高三数学 13抽样方法第一课时大纲人教版选修.docx

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高三数学 13抽样方法第一课时大纲人教版选修.docx

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高三数学13抽样方法第一课时大纲人教版选修

2019-2020年高三数学1.3抽样方法（第一课时）大纲人教版选修

课时安排

2课时

从容说课

对于离散型随机变量,确定了它的分布列,就掌握了随机变量取值的统计规律.在实际问题中,我们还常常希望通过数字来反映随机变量的某个方面的特征,最常用的有期望与方差.在向学生介绍这两个概念时,要通过大量的实例来引入,让学生自己活动,通过做数学题来实现建构,即“做中学”.在用实例来激励学生时,既要考虑实际性,也要考虑科学性.例如可以先举这样的实例：

如果某人获得18元奖金的概率为,那么他（她）获得奖金期望为18×=3元.然后抽象为：

如果某人获得s元的概率为p,那么该同学获得奖金的可能值为s·p元,即称为期望值.然后再推广到一般的情形：

一个公司有n个员工,每位员工都想获得奖金,若第k名员工获得sk元奖金的概率为pk,那么这名员工获得奖金的期望为skpk,整个公司员工获得奖金的期望值为.然后再让学生自己编拟一些试题来解决.再引导学生分别研究单点分布、两点分布、二项分布的随机变量的期望.通过这样教学,学生很容易建构一个完整的数学期望的概念及相关计算方法.从而也就很轻松地引导学生解决了离散型随机变量的方差概念.让学生理解离散型随机变量ξ的方差Dξ与标准差σξ的关系及区别.这一节安排两课时为宜.

第一课时

课　　题

§1.2.1　离散型随机变量的期望

教学目标

一、教学知识点

1.离散型随机变量的数学期望（Eξ）的概念.

2.离散型随机变量η=aξ+b（其中ξ为随机变量）的数学期望公式E（aξ+b）=aEξ+b的推导.

3.服从二项分布的离散型随机变量ξ的数学期望（ξ~B（n,p））,Eξ=np.

二、能力训练要求

1.会根据离散型随机变量的分布列求出数学期望值Eξ.

2.会求η=aξ+b及满足二项分布的离散型随机变量的数学期望值.

3.加强学生的猜想与证明的训练.运用数学期望值解决实际问题.

三、德育渗透目标

1.培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际综合应用能力.

2.培养学生收集处理信息的能力,并能根据处理结果作出合理建议.

3.鼓励学生对一些数学结论作出猜想,并给出证明,培养学生敢于独立思考、勇于创新的科学精神,培养学生的数学人文价值观.

教学重点

离散型随机变量的期望是随机变量的重要特征数（或数字特征）,是对随机变量的一种简明的描写.随机变量的分布列完全决定了随机变量的取值规律,但是往往不能明显而集中地表现随机变量的某些特点,如它取值的平均水平、集中位置、稳定与波动状况、集中与离散程度等,在随机变量的特征数中数学期望是重要特征数之一.

教学难点

离散型随机变量的期望Eξ的定义引入及计算公式的给出,由特殊到一般的认识过程学生不是很容易能接受的,要会区分随机变量所取的不同的值,可能是有限的,也可能是无限的,从有限到无限的飞跃是一个难点,也是将来继续学习的一个重要基础.

教学方法

建构主义观点的实践方法.学生在学习新知识时,不是被动地接受,而是积极主动地建构,并且将原来的认知结构进行同化或顺应.鼓励学生积极参与教学活动,敢于独立思考、勇于创新的科学精神,让每个学生都有更好的发展.

教具准备

实物投影仪（或幻灯片、幻灯机）

教学过程

Ⅰ.课题导入

对于离散型随机变量,确定了它的分布列,就掌握了随机变量取值的统计规律,也就是随机变量的分布列和分布函数完全决定了随机变量的取值,但是往往不能明显而集中地表现随机变量的某些特点,例如它取值的平均水平、集中位置等等.在许多场合,特别是在实际应用中,人们往往并不知道随机变量的确切分布,虽然,对于任何随机变量都可以通过试验来近似求出它的概率分布,但这常常很复杂且很不经济,于是就要引入随机变量的一些数字特征,来研究它的有关问题.这就是我们今天要学习的新内容：

离散型随机变量和数学期望（板书课题）.

Ⅱ．讲授新课

1.概念的引入

［师］什么叫离散型随机变量的数学期望？

（板书）现在我们来看问题1：

（幻灯片或实物投影）某射手射击所得环数ξ的分布列如下：

0.02

0.04

0.06

0.09

0.28

0.29

0.22

如何根据已知的分布列估计n次射击的平均环数呢？

请同学思考一下,并给出算法.准备好的同学可以到讲台上讲给大家听.

［生］（走向讲台指着屏幕讲解）根据这个射手射击所得环数ξ的分布列,在n次射击中,如得4环的次数应为P（ξ=4）·n=0.02n次,他所得的4环总数约为4×次数=4×P（ξ=4）×n=4×0.02×n.预计有大约：

4环次数为P（ξ=4）×n=0.02n；5环次数为P（ξ=5）×n=0.04n;6环次数为P（ξ=6）×n=0.06n;…；10环次数为P（ξ=10）×n=0.22n这样n次射击的总环数约为S=4×0.02×n+5×0.04×n+6×0.06×n+…+9×0.29×n+10×0.22×n=（4×0.02+5×0.04+6×0.06+…+9×0.29+10×0.22）×n,

所以,这个人的n次射击中的平均环数约为

=4×0.02+5×0.04+6×0.06+…+9×0.29+10×0.22=8.32.

［师］这个同学计算的完全正确,讲得也很清楚.请问,这名射手的射击水平集中在哪个范围内呢？

［生］从平均环数上看,它是集中在8环左右.

［生］不对,应该是9环左右,这一点可以从分布列上看出.

［师］都有道理,从分布列上看,射中9环的次数多一些,较为集中一些.以后我们还要学习新的知识,再来讨论这个问题.上述这个问题能否推广到任何一射手n次射击的平均环数呢？

［生］可以.对任一射手,若已知其射击所得环数ξ的分布列,即已知各个P（ξ=i）（i=0,1,2,3,…,10）,则可预计他任意n次射击的平均环数是0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+…+10×P（ξ=10）.

［师］正确.对于上述的平均数,我们引入一个数学符号Eξ来表示,称Eξ为此射手射击所得环数ξ的期望.它刻画了随机变量ξ所取的平均值,从一方面反映了射手的射击水平.从上述过程,可以得到离散型随机变量ξ的数学期望的定义了吗？

［生］若离散型随机变量ξ的概率分布为

…

则称Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望或平均数、均值（教师边听边板书,并及时给予提示或补充）.

［师］这就是数学期望的定义.实际上,它是一组数据nx1p1,nx2p2,…,nxnpn的平均数,也是平均值（均值）,数学期望又简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.从这个定义中体现了哪些数学思想和方法？

［生］

（1）直觉类比的方法（从数据的平均数,类比得到随机变量ξ的平均数）；

（2）由特殊到一般的方法（从两个实际问题引申推广到一般的情况）；（3）无限思想的渗透（课本中只是给出了有限个ξ的值,而定义中却写成Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…）.

［生］刚才这位同学提出了从有限到无限的思想方法,课本中确实是写成了x1p1+x2p2+…+xnpn+…,表示是无限个相加,这是怎么加的,如何求它的和呢？

（学生提出问题质疑老师,这一点在以往的常规教学中还是不常见到的,在新的形势下,教师应有为学生学习服务的意识,不单纯是讲授知识,而还应该传道解惑也.教师的工作方法、学识的渊博、热情的态度、人格的力量都能深深地影响学生的一辈子,影响优秀人才的培养.所以,我们的课堂教学应鼓励学生大胆提问,找出问题）

［师］这位同学质疑的问题很好.我们的教科书从有限个累加跳跃到无限个累加,这是教科书给出的离散型随机变量的数学期望的一个不严格的定义.这个定义在离散型随机变量取有限个值时是没有问题的.对于无限个变量时,要有定理来支撑它才行,即用到了级数绝对收敛,此时称的和为ξ的数学期望.注意也有的是不收敛的,是发散的,此时ξ的期望不存在.这一点有兴趣的同学可以看看高等数学中有关级数收敛的问题.

（这样做一是给学生一个答复,另一方面,也为成绩好的同学提出了自学的目标,鼓励他们敢于独立思考的精神,坚持自主学习）

［师］若η=aξ+b,其中a、b为常数,则η也是随机变量,它的数学期望与ξ的数学期望有什么关系呢？

［生］我们可以列出ξ、η的分布列,因为P（η=axi+b）=P（ξ=xi）（i=1,2,3,…）,所以η的分布列为

…

ax1+b

ax2+b

ax3+b

…

axn+b

…

由数学期望的定义,有Eη=（ax1+b）p1+（ax2+b）p2+…+（axn+b）pn+…=a（x1p1+x2p2+…+xnpn+…）+b（p1+p2+…+pn+…）=aEξ+b.（学生在黑板上写出过程）.

即（教师总结板书）.

［师］推导的公式完全正确,以后我们就可以直接使用E（aξ+b）的公式解题.前面我们学过了服从二项分布的随机变量,那么它的期望又如何求呢？

先看一个小问题：

设在一次试验中某事件发生的概率是p,η是一次试验中此事件发生的次数,则Eη为多少呢？

［生］由题意知,P（η=0）=1-p,P（η=1）=p,所以Eη=0·P（η=0）+1·P（η=1）=0×（1-p）+1×p=p.

［师］这个结果就是贝努里分布（即两点分布）的数学期望.利用贝努里分布与二项分布之间的关系,对二项分布的数学期望你们能作出猜想吗？

请同学们讨论,然后再作回答.

（这时教室里讨论、争论的气氛十分活跃,争论的过程就是学生思维的暴露过程,就是学生们思维火花的碰撞,一个个结论即将诞生.这就是我们教学过程中的群体共识效应）.

［生］由贝努里分布的数学期望可知：

在一次试验中此事件平均发生p次,我们可以大胆猜想,在n次独立重复试验中,此事件平均发生np次,即若ξ~B（n,p）,则Eξ=np.

［师］这位同学给出了猜想,是否正确呢？

还必须要进行科学的论证,哪位同学到黑板上写？

其余同学可以在下面写.

［生］（来了两位学生）由n次独立重复试验发生k次的概率公式知,

（令q=1-p）,k=0,1,2,…,n.

由离散型随机变量ξ的期望定义,知

Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2×P（ξ=2）+…+k×P（ξ=k）+…+n×P（ξ=n）=0×+1×+2×+…++…+=p2qn-2+…+

=np（p+q）n-1=np.

补证：

因为

（只有一个同学补证的）.

［师］他们给出的证明是正确的,过程也是十分严密的.特别提出表扬的是,第二位同学对给出了补证,这个结论是我们上学期学习的内容,它是一道习题,在运用它的时候,不能拿过来就用,还必须要严格的论证.所以我们证明了刚才的猜想是正确的.你们应敢于独立思考、大胆猜想、勇于创新,只有这样你们才能实现自己的远大理想,社会才会进步得更快.

2.课本例题

［例1］篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求他罚球1次的得分ξ的期望.

（教学时先请一位同学读题,然后再分析、求解）

［师］这道题是求随机变量（得分ξ）的期望,罚球时只有两种情况,0分和1分.这类问题是什么类型问题,如何求解呢？

［生］利用定义法求解.因为P（ξ=1）=0.7,P（ξ=0）=0.3,所以Eξ=1×P（ξ=1）+0×P（ξ=0）=1×0.7+0×0.3=0.7.

［生］这类题是二项分布的特例,即两点分布问题（贝努里分布）,它的数学期望为p.因为命中才能得1分,而命中的概率是0.7,所以他罚球1次的得分ξ的期望Eξ=0.7.

［师］两位同学说的都是正确的.前一位利用定义法解,这是解题策

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