32简单的三角恒等变换3.docx
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32简单的三角恒等变换3
3.2简单的三角恒等变换
一、选择题（共20小题；共100分）
1.使函数为奇函数的的一个值是 （）
A.B.C.D.
2.当取得最大值时，的值是（）
A.B.C.D.
3.函数,的最小值为 （）
A.B.C.D.
4.如果函数的图象关于直线对称，那么 （）
A.B.C.D.
5.若函数，则的最大值为 （）
A.B.C.D.
6.已知的最大值是，且，则 （）
A.B.C.或D.或
7.函数的最大值是 （）
A.B.C.D.
8.当时，函数的 （）
A.最大值是，最小值是B.最大值是，最小值是
C.最大值是，最小值是D.最大值是，最小值是
9.函数的最小正周期是 （）
A.B.C.D.
10.要得到函数的图象，可将的图象 （）
A.向右平移个单位B.向右平移个单位
C.向左平移个单位D.向左平移个单位
11.函数的最小正周期为 （）
A.B.C.D.
12.已知，，那么的值为 （）
A.B.C.D.
13.若，，，则 （）
A.B.C.D.
14.函数的最大值为，最小正周期为，则有序数对为 （）
A.B.C.D.
15.若动直线与函数和的图象分别交于两点，则的最大值为 （）
A.B.C.D.
16.若，则 （）
A.B.C.D.
17.已知函数的图象关于直线对称，则实数的值为 （）
A.B.C.D.
18.已知函数的图象的一条对称轴是，则函数的初相是 （）
A.B.C.D.
19.的值域为 （）
A.
B.
C.
D.
20.已知函数（、为常数，，）在处取得最小值，则函数是 （）
A.偶函数且它的图象关于点对称
B.偶函数且它的图象关于点对称
C.奇函数且它的图象关于点对称
D.奇函数且它的图象关于点对称
二、填空题（共20小题；共100分）
21.已知，则的最大值是 ．
22.某城建局欲在一条长为的道路一侧，以道路为斜边修建一个直角三角形人工湖，人工湖的边沿（即两直角边）修建成休闲走廊，则走廊长度的最大值为 ．
23.函数的最大值为 ．
24.已知是的最小内角，则的取值范围是 ．
25.辅助角公式
使成立时， ，其中称为辅助角，它的终边所在象限由 决定．
26.的值为 ．
27. ．
28.函数的最大值为 ，最小值为 ．
29.设向量，，则的取值范围是 ．
30.设当时，函数取得最大值，则 ．
31.关于的方程有解，则实数的取值范围是 ．
32.设，，，则，，大小关系为 ．
33.函数的最小正周期是 ．
34.函数的最大值是 ．
35.在等式的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角是 ．
36.若的图象关于直线对称，则 ．
37.定义行列式运算．将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为 ．
38.已知函数（为常数，）在处取得最小值，则函数 ．
39.设，函数的最小值是，则实数 ．
40.的周期是 ．
三、解答题（共20小题；共260分）
41.设，化简．
42.若，，求的值．
43.已知向量，，．
（1）若，求；
（2）求的最大值．
44.求的值．
45.求的值．
46.将一块圆心角为，半径为的扇形铁片截成一块矩形，如图有两种截法：
让矩形一边在扇形的一条半径上，或让矩形一边与弦平行．请问哪种截法能得到最大面积的矩形，并求出这个最大值．
47.当时，求函数的值域．
48.已知函数．
（1）求的值；
（2）求函数的单调递减区间及对称轴方程．
49.求函数的最大值．
50.已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求使函数取得最大值的的集合．
51.已知函数的图象关于直线对称，求的值．
52.求函数的最大值和最小值．
53.已知函数，．
（1）若，求函数的值；
（2）求函数的值域．
54.已知函数．
（1）求；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
55.已知函数的图象经过点和
（1）求实数的值；
（2）若，求函数的最大值及此时的值．
56.已知函数．
（1）求的值；
（2）求函数的最小正周期和单调递增区间．
57.已知函数的最大值为，其最小正周期为．
（1）求实数与的值；
（2）写出曲线的对称轴方程及其对称中心的坐标．
58.某地有三家工厂，分别位于矩形的顶点、及的中点处，已知，．为了处理三家工厂的污水，现要在矩形区域上（含边界），且与、等距离的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设排污管道、、．设排污管道的总长为．
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设，将表示成的函数关系式；
②设，将表示为的函数关系式．
（2）请你选用
（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道的总长度最短．
59.已知函数的图象是由函数的图象经如下变换得到：
先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度．
（1）求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程；
（2）已知关于的方程在内有两个不同的解，．
①求实数的取值范围；
②证明：
．
60.已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为．
①求函数的解析式；
②证明：
存在无穷多个互不相同的正整数，使得．
答案
第一部分
1.D2.B3.D4.D5.B
6.D7.B8.D9.C10.D
11.D12.A13.A14.B15.B
16.C17.B18.D19.B20.D
第二部分
21.
22.
23.
24.
25.、、点
26.
27.
28.；
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
第三部分
41.因为，
所以，
所以，
原式．
42.．
因为，
所以．
解得或．
因为，
所以．
所以．
故．
43.
（1）由，得
解得．
又由，得．
（2）
当时，的最大值为．
因此，的最大值为．
44.
45.
46.在方案一中，令，则．
在中，，，
所以，．
当，即时，取得最大值．
在方案二中，令，则．
在中，，．
在中，，，．
在中，．
当，即时，取得最大值．
比较两种方案的最大值可知，第二种截法能得到最大面积，最大面积为．
47.，，
所以，，故的值域为．
48.
（1）
．
（2）由得．
所以函数的单调递减区间是．
令得．
所以函数的对称轴方程是．
49.
其中．所以．
50.
（1）
所以．
（2）当取得最大值时，，
有，
即，
因此所求的集合为．
51.方法一：
因为图象关于直线对称，所以当时函数取得最值，即，解得．
方法二：
因为图象关于直线对称，所以当和时函数值相等，即，解得．
52.令，
所以．
所以．
因为，
所以．
所以
所以当时，；
当时，．
53.
（1）因为，，
所以，
（2），
因为，
所以，，
所以函数的值域为．
54.
（1）由．
得．
所以．
（2）因为，
所以，
当时，即时，
函数在区间上的最大值为．
当时，即时，
函数在区间上的最小值为．
55.
（1）由的图象过点和，得
解得．
（2）由
（1），得
由，得
则当，即时，
因此，取得最大值．
56.
（1）因为，
所以
（2）方法一：
因为，
所以
所以周期．
令，解得
所以的单调递增区间为．
方法二：
因为，
所以
所以周期．
令，解得
所以的单调递增区间为．
57.
（1）
由的最小正周期是，得
由的最大值为，得
解得．
综上，，．
（2）由
（1），得
因此，曲线的对称轴方程为
对称中心的坐标为
58.
（1）因为所以在的垂直平分线上，取的中点
又是的中点，所以点在上．
因为，．
①在中，，，，
②因为，所以．
在中，
故．
（2）若选择①，因为，
所以只需求函数的最小值．
那么
解得，取等号时，有最小值，此时
即污水处理厂点的位置在的垂直平分线上距离边处．
若选择②，则得，两边平方，化简得
由得
化得
解得
当时，
59.
（1）将的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）得到的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到图象，故．
从而函数图象的对称轴方程为．
（2）①（其中，）．
依题意，在内有两个不同的解，，当且仅当，故的取值范围是．
②
解法一：
因为，是方程在内的两个不同的解，
所以，．
当时，，即；
当时，，即．
所以．
解法二：
因为，是方程在内的两个不同的解，
所以，．
当时，，即；
当时，，即．
所以．
于是
60.
（1）因为，
所以函数的最小正周期．
（2）①将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，再向下平移个单位长度后得到的图象．
又已知函数的最大值为，
所以，解得．
所以．
②要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，即．
由知，存在，使得．
由正弦函数的性质可知，
当时，均有．
因为的周期为，
所以当时，均有．
因为对任意的整数，，
所以对任意的正整数，都存在正整数，使得．
即存在无穷多个互不相同的正整数，使得．
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