx；

>

/

//

■jfJ

r

2.幕函数的性质；

性质函数7、

yx

2

yx

3

yx

1

2

yx2

1

yx

定义域

R

R

R

[0,+g）

{x|x工0}

值域

R

[0,+g）

R

[0,+g）

{y|y丰0}

奇偶性

奇

偶

奇

非奇非偶

奇

单调性

增

[0,+g）增

增

增

（0,+g）减

（-g,0]减

（-g,0）减

公共点

（1,1）

1）当a为正整数时，函数的定义域为区间为

），他们的图形都经过原点，并当a

>1时

2）当a为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数;

3）当a为正有理数m时，n为偶数时函数的定义域为（0,+8）,n为奇数时函数的定义域为（

n

8,+m），函数的图形均经过原点和（1,1）；

4）如果m>n图形于x轴相切，如果m

均为奇数时，跟原点对称;

n为奇数时，定义域为去

5）当a为负有理数时，n为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数;

除x=0以外的一切实数。

［无界函数］

1•指数函数的图象：

7、性质函数

yaX（a1）

yaX（0a1）

定义域

R

值域

（0,+8）

奇偶性

非奇非偶

公共点

过点（0,1）,即X0时，y1

单调性

在（，）是增函数

在（，）是减函数

当a1时函数为单调增,当0a1时函数为单调减；不论x为何值，y总是正的，图形在x轴上方；

当X0时，y1,所以它的图形通过（0,1）点。

*

3.

f（x）

（选，补充）指数函数值的大小比较aN

a•底数互为倒数的两个指数函数

f（x）ax,f（x）

a

的函数图像关于y轴对称

.当a1时，a值越大,

的图像越靠近y轴;

x

.当0a1时，a值越大，ya

的图像越远离y轴。

x

x

4•指数的运算法则（公式）；

；

（2）当n为奇数时,

（1）

ma

na

mna

m

n

mn

⑵

a

a

a

m

n

nmnm

⑶

a

aa

⑷

ab

n

anbn

a.整数指数幕的运算性质（a0,m,nQ）；

b.根式的性质；

四、对数函数ylogaX（a是常数且a

当n为偶数时,

c.分数指数幕;

m

（1）an

Vma

（a

1

nm

a

a（a

a（a

0）

0）

0,m,n

（a

0,a1），定义域x

1）

0,m,n

Z,n1）

（0,

）［无界］

1.对数的概念：

如果a（a>0，1）的b次幕等于N，就是abN，那么数b叫做以a为底N的对数,

记作logaNb,其中a叫做对数的底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式。

对数函数ylOgaX与指数函数yax互为反函数，所以ylOgaX的图象与yax的图象关于直线yx对称。

2.常用对数：

logioN的对数叫做常用对数，为了简便，N的常用对数记作lgN。

3•自然对数：

使用以无理数e2.7182为底的对数叫做自然对数，为了简便，N的自然对数logeN简

记作lnN。

4.对数函数的图象：

yIx1y1x1

ylogax（ai）「

5.对数函数的性质；

性质

ylogax

ylogax

函数\\

（a1）

（0a1）

定义域

（0,+x）

值域

R

奇偶性

非奇非偶

公共点

过点（1,0）,即x

1时，y0

单调性

在（0,+8）上是增函数

在（0,+8）上是减函数

1）对数函数的图形为于y轴的右方，并过点（1,0）；

2）当a1时，在区间（0,1）,y的值为负，图形位于x的下方；在区间（1,+），y值为正，图形位于x

*

6.（选，补充）对数函数值的大小比较aN

轴上方，在定义域是单调增函数。

a1在实际中很少用到。

a.底数互为倒数的两个对数函数

ylogax，ylog^x

a

logaMNlogaMlogaN

logaMlogaMlogaNN

logaMnnlogaM

b.对数恒等式：

alogaNN（a0且a1,N0）

（1）logbNlogaN（a0,a1，一般常常

logab

换为e或10为底的对数，即logbN

logbN

lgN

lgb

（2）由公式和运算性质推倒的结论:

lnN

lnb

的函数图像关于x轴对称。

d.对数运算性质

（1）1的对数是零，即loga10;同理ln10或lg10

⑵底数的对数等于1,即logaa1;同理lne1或lg101

五、三角函数

1.正弦函数ysinx,有界函数，定义域x（,），值域y[1,1]

3

图象：

五点作图法：

0,—,,—,2

22

3

图象：

五点作图法：

0,—,,—,2

22

1

]

严＜?

西石可€R

J产、「产「

\^匸丿"2魅、J丿

Oy2k\^jc丿4«j

-]

3.正、余弦函数的性质;

性质

函数

y

sinx（k

Z）

y

cosx（kZ）

定义域

R

值域

卜1,1]

[-1,1]

奇偶性

奇函数

偶函数

周期性

T2

T2

对称中心

（k,0）

（k—,0）

2

对称轴

xk

2

（k-,0）

2

在x

2k

—,2k

22

上是增函数

在x

2k

2k上是增函数

单调性

在x

2k

2k3

22

上疋减函数

在x

2k

2k上是减函数

x2k

T时，

/max1

x

2k时，ymax1

最值

2

x2k

一时，y

2

min1

x

2k

时，ymin1

ytanx的图像

5.余切函数ycotx，无界函数，定义域x|xk,kZ,y（,）yi

ycotx的图像

6.正、余切函数的性质;

.性质函数"

ytanx（kZ）

ycotx（kZ）

定义域

xk—

2

xk

值域

R

R

奇偶性

奇函数

奇函数

周期性

T

T

单调性

在（k,?

k）上都是增函数

在（k,（k1））上都是减函数

对称中心

kc、

（2°

k

（2°

零点

（k,0）

（k-,0）

2

7.正割函数ysecx，无界函数，定义域x|xk—,（kZ），值域|sec*1y42

ysecx的图像

9.正、余割函数的性质;

ycscx的图像

、、、、性质

函数'、、

ysecx（kZ）

ycscx（kZ）

定义域

xx—k

2

*Xk

值域

（，1][1,）

（，1][1,）

奇偶性

偶函数

奇函数

周期性

T2

T2

单调性

3

（2k-,2k）（2k,2k—）

减

（2k,2k-）（2k-,2k）增

3亠

（2k,2k三）（2k—,2k2）减

（2k2,2k）（2k,2k青）

增

续表:

性质函数、、

ysecx（kZ）

ycscx（kZ）

对称中心

（k2,0）

（k,0）

对称轴

xk

x—k

2

渐近线

x—k

2

xk

六、反三角函数

a.反正弦函数的概念：

正弦函数ysinx在区间，上的反函数称为反正弦函数，记为

22

yarcsinx

2•反余弦弦函数yarccosx，无界函数，定义域［-1,1］，值域［0,］

3•反正、余弦函数的性质;

性质

函数

yarcsinx

yarccosx

定义域

[-1,1]

[-1,1]

值域

[0,]

[0,]

奇偶性

奇函数

非奇非偶函数

单调性

增函数

减函数

c反正切函数的概念：

正切函数ytanx在区间

上的反函数称为反正切函数，记为

22

4•反正切函数yarctanx，有界函数，定义域x（,），值域一，一

22

yarctanx

D.反余切函数的概念:

余切函数ycotx在区间0,

上的反函数称为反余切函数，记为

5•反余切函数yarccotx，有界函数，定义域x（,）,值域0,

yarccotx

yarctanx的图像

yarccotx的图像

6•反正、余弦函数的性质;

函数性质、、

yarctanx

yarccotx

定义域

R

值域

2，2

0,

奇偶性

奇函数

非奇非偶

单调性

增函数

减函数

三角函数公式汇总

一、任意角的三角函数

在角的终边上任取一点P（x,y），记：

rx2y2

正弦：

sin

y

r

余弦：

cos

xr

正切：

tan

y

余切：

cot

x

x

y

正割：

sec

r

余割：

csc

r

xy

、同角三角函数的基本关系式

倒数关系：

sin

csc

1，cos

sec

1，tancot1

商数关系：

tan

sin

，cot

cos

cos

sin

平方关系：

sin2

cos2

1,1

tan2

222

sec，1cotcsc

三、诱导公式

x轴上的角，口诀：

函数名不变，符号看象限;y轴上的角，口诀：

函数名改变，符号看象限。

四、和角公式和差角公式

sin（

）

sin

cos

cos

sin

tan（

）

tan

tan

sin（

）

sin

cos

cos

sin

1

tan

tan

cos（

）

cos

cos

sin

sin

tan（

）

tan

tan

cos（

）

cos

cos

sin

sin

1

tan

tan

五、二倍角公式

sin22sincos丄o2tan

tan2

1tan

2222

cos2cossin2cos112sin

二倍角的余弦公式常用变形：

（规律：

降幕扩角，升幕缩角）

六、三倍角公式

sin3

3sin

4sin3

4sin

sin（—

3

）sin（-）

cos3

4cos

33cos

4cos

cos（—

3

）cos（?

）

tan3

3tan

tan3

tan

tan（3

）tan（§）

1

3tan2

七、和差化积公式

sinsin2sincos

22

sinsin2cossin

cos

cos

2cos

cos

2

2

cos

cos

2sin

sin

2

2

八、辅助角公式

/22

asinxbcosxvabsin（x）

其中：

角的终边所在的象限与点（a,b）所在的象限相同,

sin

b

』cos

、、a2b2'

a

\a2b2

tan

九、

三角函数的周期公式

函数yAsin（x

xR及函数y

Acos（x），

xR（A,,,为常数,

0,0）

周期：

T2

周期：

T

ab

sinAsinB

c

sinC

2R（R为ABC外接圆半径）

十、正弦定理

1^一、余弦定理

a2b2c22bccosA

222

bac2accosB

222cab2abcosC