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八个无敌模型
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球
文：
付雨楼、段永建
今天给大家带来8个求解立体几何内切球与外接球半径的模型，本文最开始源自付雨楼老师分享的模型，教研QQ群（群号：
545423319）成员段永建老师进一步作图编辑优化分享。
类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
图1
方法：
a
例1
A．
体积为16，则这个球的表面积是（
．32
1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为
16B．20C．24
2
c2，即2R
找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）
22
abc，求出R
b2
2）
若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为
3，
解：
1）Va2h
16，a
22
2，4R2a2
2h2
2）
4R233
4R29
3）
在正三棱锥S
ABC中，
M、N分别是棱
SC、
4，
D
则其外接球的表面积是
441624，S
BC的中点，且AM
24，选C；
MN,若侧棱SA
23,则
正三棱锥SABC外接球的表面积是。
36解：
引理：
正三棱锥的对棱互垂直。
证明如下：
如图（3）-1，取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角
形ABC的中心，SH平面ABC，SHAB，
ACBC，ADBD，CDAB，AB平面SCD，
ABSC，同理：
BCSA，ACSB，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2，AMMN，SB//MN，
AMSB，ACSB，SB平面SAC，
SBSA，SBSC，SBSA，BCSA，
（3）题-2
SA平面SBC，SASC，
故三棱锥SABC的三棱条侧棱两两互相垂直，
（2R）2（23）2（23）2（23）236，即4R236，
正三棱锥SABC外接球的表面积是36
4）在四面体SABC中，SA平面ABC，
BAC
120,SAAC2,AB1,则该四面体的外接
球的表面积为（D）A.11B.7
5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为
C.
10
D.
40
6、4、
3，那么它的外接球的表面积是
1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几
解析：
（4）在ABC中，BC2
AC2
AB
22ABBCcos1207
BC7，
ABC的外接球直径为
2r
BC
7
3
27
，
sin
BAC
3
2
2
22272
40，
40
，选
（2R）2
（2r）2SA2（）2
4
S
D
3
3
3
6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为
何体外接球的体积为
5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为a,b,c（a,b,cR），则
ab12
bc8，abc24，a3，b4，c2，（2R）2a2b2c229，S4R229
ac6
（6）（2R）2
2a
222bc3，R
3
，R
4
3
2
43
4
333
VR3
3
3
82，
类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）
1．题设：
如图5，PA平面ABC解题步骤：
第一步：
将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心O；
第二步：
O1为ABC的外心，所以OO1平面ABC，算出小圆O1的半
径O1Dr（三角形的外接圆直径算法：
利用正弦定理，得
a
sinA
bc
2r），OO1sinBsinC
1
2PA；
第三步：
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：
①
222
（2R）2PA2（2r）2
2RPA2（2r）2；
②R2r2OO12Rr2
2．题设：
如图6，7，8，P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点
OO12
三棱锥PABC的三条侧棱相等
P点也是圆锥的顶点
解题步骤：
第一步：
确定球心O的位置，取
ABC的外心O1，则P,O,O1三点共线；
第二步：
先算出小圆O1的半径AO1r，再算出棱锥的高PO1h（也是圆锥的高）；第三步：
勾股定理：
OA2O1A2O1O2R2（hR）2r2，解出R方法二：
小圆直径参与构造大圆。
A．3
B．2
C．163
D．以上都不对
解：
选C，
（3
R）2
1
R2,3
23RR21R2,423R0,
R
2
S4
2
16
3,
R2
3
例2一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（）C
类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）
图9-1图9-2
P
O
A
C
B
图9-3
P
O
A
C
B
图9-4
1．题设：
如图9-1，平面第一步：
易知球心O必是
第二步：
PAC平面ABC，且PAC的外心，即a
在PAC中，可根据正弦定理
sinA
AB
PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径ACb
BC（即AC为小圆的直径）
2r；
2．如图
9-2，平面PAC
平面ABC，且AB
sinB
2R，求出R
sinC
BC
即AC为小圆的直径）
OC2
22
O1C2O1O2
222
R2r2O1O2
AC
2R2O1O2
9-3，平面PAC
三棱锥PABC的三条侧棱相等圆锥的顶点解题步骤：
3．如图
外心
平面ABC，且AB
BC
三棱P
即AC为小圆的直径），且P的射影是ABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点
ABC的P点也是
第一步：
确定球心O的位置，取ABC的外心O1，则P,O,O1三点共线；
第二步：
先算出小圆O1的半径AO1r，再算出棱锥的高PO1h（也是圆锥的高）；
222222
第三步：
勾股定理：
OA2O1A2O1O2R2（hR）2r2，解出R
4．如图9-3，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径），且PAAC，则
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：
①（2R）2PA2（2r）22RPA2（2r）2；
②R2r2OO12Rr2OO12
例3
（1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为23，则该球的表面积为
2）正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
解：
（1）由正弦定理或找球心都可得2R
7，
S4R249，
2）方法一：
找球心的位置，易知r1，h
1，
方法二：
大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是
4
2R2，R1，V
3
4hr，故球心在正方形的中心ABCD处，R1，V
3SAC的外接圆，此处特殊，RtSAC的斜边是球半径，
3）在三棱锥PABC中，PAPBPC
3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外
接球的体积为（
A．
B.
C.4
D.
解：
选D，圆锥A,B,C在以r
3的圆上，
2
R1
4）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球
径,且SC2，则此棱锥的体积为（
O的求面上,
A
ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直
A．2
6
B．3
6
D．
解：
OO1R2r21（3）2
6，h
3
26，V
1Sh
3
类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）
图10-2，
直三棱柱内接于球
题设：
如图10-1，
是任意三角形）
10-3,
同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以
第一步：
确定球心
O的位置，O1是
ABC的外心，则
OO1
平面ABC；
第二步：
算出小圆
O1的半径AO1
r，
OO11AA1
121
1h
2
AA1h也是圆柱的高）；
第三步：
勾股定理：
OA2O1A2O1O2
R2（h2）2
r2
r2（h2）2，解出R
例4
（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，
且该六棱柱的体积为
9
9，底面周长为3，则这个球的体积为
8
解：
设正六边形边长为
a，正六棱柱的高为h，底面外接圆的关径为
r，
则a
1，
2
3
底面积为S6
4
（12）2383，V柱Sh383h
9，
8
3，
R2
（23）2（12）21，
R1，球的体积为V4
3
2）直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，
AB
AC
AA1
2,BAC120，则此
球的表面积等于
解：
BC
23，2rsin212304，r2，R5，S
20
3）
已知
EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，
EA
EB
3,AD2,AEB60，则多面体E
ABCD的外接
球的表面积为
。
16
解析：
折叠型，法一：
EAB的外接圆半径为r1
3，OO1
1，
R132；法二：
O1M
，r2O2D
13，R2
1434，R
2，S16
4）在直三棱柱ABC
A1B1C1中，
AB4,AC
6,A
3,AA1
4则直三棱柱
ABCA1B1C1的外接球
的表面积为
160
3
解析：
2
BC216
36
24
28，BC27，
2r3
2
47
3，r
27
3，
R2
2AA12r2（21）2
28
40，
3
160
S
3
类型五、折叠模型
题设：
两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠
（如图11）
图11
第一步：
先画出如图所示的图形，将
BCD画在小圆上，找出BCD和ABD的外心H1和H2；
第二步：
过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心O，连接OE,OC；
222第三步：
解OEH1，算出OH1，在RtOCH1中，勾股定理：
OH12CH12OC2
例5三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，△PAC和△ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥PABC外接球的半径为.
解析：
2r12r2
2
sin60
r1
O2H
1
3，
222
R2O2H2r12
145，R15
3333
法二：
O2H
1
3，
O1H
1
3，
AH1，
22222515
R2AO2AH2O1H2O1O2，R
33
类型六、对棱相等模型（补形为长方体）
题设：
三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，
求外接球半径（ABCD，ADBC，ACBD）
第一步：
画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
BCx，ABCDy，ACBDz，列方程组，
2a
b2
2
x
2
22
b2
2c
2y
（2R）2
2a
b2
2x
yz，
c
，
2
2
2
2
c
a
z
补充：
VA
BCD
abc1
abc
1
4
abc
6
3
第二步：
设出长方体的长宽高分别为
a,b,c，AD
222
xy2z
（1）题解答图
222222
2xyzxyz
R2，R，求出R，
88
例如，正四面体的外接球半径可用此法。
例6
（1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是.
（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点
在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）
7
A．33B
4
．3
4
3
12
解：
（1）截面为PCO1，面积是2；
2）高hR1，底面外接圆的半径为
1，直径为2R
2，
sin60
4
4
1
3
三棱锥的体积为
V
Sh
3
4
（3）在三棱锥
A
BCD中，AB
CD2,AD
BC3,AC
BD
4,则三棱锥ABCD外接球的表
29
面积为
。
2
解析：
如图12，
设补形为长方体，
三个长度为三对面的对角线长，
设长宽高分别为a,b,c，则a2b29，
22
bc4，
2c
a216
2（a
222
bc）9
41629，
2（a2
b2c2）941629，
222
29
2
29，
29
abc
，4R2
S
2
2
2
33
2
设底面边长为a，则2R
a
7,则该三棱锥外接球的
BC
6,AD
3，S3a
如图所示三棱锥ABCD，其中ABCD5,ACBD
（4）表面积为.解析：
同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为
2222222
2（a2b2c2）253649110，a2b2c255，4R255，
【55；对称几何体；放到长方体中】
（5）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为
解析：
这是特殊情况，
但也是对棱相等的模式，放入长方体中，
2R3，
3
R23，V
82
a,b,c，
类型七、两直角三角形拼接在一起
（斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥）模型
C
题设：
APB
ACB90，求三棱锥P
ABC外接球半径（分析：
取公共的斜边的中点
O，连接
OP,OC，则OAOBOCOP1AB，O为三棱锥PABC外接球球心，然后在OCP中求出
半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定
值。
则四面体ABCD的外接球的体积为（
）
125
125
．125
125
A．B．
C
D．
12
9
6
3
5
4
34
125
125
解：
（1）2RAC5，R
V
R3
，选
C
2
3
3
8
6
（2）在矩形ABCD中，AB
2，
BC
3，
沿BD将矩形
ABCD折叠，
连接AC，所得三棱锥A
例7
（1）在矩形ABCD中，AB4，BC
3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，
的外接球的表面积为
BCD
P
解析：
（2）BD的中点是球心O，2RBD13，S4R213；类型八、锥体的内切球问题
1．题设：
如图14，三棱锥PABC上正三棱锥，求其外接球的半径。
第一步：
先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心；
1
第二步：
求DH1BD，POPHr，PD是侧面ABP的高；
3
第三步：
由POE相似于PDH，建立等式：
OEPO，解出r
DHPD
2．题设：
如图15，四棱锥P
ABC上正四棱锥，求其外接球的半径
第一步：
先现出内切球的截面图，
P,O,H三点共线；
第二步：
求
1
FHBC，
2
PO
PHr，PF是侧面
PCD的高；
第三步：
由
POG相似于
PFH
，建立等式：
OG
PO
，解出
HF
PF
D
图15
3．题设：
三棱锥PABC是任意三棱锥，求其的内切球半径
方法：
等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：
先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：
设内切球的半径为r，建立等式：
VPABC
ABCVO
PAB
PACVOPBC
VPABC
1
SABC
3ABC
1
SPAB
3PAB
1
rSPAC
3PAC
1
rSPBC
3PBC
1
（SABC
3ABC
SPAB
SPACSPBC）r
第三步：
解出
3VPABC
SOABCSOPABSOPACSOPBC
习题：
1．若三棱锥
A.3解：
【A】（2R）2416166，R3
【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】
ABC的三条侧棱两两垂直，
B.6C.36
且SA2，
D.9
SBSC
4，则该三棱锥的外接球半径为（
2．三棱锥SABC中，侧棱SA平面ABC，底面ABC是边长为3的正三角形，SA23，则该三
3
解析：
2r
3432
32，（2R）241216，R24，R2，外接球体积8
sin6033
棱锥的外接球体积等于
32
【外心法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】
3．正三棱锥SABC中，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于.
解析：
ABC外接圆的半径为
，三棱锥SABC的直径为2R
2
4
，外接球半径
3
R3，
sin60
或R2
（R3）21，
R
2，外接球体积V
3
4
R3
4
8
323，
3
3
33
27
4．三棱锥PABC中，
平面
PAC平面ABC，
△
PAC
边长为2的正三角形，ABBC
，则三棱锥
PABC外接球的半径为.
解析：
PAC的外接圆是大圆，
2R
2
4，
R
2，
sin60
3，
3，
5．三棱锥PABC中，平面
PAC
平面
ABC，
AC
2，
PAPC
3，
AB
BC，则三棱锥
PABC外接球的半径为
22
PA2PC2
AC2
99
47，
2
72
162
，sin
42
解析：
sin
P
1（）2
P，
cosP
2PAPC
23
39
9
81
9
2992，R92
42224R8
9
BC，则三棱锥PABC
6．三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，AC2，PAPC，AB外接球的半径为.
解：
AC是公共的斜边，AC的中点是球心O，球半径为R1
10
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