完整版人教版初三数学旋转模型含详细解析.docx

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完整版人教版初三数学旋转模型含详细解析

旋转模型

授课日期

时间

主题

教学内容

1.巩固并掌握旋转的性质；

2.

结合辅助线的构造，更深刻的认识旋转的性质；

1、在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转

2、?

旋转具有以下特征：

1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；

（2）对应点到旋转中心的距离相等；

3）对应角、对应线段相等；（4）图形的形状和大小都不变。

3、旋转的思想：

旋转也是图形的一种基本变换，通过图形旋转变换，从而将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，使问题获得简单的解决，它是一种要的解题方法。

4、旋转不同类型

（一）正三角形类型

在正ABC中，P为ABC内一点，将ABP绕A点按逆时针方向旋转60o，使得AB与AC重合。

经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个P'CP中，此时P'CP也为正三角形。

【例题】如图：

（1-1）：

设P是等边ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，APB的度数是

简解：

在△ABC的外侧，作BAP'CAP,且AP'AP3，连结P'B.

则△BAP'△CAP。

易证△APP‘为正三角形，△PBP'为RT△

APBAPP'P'PB6090150

二）正方形类型

在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ABP绕B点按顺时针方向旋转90o，使得BA与BC重合。

经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的CPP'中，此时CPP'为等腰直角三角形。

例题】如图（2-1）：

P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。

求此正方形ABCD。

简解：

作△AED使DAEBAP,AEAP,连结EP,则△ADE△ABP

同样方法，作△DFC且有△DFC△BPC。

易证△EAP为等腰三角形，又AP

PE2,同理，PF32

EDA

S正方形ABCDSRT△EPFSRT△EPASRT△PFC

三）等腰直角三角形类型

在等腰直角三角形ABC中，

C90o，P为ABC内一点，将APC绕C点按逆时针

方向旋转90o，使得AC与BC重合。

经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个PCP'为等腰直角三角形。

【例题】如图，在ABC中，∠ACB=900，BC=AC，P为ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。

求BPC的度数。

简解：

在RT△ABC的外侧，作BCP'ACP,且CP'CP2，连结P'P，

则△BCP‘△ACP。

易证RT△CPP'为等腰直角三角形，

在△PBP'中，BP'3，BP1，PP'22，由勾股定理的逆定理可知，△P'PB为RT△，P'PB90

BPCCPP'P'PB4590135

典型例题

利用旋转的特征，可巧妙解决很多数学问题，如

一.求线段长.

例1.如图，已知长方形ABCD的周长为20，AB=4，点E在BC上，且AE⊥EF，AE=EF，求CF的长。

【解析】：

将△ABE以点E为旋转中心，顺时针旋转90°，此时点B旋转到点B'处，AE与EF重合，由旋转特征知：

B'E⊥BC，

四边形B'ECF为长方形，∴CE=BF'=AB

∵CF+CE=B'E+CE=BE+EC=BC=6

∴CF=BC-CE=6-4=2

二.求角的大小

【解析】：

因为BCAC,ABCACD60o,BECD

所以以ABC的中心（等边三角形三条中线的交点）O为旋转

中心，将ADC顺时针旋转120o就得到了CEB，

∴∠AME=180°-∠AMC=180°-120°=60°

三.进行几何推理

般可以归结

数学思想是解数学题的精髓和重要的指导方法，在平移和旋转中的应用也相当的广泛，

为两种思想——对称的思想和旋转的思想，具体的分析如下：

例4、如图，正方形ABCD内一点P，∠PAD＝∠PDA＝15°，连结PB、PC，请问：

ΔPBC是等边三角形吗？

为什么？

【分析】：

本题关键是说明∠PCD＝∠PBA＝30°，利用条件可以设想将ΔAPD绕点D逆时针方向旋转90°，而使A与C重合，此时问题得到解决.

【解析】：

将ΔAPD绕点D逆时针旋转90°，得ΔDP'C，再作ΔDP'C关于DC的轴对称图形ΔDQC，得ΔCDQ与ΔADP经过对折后能够重合。

∵PD=QD∴∠PDQ=90°-15°-15°=60°，

∴△PDQ为等边三角形，∴∠PQD=60°.

∵∠DQC∠=APD=180°-15°-15°=150°，

∴∠PQC=360°-60°-150°=150°=∠DQC，,

∵PQ=QD=C，Q∴∠PCQ＝∠

DCQ＝15°∴∠PCD=30°∴∠PCB=60

∵PC=BC=CD∴ΔPBC为等边三角形

例5、已知：

如图，E是正方形ABCD的边BC上一点，AF平分∠EAD交CD于点F，说明AE＝BE＋DF的理由。

【分析】：

由于要证的3条线段AB、BE、DF分散在两个三角形中，可利用旋转变换，将其放到一个三角形中。

【解析】：

把△ADF绕点A顺时针旋转90°，则点D转到了点B的位置，点F转到了点F'的位置，根据旋转的性质得：

∠3＝∠1，F'B＝FD，∠AF'B＝∠AFD

∵ABCD为正方形∴∠D＝∠ABF'＝90°

∴F'、B、E、C在一条直线上又∵∠1＋∠2＋∠EAB＝90°

∴∠3＋∠2＋∠EAB＝90°

∴∠F'AE＋∠2＝90°

又∵∠AFD＋∠1＝90°

∴∠AF'B＋∠1＝90°

∵∠1＝∠2

∴∠F'AE＝∠AF'B

∴AE＝F'E＝F'B＋BE＝FD＋BE

例6、如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针旋转90°，使AB与CB重合，BP到达BP'处，AP到达CP'处，若AP的延长线正好经过P'，求∠APB的度数。

分析】：

此题运用旋转将△ABP绕点B顺时针旋转90°，根据旋转性质求出∠BP'C的度数即可。

而∠BP'C又是∠BP'P与∠CP'P之和，可各个击破，从而得解。

解析】：

由旋转的性质及特征可知：

∠PBP'＝90°，AP⊥P'C，BP＝BP'

∴在△BPP'中，1

45

∠BP'P∠BPP'180902

又∵AP的延长线正好经过P'点

∴∠AP'C＝90°

∴∠BP'C＝∠AP'C＋∠BP'P＝135°从而可得∠APB＝135°

例7、已知：

如图，E、F、G分别是正方形ABCD中BC、AB、CD上的点，且AE⊥FG。

求证：

AE＝FG

【分析】：

AE、FG所在位置不易证明相等，可将其一改变位置，如可用平移、旋转将其位置改变后再进行证明。

【证明】：

延长AB至F'使BF'＝BE，连结CF'

∵正方形ABCD

∴AB＝CB，∠ABC＝90°

又∵∠CBF'＝90°，BE＝BF'

∴△ABE绕点B顺时针旋转90°可得△CBF'

∴AE＝CF'，AE⊥CF'

∵FG⊥AE

∴FG∥CF'又∵正方形ABCD，AB∥CD

∴四边形GFF'C为平行四边形

∴CF'＝FG

∴AE＝FG

例8、如图，P是正方形ABCD中AC上一点，PE⊥AD于E，PF⊥CD于F。

求证：

（1）OE⊥OF

（2）OE＝OF

分析】：

充分利用正方形的中心对称性及旋转变换。

证明】：

∵正方形ABCD

∴∠ADC＝90°，∠DAC＝45°∵DE⊥AD，∴∠PED＝90°∵PF⊥CD，∴∠PFD＝90°∴四边形EPFD为矩形

∴PE＝DF又∵∠PED＝90°，∠DAC＝45°

∴∠APE＝45°

∴△AEP中，AE＝PE∴AE＝DF

∵正方形ABCD为中心对称图形

∴△AOD绕点O顺时针旋转90°与△DOC重合∴A与D为对应点

又∵AE＝DF

∴E与F为对应点由旋转变换的特征知：

OE⊥OF，OE＝OF

例9.△ABC为等边三角形，点D、E、F分别在边AC、AB、BC上，且AE＝BF＝CD，连结AF、BD、

CE，分别交于点G、H、M。

（1）求∠1的度数；

（2）判断△GMH的形状。

【分析】：

等边三角形是旋转对称图形，且每个角都是60°，∠1是△BCH的外角，可知∠1＝∠2＋∠3。

而∠2＝∠4

∴∠1＝∠4＋∠3＝60°，从而得证。

【解析】：

（1）∵等边△ABC是旋转对称图形，且AE＝BF＝CD所以，△ABC绕旋转中心旋转120°后，△AEC、△BFA、△CDB能够重合∴∠2＝∠4由∠1＝∠2＋∠3

∴∠1＝∠4＋∠3＝60°

（2）同理可得：

∠GMH＝∠MGH＝60°

∴△GMH是等边三角形

观察思考：

旋转是几何变换中的基本变换，它一般先对给定的图形或其中一部分，通过旋转，改变位置后得新组合，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系，进而揭示条件与结论之间的内在联系，找出证题途径。

2．如图，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不．能．与其自身重合的是（）

Ａ．72oＢ．108oＣ．144oＤ．216o

3．在线段、等腰梯形、平行四边形、矩形、正五角星、圆、正方形和等边三角形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

4.下列命题中的真命题是（）

A．全等的两个图形是中心对称图形.B．关于中心对称的两个图形全等.

C．中心对称图形都是轴对称图形.D．轴对称图形都是中心对称图形.

5.如右图，四边形ABCD是正方形，ΔADE绕着点A旋转900后到达ΔABF的位置，连接

EF，则ΔAEF的形状是（）

A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形

8.如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠D的度数是．

9.

如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90゜后，得到矩形AB′C′D′，如果CD=2DA=2，

度后能与原来图形重合．

三、解答题

11.画出下列图形关于点O的对称图形（10分）

12.如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上（15分）

（1）把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A1B1C1,画出△A1B1C1

（2）以原点O为对称中心，再画出与△A1B1C1关于原点O对称的△A2B2C2

（3）写出点A2B2C2坐标

探究题：

（第17题）

.已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A,点G、E分别在线段AD、AB上.（15分）

若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,连接DG,在旋转的过程中,你能否从线段AE、BE和AB

DG的长始终相等.并以图2为例说明理由.

2.一位同学拿了两块45o三角尺△MNK，△ACB做了一个探究活动：

将△MNK的直角顶点M放

在△ABC的斜边AB的中点处，设ACBC4．（15分）

第19题）

1）如图

（1），两三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为，周长为

2）将图

（1）中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45o，得到图

（2），此时重叠部分的面积为，周长为．

（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图

（1）和图

（2）的图形，如图（3），请你猜想此时重叠部分的面积为．