|f（x）|>g（x）=f（x）>g（x）或f（x）<—g（x）.
3|f（x）|<|g（x）|=[f（x）]2v[g（x）]2=[f（x）+g（x）][f（x）—g（x）]<0.
4对于含有两个或两个以上的绝对值符号的绝对值不等式，利用零点分段讨论法”去绝
对值.如解不等式：
|x+3|—|2x—1|<3x+2.
（2）一元二次不等式的解法
任何一个一元二次不等式，经过不等式的同解变形，都能化为ax2+bx+c>0（a>0）,
或ax2+bx+cv0（a>0）的形式，再根据大于取两边，小于夹中间”得解集（若判别式
△W0则利用配方法求解较方便）.
详细解集见下表:
判别式
△=b2—4ac
△>0
△=0
△<0
二次函数
y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
「分类讨论去幷班
*
（3）分式不等式的解法L转整式不等式
1分类讨论去分母法：
s（^）1/（^）>久町苫仗）1/Wv祕材昭（力
gWV（^）£如翻L/W>
2转整式不等式法：
运用时，必须使不等式一边为0，转化为.wo形式，则:
>0口畑烛心>Q兀讥用卩㈤馆吐0gWUw工0
J澤扶转化为不等式齟弟解
（4）高次不等式的解法iFL
3、简易逻辑知识
逻辑联结词或”且”非”是判断简单合题与复合命题的依据；真值表是由简单命题和真假判断复合命题真假的依据，理解好四种命题的关系，对判断命题的真假有很大帮助；掌握好反证法证明问题的步骤.
J简車命题
（1）命题曳合齡题
1简单命题：
不含逻辑联结词的命题
2复合命题：
由简单命题与逻辑联结词构成的命题
（2）复合命题的真值表
非p形式复合命题的真假可以用下表表示
p
非p
真
假
假
真
p且q形式复合命题的真假可以用下表表示
p
q
p且q
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
p或q形式复合命题的真假可以用下表表示
p
q
p或q
真
真
真I
真
假
真J
假
真
真n
|—假
假
假
（3）四种命题及其相互之间的关系
一个命题与它的逆否命题是等价的.
（4）充分、必要条件的判定
1若p三q且q芦p,则p是q的充分不必要条件；
2若p古q且p，则p是q的必要不充分条件；
3若p=q且q=p，则p是q的充要条件；
4若p右q且q吕p，则p是q的既不充分也不必要条件•
（5）反证法
反证法是命题与其逆否命题等价”这一理论的具体体现，用反证法证明命题的一般步骤是：
1假设命题的结论不成立•
2经过推理论证，得出矛盾•
3由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
4、运用知识、运用方法过程中应注意的主要问题
（1）正确理解集合的概念必须掌握构成集合的两个必要条件：
研究对象是具体的，其属性是确定的.
（2）在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的确定性”在表示一个集合时，要特别注意它的互异性”无序性”
（3）在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.
（4）对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围.用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直
观性帮助思维判断.空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视,如在关系式'_••中，易漏掉三二的情况.
（5）若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.
（6）若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.
（7）解不等式的基本思想是化归、转化，解含有参数的不等式常需要分类讨论，同解变形是解不等式的理论依据.
（8）学习四种命题，关键是理解命题结构及逻辑联结词或”且”、非”的含义,掌握四种命题间的关系是学习充要条件的基础.
（9）基本的逻辑知识是认识问题和研究问题不可缺少的工具，是我们进行学习、
掌握和使用语言的基础，数学又是逻辑性很强的学科，因此，学习一些逻辑知识是非常必要的，通过学习和训练可以规范和提高推理的技能，发展思维能力•重点是正确使用逻辑联结词或”且”非”是否使用得当的依据是真值表，利用真值表再结合四种命题的充要条件可判定复合命题的真假性•注意区别一些易错的逻辑关系，如都是”
都不是”、不都是”
5、在学习和运用集合知识的过程中，须注意的几个问题
目前在中学数学教学中，集合知识主要有两方面的应用.
（1）把集合作为一种数学语言，以表达一定范围或具有某些特性的元素•例如，方程（或方程组）的解集，不等式（或不等式组）的解集，具有某种性质或满足某些条件的数集、点集、向量集（以后会学）等，因集合元素的任意性，使得集合语言有着广泛的应用性.
（2）使用集合间的运算法则或运算思想，解决某些逻辑关系较复杂的问题•例如，运用集合法判断真假复合命题和充要条件，运用集合的交集思想、并集思想、补集思想解题等.
三、学法指导
（1）要注意理解、正确运用集合概念
例1、若P={y|y=X2,x€R},Q={y|y=x2+1,x€R}，则PQQ等于（）
A.PB.QC.；：
D.不知道
分析：
类似上题知P集合是y=x2（x€R）的值域集合，同样Q集合是y=x2+1（x€R）的值域集合，这样PQQ意义就明确了.
解：
事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y=x2+1的值域,
由P={y|y>0},Q={y|y>1}，知庶p,即pnq=q
•••应选B.
例2、若P={y|y=x2,x€R},Q={（x,y）|y=x2,x€R}，则必有（）
A.pnQ=OB.PQ
C.P=QD.P'Q
分析：
有的同学一接触此题马上得到结论P=Q这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x€R相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P集合是函数值域集合，Q集合
是y=x2,x€R上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物.
解：
正确解法应为：
P表示函数y=x2的值域，Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集，因此PnQ&.
•••应选A.
（2）要充分注意集合元素的互异性
集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识.
丄
例3、若A={2,4,a-2a2—a+7},B={1,a+1,aF-2a+2,——（a2-3a—8）,a3+a2+3a+7},且AnB={2,5}，试求实数a的值.
解：
tAnB={2,5},
•-a—2a—a+7=5,
由此求得a=2或a=±1.
至此不少学生认为大功告成，事实上，这只是保证A={2,4,5}，集合B中的元素是
什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查.
当a=1时，a2-2a+2=1,与元素的互异性相违背，故应舍去a=1.
当a=-1时，B={1,0,5,2,4}，与AQB={2,5}相矛盾，故又舍去a=-1.
当a=2时，A={2,4,5},B={1,3,2,5,25}，此时AQB={2,5}，满足题设.
故a=2为所求.
例4、已知集合A={x|x2—3x+2=0},B={x|x2—ax+a—仁0}，且AUB=A，贝Va的值为
分析：
由AUB=^E匸山而推出B有四种可能，进而求出a的值.
解：
tAUB=A
BeA
tA={1,2}，二B==或B={1}或B={2}或B={1,2}.
若B=「，则令△<0得a€二，；
若B={1}，则令△=0得a=2，此时1是方程的根;
若B={2}，则令△=0得a=2，此时2不是方程的根,
•••a€Q；
若B={1,2}则令△>0得a€R且a工2,把x=1代入方程得a€R,把x=2代入方程
综上a的值为2或3.
点评：
本题不能直接写出B={1,a—1}，因为a—1可能等于1,与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况.
（3）要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法
集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视.
反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的•因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去.
例5、设集合A={a|a=n2+1,n€N*}，集合B={b|b=k2—4k+5,k€N*}，试证:
A’B.
证明：
任设a€A,
则a=n2+1=（n+2）2—4（n+2）+5（n€N*）,
•/n€N,「.n+2€N
•••a€B故-"①
显然，八—「1汀，而由
B={b|b=k2—4k+5,k€N}={b|b=（k—2）2+1,k€N}
知1€B,于是A工B②
由①、②得A-B.
点评：
（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系.
（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义.
（3）两个集合A、B相等，之所以不以“A、B所含元素完全相同”来定义，而是用子集来定义，显然比较科学，它具有可操作性，用起来很方便.
（4）要注意空集的特殊性和特殊作用
空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集
合•当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误.
例6、已知集合A={x|x2+（m+2）x+1=0,x€R}，若AAR+=己，则实数m的取值范围是
分析：
从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2+（m+2）x+1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由AQR+=0可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，并解出m的范围.
解：
由AQR+=©又方程x2+（m+2）x+仁0无零根，
所以该方程只有两个负根或无实数根，
1
即
A=［和十2『一4A0,「如‘丿”°或厶=（m+2）2—4<0.
解得m>0或一4—4.
点评：
此题容易发生的错误是由AQR+=°只片面地推出方程只有两个负根（因为两根
之积为1,因为方程无零根），而把A=°漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言.
例7、已知集合A={x|x2—3x—10<0},集合B={x|p+Kx<2—1}.若B—A，求实数p的取值范围.
解：
由x2—3x—10<0得一2欲使B匚A,只须
一毎刀十1吕-址3
匕严105
•••p的取值范围是一3上述解答忽略了“空集是任何集合的子集”这一结论，即时，符合题设.
应有:
①当B工°时，即p+K2p—1
p>2.
由B匚A得：
一2•••2wpw3
②当B=0时，即p+1>2p—1=pv2.
由①、②得：
pw3.
点评：
从以上解答应看到：
解决有关AnB勿、AUB=0
A
B等集合问题易忽视空集
的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.
（5）要注意集合语言与其它数学语言互译的准确性
事实上，各种数学语言形态间的互译，可为我们在更广阔的思维领域里寻找问题的解决途径，因而这种互译是我们在解题过程中常常必须做的事情.
对于用集合语言叙述的问题，求解时往往需要转译成一般的代数语言或几何语言.
解：
集合B表示方程
即方程x2—x—a—2=0②
有等根时a的取值集合.
方程②有等根的条件是厶=（—1）2—4（—a—2）=0,
以上解法对吗？
不难看出，将A译为方程②有等根时a的取值集合是不准确的.
转译时忽视了X2—2工0,即卜卜忑这一隐含条件.
可见，与方程①等价的应是混合组:
4
（I）
-r-df-2=0@
^-2^0③
因此，在讨论方程②有唯一实根时，须照顾到③：
I工卜V.
由于方程①为分式方程，可能有增根,
当条件②的二实根中有一个是方程①的增根』-忑或
时，方程①也只有一
个实根，正确解法是:
2
，适合③；
方程①等价于混合组（I）
9
（1）当②有等根时，同上解得a=—■-，此时
（2）当②有两个不等的实根时，由△>0可得a>—-.
当—忑为①的增根时，由②得
说-迈-
当“忑为①的增根时，由②得
住=忑.
眉=-~r-V2
由
（1）、
（2）得L°
点评：
（1）集合语言转译成其它语言，转译的准确与否直接关系到解题的成功与失败.
（2）集合语言与其它语言转译过程中，根据问题的需要也可能转译成图形语言,利用数形结合解题.根据解题需要，有时也可能将其它语言转译为集合语言.
（6）要注意数形结合解集合问题
集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解.
例9、设A={x|—21},B={x|x2+ax+b<0},已知AUB={x|x>—2},AnB={x|1分析：
可在数轴上画出图形，利用图形分析解答.
解：
如图所示，设想集合B所表示的范围在数轴上移动，
申.一麻莎谿筋瀝
显然当且仅当B覆盖住集合{x|—1vx<3},
才能使AUB={x|x>—2}，且AnB={x|1根据二次不等式与二次方程的关系，
可知一1与3是方程x2+ax+b=0的两根，
a=—（—1+3）=—2，b=（—1）>3=—3.
点评：
类似本题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果.
例10、若关于x的不等式|x+2|—11—x|分析：
可利用补集思想解题，先求不等式|x+2|+|1-x|即对任意实数x，总有|x+1|+|x—2|>a.
aw|x+2|+|1-x|
的最小值.
|x+2|+|l-x|=
由
[-3虑-2
2x41-21
知：
一3<|x+2|+|1-x|<3.
|x+2|—11—x|故|x+2|-11-x|—3.
（7）要注意交集思想、并集思想、补集思想的运用
对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解题时，可调整思路，从问题的反面入手，探求已知与未知的关系，这样能起到反难为易，化隐为显，从而将问题得以解决，这就是正难则反”的解题策略，是补
集思想的具体应用.
有的问题，根据问题具体情况，也可采用交集思想、并集思想去处理.
例11、已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0,x€R}，若APR-^，求实数m的取值范围.
分析：
集合A是方程x2-4mx+2m+6=0①的实数解组成的非空集合,
APR-工二意味着方程①的根有:
（1）两负根,
（2）—负根一零根,
（3）
—负根一正根三种情况，分别求解较麻烦，上述三种情况虽可概括为方程①
的较小根
但在目前的知识范围内求解存在困难,
如果考虑题设APRzJ的反面:
APR-=J,
则可先求方程①的两根xi、X2均非负时m的取值范围•用补集思想求解尤为简便.
解：
设全集U={m|△=（-4m）2-4（2m+6）>0}
若方程x2—4m灶2m^6=0的二根为Xi、X2均非负,
<
则
tn€E/,
3
珂十工2=4胡茫口二>呕±—,
珂七-2^+6>0.
2
因此，｛m|m\三｝关于U补集｛m|m<—1｝即为所求.
点评：
采用“正难则反”的解题策略.具体地说，就是将所研究对象的全体视为全集,求出使问题反面成立的集合A，即便为所求.
例12、命题甲：
方程x2+mx+仁0有两个相异负根；命题乙：
方程4x2+4（m—2）x+1=0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求m的取值范围.
分析：
使命题甲成立的m的集合为A,使命题乙成立的m的集合为B,有且只有一个命题成立是求A^B与［尺貝QB的并集.
解：
使命题甲成立的条件是:
•••集合A={m|m>2}.
使命题乙成立的条件是:
△2=16（m—2）2—16<0,二1vm<3.
集合B={m|1若命题甲、乙有且只有一个成立，则有:
（1）m€AQ5",
（2）m€5虫QB.
[B
若为
（1）,则有：
AQr={m|m>2}Q{m|m<1或m>3}={m|m>3};
若为
（2）,则有：
BQ={m|1综合
（1）、
（2）可知所求m的取值范围是{m|13}.
点评：
（1）本题体现了集合语言、集合思想的重要作用;
（2）用集合语言来表示m的范围既准确又简明;
（3）今后注意结合问题具体情况，运用交集思想、并集思想、补集思想.
高考解析
1、（上海）设ai、3、ci、a2、b2、C2、均为非零实数，不等式aix2+bix+ci>0和a2x2
+b2x+C2>0的解集分别为集合M和N,那么“”是M=N”的什么条件？
分析：
利用二次函数与一元二次不等式的关系•
玉亠5
•••如果--：
--，贝ym=n”,
如果'*则M邛J”,
“一*--”一"M=N”；
反之若M=N=二,即说明二次不等式的解集为空集，与它们的系数比无任何关系，
只要求判别式小于零.因此，M=N”芦玄绻^”，因此既非充分也非必要条件.
答案：
即非充分又非必要条件
2、（高考试题）设a,b是两个实数，集合A={（x,y）|x=n,y=na+b,n€Z},B={（x,y）|x=m,y=3m2+15,m€Z},C={（x,y）|x2+y2<144是xoy平面内的点集，讨论是否存在a与b，使是
AQB^''和（a,b）€C同时成立？
分析：
解决此题的关键是集合语言向非集合数学语言转化，将隐晦的数学含义显露出来.
解法：
假设存在实数a与b,同时满足题设中的两个条件，即有：
从中消去b得a2+（3n2+15-na）2w144,
即:
（1+n2）a2-2n（3n2+15）a+（3n2+15）2—144<0.
此时判别式△=4n2（3n2+15）2—4（1+n2）[（3n2+15）2—144]
=36（—n4+6n2—9）
=—36（n2—3）2
•••n€乙•••△<0,又二次项系数1+n2>0,
•••上述关于a的二次不等式无解，因此同时满足题意中两个条件的实数a与b是
不存在的•
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