数列通项公式的十种求法.docx

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数列通项公式的十种求法

数列通项公式的十种求法

一、公式法

例1已知数列满足，，求数列的通项公式。

解：

两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。

评注：

本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。

二、累加法

例2已知数列满足，求数列的通项公式。

解：

由得则

所以数列的通项公式为。

评注：

本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。

例3已知数列满足，求数列的通项公式。

解：

由得则

所以

评注：

本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。

例4已知数列满足，求数列的通项公式。

解：

两边除以，得，

则，故

因此，

则

评注：

本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。

三、累乘法

例5已知数列满足，求数列的通项公式。

解：

因为，所以，则，故

所以数列的通项公式为

评注：

本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。

例6（2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。

解：

因为①

所以②

用②式－①式得

则

故

所以③

由，，则，又知，则，代入③得。

所以，的通项公式为

评注：

本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。

四、待定系数法

例7已知数列满足，求数列的通项公式。

解：

设④

将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得⑤

由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。

评注：

本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

例8已知数列满足，求数列的通项公式。

解：

设⑥

将代入⑥式，得

整理得。

令，则，代入⑥式得

⑦

由及⑦式，

得，则，

故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。

评注：

本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。

例9已知数列满足，求数列的通项公式。

解：

设⑧

将代入⑧式，得

，则

等式两边消去，得，

解方程组，则，代入⑧式，得

⑨

由及⑨式，得

则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。

评注：

本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

五、对数变换法

例10已知数列满足，，求数列的通项公式。

解：

因为，所以。

在式两边取常用对数得⑩

设

将⑩式代入式，得，两边消去并整理，得，则

，故

代入式，得

由及式，

得，

则，

所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此

则。

评注：

本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

六、迭代法

例11已知数列满足，求数列的通项公式。

解：

因为，所以

又，所以数列的通项公式为。

评注：

本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。

即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而。

七、数学xx

例12已知数列满足，求数列的通项公式。

解：

由及，得

由此可猜测，往下用数学xx证明这个结论。

（1）当时，，所以等式成立。

（2）假设当时等式成立，即，则当时，

由此可知，当时等式也成立。

根据

（1），

（2）可知，等式对任何都成立。

评注：

本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学xx加以证明。

八、换元法

例13已知数列满足，求数列的通项公式。

解：

令，则

故，代入得

即

因为，故

则，即，

可化为，

所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得

。

评注：

本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

九、不动点法

例14已知数列满足，求数列的通项公式。

解：

令，得，则是函数的两个不动点。

因为

。

所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。

评注：

本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。

例15已知数列满足，求数列的通项公式。

解：

令，得，则是函数的不动点。

因为，所以

。

评注：

本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

九、不动点法

例14已知数列满足，求数列的通项公式。

解：

令，得，则是函数的两个不动点。

因为

。

所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。

评注：

本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。

例15已知数列满足，求数列的通项公式。

解：

令，得，则是函数的不动点。

因为，所以