二项式分布及应用.docx
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二项式分布及应用
二项式分布及应用
二项式分布及应用
1、条件概率及其性质
（1）条件概率的定义
设A，B为两个事件，且P（A）>0，称P（B|A）=____________为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
（2）条件概率的求法
求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概率型概率公式，即P（B|A）=____________。
（3）条件概率的性质
①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P（B|A）≤1。
②如果B和C是两个互斥事件，那么P（B⋃C|A）=___________。
2、事件的相互独立性
（1）设A，B为两个事件，如果P（AB）=___________，那么称事件A与事件B相互独立。
（2）如果事件A与B相互独立，那么___________与___________，___________与___________，___________与___________也相互独立。
思考探究“相互独立”与“事件互斥”有何不同？
提示：
两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥。
3、二项分布
在n次独立事件重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X=k）=___________（k=0,1,2,„„，n）.
此时称随机变量X服从二项分布，记作___________，并称___________为成功概率。
夯实双基
1、判断下面结论是否正确（打“√”或“×”）。
（1）若事件A，B相互独立，则P（B|A）=P（B）。
（2）P（B|A）表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P（BA）表示事件A，B同时发生的概率，一定有P（AB）=P（A）⋅P（B）。
kk（3）二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P（X=k）=Cnp（1-p）n-k,
k=0,1,2,,n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的
次数的概率分布。
（4）二项分布是一个概率分布列，其公式相当于（a+b）二项分布展开式的通项公式，其中a=p,b=1-p。
2、每次试验成功率为p（0
33p3（1-p）B、C10p3（1-p）A、C1073n
C、p3（1-p）D、p7（1-p）
3、（2019，全国卷）某地区空气质量检测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）。
A、0.8B、0.75C、0.6D、0.45
4、某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补中2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）。
A、100B、200C、300D、400
⎛1⎫5、设随机变量X~B6,⎪,则P（X=3）=___________。
⎝2⎭73
题型一条件概率
例1在一次业余歌手综合素质测评中，有一道把我国四大文学名著《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》与它们的作者连线的题目，每连对一个得3分，连错不得分。
一位歌手该题得ξ分。
（1）求该歌手得分不少于6分的概率。
（2）求该歌手得分不少于为6分，求该歌手连对《水浒传》《三国演义》的概率。
思考1：
在100件产品中有95件合格品，5件不合格品。
现从中不放回地取两次。
每次人去一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为___________。
题型二事件相互独立性
11例2：
甲乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，34
求：
（1）2个人都译出密码的概率。
（2）2个人都译不出密码的概率，
（3）恰有1个人译出密码的概率。
（4）至多一个人译出密码的概率。
（5）至少一个人译出密码的概率。
思考题2：
甲乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，计算：
（1）两人都击中目标的概率；
（2）两人中恰有一人击中目标的概率；
（3）至少有一人击中目标的概率。
题型三独立重复试验与二项分布
例3
（1）在全国大学生智能汽车总决赛中，某高校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能移动一个单位，沿
21x轴移动的概率是，沿y轴移动的概率是，则该智能汽车移动6次恰好移动33
到点（3,3）的概率为___________。
（2）一带装有5个白球，3个红球，则从袋中往外取球，每次取出一个，记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次停止，有X表示取球的次数，则P（X=12）=___________。
思考题3有一种旋转舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面上安装5只颜色各异的彩灯，假若每只灯正常发光的概率为0.5.若一个面上至少3只灯发光，则不需要维修，否则需要维修这个面。
（1）求恰好有两个面需要维修的概率；
（2）求至少3个面需要维修的概率，
例4：
一款击鼓小游戏的规则如下：
每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现二次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200
1分（即获得-200分）。
设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相2
互独立。
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列。
（2）玩三盘游戏，至少一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了，请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。
思考4:
乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同。
（1）求甲以4比1获胜的概率；
（2）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；
（3）求比赛局数的分布列。
变式训练：
甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完52局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，3
1乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立。
3
（1）求甲在以4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（2）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）。
二项分布及其应用
1、某道路的A,B,C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒，35秒，45秒。
某车辆在这条路上行驶时，三处都不停车的概率为（）。
A、35/192B、25/192C、55/192D、65/192
2、一个盒子里有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二只也是好晶体管的概率为（）。
A、2/3B、5/12C、5/9D、7/9
⎛1⎫3、已知随机变量ξ~B6,⎪，则P（ξ=2）等于（）。
⎝3⎭
A、3/16B、1/243C、13/243D、80/243
4、若X~B（5,0.1），则P（X≤2）等于（）。
A、0.665B、0.00856C、0.91854D、0.99144
5、某厂大量生产某种小零件，经抽样检验知道其次品率是，现把这种零件每6建装成一盒，那么每盒中恰好含一件次品的概率是（）。
1C61⎫⎛⎛99⎫2⎛1⎫A、B、0.01CD、1-C6⎪⎪⎪100⎝100⎭⎝100⎭⎝100⎭6521⎫⎛1-⎪100⎝⎭4
6、箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱子，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为（）。
31C5C31⎛5⎫4⎛5⎫41A、44B、⎪⨯C、⨯D、C4⨯⎪⨯54C5⎝9⎭9⎝9⎭933
7、如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（）。
A、4/9B、2/9C、2/3D、1/3
58、设随机变量X~B（2,p），Y~B（4,p），若P（X≥1）=，则P（Y≥2）的值为9
（）。
A、32/81B、11/27C、65/81D、16/81
9、如图所示，用K,A1,A2三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且A1,A2至少一个正常工作时，系统正常工作，已知K,A1,A2正常工作的概率依次为0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为（
A、0.960B、0.864
C、0.720D、0.576
10、口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定
⎧-1,第n次摸取红球，an=⎨义数列{an}：
如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7=3的⎩1，第n次摸取白球。
概率为（）。
25252525⎛1⎫⎛2⎫2⎛2⎫⎛1⎫4⎛2⎫⎛1⎫3⎛1⎫⎛2⎫A、C⎪⎪B、C7C、D、CC77⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝3⎭⎝3⎭⎝3⎭⎝3⎭⎝3⎭⎝3⎭⎝3⎭⎝3⎭5
7
11、在4次独立重复试验中事件A出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为_______.
12、甲乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢二局才能得冠军。
若两队胜局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为_______.
13、某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P（ξ=4）=_______.
14、某次知识竞赛规则如下：
在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，竟级下一轮，假设选手正确回答问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于_______.
15、某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验，准备用A，B,C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨。
其实验数据统计如下：
假设对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟试验的统计数据。
（1）求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率。
（2）考虑到各地的旱情和水土流失情况不同，如果甲地恰需中雨即达到理想状
态，乙地必须是大雨大到理想状态，记“甲、乙、丙三地达到理想状态的个数”为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）。
16、中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制（即先胜四场者获胜），进入总决赛的甲、乙两队中，若每一场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立，现已赛完两场，乙对以2：
0暂时领先。
（1）求这次比赛甲队获胜的概率；
（2）设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X，求X的分布列和数学期望。
17、某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B。
设甲乙两组的研发相互独立。
（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（2）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望。
随机变量与方差
题型一期望、方差的性质
1例1：
设随机变量ξ具有分布P（ξ=k）=,k=1,2,3,4,5,求5
E（3ξ+2），D（2ξ-1）,σ（ξ-1）。
思考题1：
（1）设非零常数d是等差数列x1,x2,x3,,x19的公差，随机变量ξ等可能地取值x1,x2,x3,,x19，则方差D（ξ）=_______.
（2）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个,记上n号的有n个（n=1，2，3，4）.现从袋中任取一个球，ξ表示所取球的球号。
①求ξ的分布列、期望和方差；
②若η=aξ+b,E（η）=1,D（η）=11，试求a,b的值。
题型二期望与方差的计算
例2：
一口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球，每次从袋中任意摸出一个球。
（1）采取有放回抽样方式，从中摸出两个球，求两个球恰好颜色不同的概率。
（2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的均值和方差。
思考题2：
某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院。
现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）。
（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学
期望。
题型三二项分布的均值与方差
例3：
在一次数学考试中，第22，23，24题为选做题，规定每位考生必须且只需在其中选做一题，设5名考生选做这三题任意一题的可能性均为，每位考生对每题的选择是相互独立的，各考生的选择相互之间没有影响。
（1）求其中甲、乙两人选做同一题的概率；
（2）设选做第23题的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望。
思考题3：
某校设计了一个实验学科的考查方案：
考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：
至少正确完成其中2题的便可通过；考生乙每题正确完成的概率都为，且每题正确完成与否互不影响。
（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的分布列，并计算其数学期望；
（2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力。
课堂练习：
1、有10件产品，其中3件次品，从中任取2件，若X表示取到次品的个数，则E（X）等于_______.
2、设ξ是服从二项分布B（n,p）的随机变量，又E（ξ）=15,D（ξ）=45，则n与p4
的值分别为（）。
A、60，B、60，C、50，D、50，
3、某地消防大队紧急抽调1，2，3，4，5号五辆消防车，分配到附近的A,B，C，D四个村子进行送水抗旱工作，每个村子至少要安排一辆消防车，若这五辆消防车中去A村的辆数为随机变量ξ，则E（ξ）的值为（）。
A、1/4B、3/4C、1D、5/4
4、马老师从课本上抄录的一个随机变量ξ的概率分布列如下表：
请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！
”处完全无法看清，且两个“？
”处字迹模糊，但能断定这两个“？
”处的数值相同，据此，小牛给出了正确答案E（ξ）=_______.
5、甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个红球的概率为，从乙袋中摸出1个红球的概率为P2。
（1）若m=10,求甲袋中红球的个数。
（2）若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率为，求P2的值。
1（3）设P2=，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从5
甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次，设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的分布列和均值。
随机变量的期望与方差
第一次作业
1、随机变量的分布列为
则E（5X+4）=（）。
A、15B、11C、2.2D、2.3
212、若X是离散型随机变量，P（X=x1）=,P（X=x2）=,且x1
42E（X）=，D（X）=，则x1+x2的值为（）。
39
A、5/3B、7/3C、3D、11/3
3、设投掷1颗骰子的点数为ξ，则（）。
A、E（ξ）=3,D（ξ）=3.52B、E（ξ）=3.5,D（ξ）=3512
3516C、E（ξ）=3,D（ξ）=3.5D、E（ξ）=3.5,D（ξ）=
4、某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，若他命中一次的10分，没命中不得分；命中次数为X，得分为Y，则E（X）,D（Y）分别为（）。
A、0.6，60B、3，12C、3，120D、3，1.2
5、已知随机变量X+Y=8，若XB（10,0.6），则E（Y）,D（Y）分别为（）。
A、6和2.4B、2和2.4C、2和5.6D、6和5.6
6、若XB（n,p），且E（X）=6,D（X）=3，则P（X=1）的值为（）。
A、3⋅2-2B、2-4C、3⋅2-10D、2-8
7、签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六枝签，从中任取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为（）。
A、5B、5.25C、5.8D、4.6
8、有一批产品，其中12件正品和4件次品，从中任取3件，若ξ表示取到的次品个数，则E（ξ）=_______.
19、随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=,E（ξ）=1,则D（ξ）=_______.5
10、某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a1为首项，公
比为2的等比数列，相应资金是以700元为首项，公差为-140元的等差数列，则参与该游戏获得资金的期望为_______元。
11、体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止。
设学生一次发球成功的概率为p（p≠0），发球次数为X，若X的数学期望E（X）>1.75，则p的取值范围。
12、一盒中装有9张写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片的数字是3.从盒中任取3张卡片。
（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
（2）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列和数学期望。
（注：
若三个数a,b,c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数）
13、某次数学测试共有10道选择题，每道选择题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：
每选对1道得5分，不选或者选错得0分，某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个作答，且各题作答互不影响。
（1）求该考生本次测试选择题得50的概率。
（2）求该考生本次测试选择题所得分数的分布列和数学期望。
14、将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中。
已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是，。
（1）分别求出小球落入A袋或B袋中的概率。
（2）在容器的入口处依次放入4个小球；记ξ为落入B袋中的小球个数，求ξ的分布列和数学期望。
第二次作业
1、已知ξ的分布列为
1231;③P（ξ=0）=，则在下列式中：
①E（ξ）=-;②D（ξ）=正确的个数是（）。
3273
A、0B、1C、2D、3
2、抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在30次试验中成功次数X的均值是（）
A、55/6B、40/3C、50/3D、10
3、一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c（a,b,c∈（0,1））,已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其他分情况），则ab的最大值为（）。
A、1/48B、1/24C、1/12D、1/6
4、设等差数列{an}的公差为d，若a1a,2a,3a,4a,5a,6a,7的方差为1，则d=_______。
5、设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p=_______时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为_______。
6、某校举行一次以“我为教育发展做什么”为主题的演讲比赛，比赛分为初赛、211复赛、决赛三个阶段，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率为,,。
且334
各阶段通过与否相互独立。
（1）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率。
（2）设该选手比赛的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望。
7、工人在包装某产品时不小心将2件不合格的产品一起放进一个箱子，此时该箱子中共有外观完全相同的6件产品。
只有将产品逐一打开检验才能确定哪2件产品是不合格的，产品一旦打开检验不管是否合格都将报废。
记ξ表示将2件不合格产品全部检验出来后4件合格产品中报废产品的数量。
（1）求报废的合格品少于2件的概率。
（2）求ξ的分布列和数学期望。
8、根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：
mm）对工期的影响如下表：
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9.求：
（1）工期延误天数Y的均值和方差。
（2）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率。
9、为提高学生学习语文的兴趣，某地区举办了中学生“汉语听写比赛”，比赛成绩只有90分，70分，60分，40分，30分五种，将本次比赛的成绩分为A,B，C，D，E五个等级。
从参加比赛的学生中随机抽取了30名，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：
（1）根据上面的统计数据，试估计从该地区参加“汉语听写比赛”的学生中任意抽取1人，其成绩等级为“A”或“B”的概率。
（2）根据
（1）的结论，若从该地区参加“汉语听写比赛”的学生（参赛人数很多）中任选3个，记X表示抽到成绩等级为“A”或“B”的学生人数，求X的分布列和数学期望E（X）。
10、某选修课的考试按A级，B级依次进行，只有当A级成绩合格时，才可继续参加B级的考试。
已知每级考试允许有一次补考机会，两个级别的成绩均合格方可获得该选修课的合格证书，现某人参加这个选修课的考试，他A级考试成绩合21格的概率为，B级考试成绩合格的概率为，假设各级考试成绩合格与否均互32
不影响。
（1）求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率；
（2）在这个考试过程中，假设他不放弃所有考试机会，级他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望E（ξ）。
11、在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，其具体情况如下表：
（1）设X表示
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