阶段性测试题一 集合与常用逻辑用语.docx

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阶段性测试题一集合与常用逻辑用语

阶段性测试题一集合与常用逻辑用语

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题　共50分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（2012·郑州模拟）设集合U＝{1,2,3,4}，M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则∁U（M∩N）＝（　　）

A．{1,2}　　　　　　　　　B．{2,3}

C．{2,4}D．{1,4}

[答案]　D

[解析]　本题主要考查了集合的交集、补集运算．

∵M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，

∴M∩N＝{2,3}，又∵U＝{1,2,3,4}，

∴∁U（M∩N）＝{1,4}．

2．（2012·安庆一模）已知全集U＝Z，集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于（　　）

A．{－1,2}B．{－1,0}

C．{0,1}D．{1,2}

[答案]　A

[解析]　依题意知A＝{0,1}，（∁UA）∩B表示全集U中不在集合A中，但在集合B中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}，选A.

3．（2012·长治模拟）下列命题中为真命题的是（　　）

A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

B．命题“x>1，则x2>1”的否命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若x2>x，则x>1”的逆否命题

[答案]　A

[解析]　A命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题是“若x>|y|则x>y”，不论y是正数、负数、0都成立，所以选A.

4．（2011·新课标文）已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有（　　）

A．2个B．4个

C．6个D．8个

[答案]　B

[解析]　本题考查了集合运算、子集等，含有n个元素的集合的所有子集个数是2n.

∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴M∩N＝{1,3}，

所以P的子集个数为22＝4个．

5．（2012·玉山一模）已知命题p：

所有有理数都是实数，命题q：

正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（　　）

A．（綈p）∨qB．p∧q

C．（綈p）∨（綈q）D．（綈p）∧（綈q）

[答案]　C

[解析]　由题意可知p为真命题，q为假命题，∴綈p为假命题，綈q为真命题，∴（綈p）∨（綈q）为真命题．

6．（2012·广州模拟）设A、B、I均为非空集合，且满足A⊆B⊆I，则下列各式中错误的是（　　）

A．（∁IA）∪B＝IB．（∁IA）∪（∁IB）＝I

C．A∩（∁IB）＝∅D．（∁IA）∩（∁IB）＝∁IB

[答案]　B

[解析]　法一：

∵A、B、I满足A⊆B⊆I，先画出Venn图，

如图所示，根据Venn图可判断出A、C、D都是正确的．

法二：

设非空集合A、B、I分别为A＝{1}，B＝{1,2}，I＝{1,2,3}，且满足A⊆B⊆I.根据设出的三个特殊的集合A、B、I可判断出A、C、D都是正确的．

7．（2012·潍坊一模）已知集合A为数集，则“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

[答案]　B

[解析]　∵“A∩{0,1}＝{0}”得不出“A＝{0}”，而“A＝{0}”能得出“A∩{0,1}＝{0}”

∴“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件．

8．（2011·安徽理）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（　　）

A．所有不能被2整除的整数都是偶数

B．所有能被2整除的整数都不是偶数

C．存在一个不能被2整除的整数都是偶数

D．存在一个能被2整除的整数不是偶数

[答案]　D

[解析]　由于全称命题的否定是特称命题，本题“所有能被2整除的整数都偶数”是全称命题，其否定为特称命题“存在一个能被2整除的整数不是偶数”．

[点评]　本题考查了全称命题和特称命题的关系，属低档题．全称命题和特称命题是课改后新加内容，是高考的热点，但每年的考查难度往往不大．

9．（2012·洛阳第一次调研）已知全集U为实数集R，集合M＝{x|

<0}，N＝{x||x|≤1}，则下图阴影部分表示的集合是（　　）

A．[－1,1]B．（－3,1]

C．（－∞，－3）∪[－1，＋∞）D．（－3，－1）

[答案]　D

[解析]　∵M＝{x|

<0}＝{x|－3

N＝{x||x|≤1}＝{x|－1≤x≤1}，

∴阴影部分表示的集合为M∩（∁UN）＝{x|－3

[点评]　本题考查了考生的读图能力．本题易错点是抓不住阴影部分的特征．

10．（2011·湖北理）若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补，记φ（a，b）＝

－a－b，那么φ（a，b）＝0是a与b互补的（　　）

A．必要而不充分的条件

B．充分而不必要的条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要的条件

[答案]　C

[解析]　若φ（a，b）＝0，则

＝a＋b，

两边平方整理得，ab＝0，且a≥0，b≥0，

∴a，b互补．

若a，b互补，则a≥0，b≥0，且ab＝0，即a＝0，b≥0或b＝0，a≥0，此时都有φ（a，b）＝0.

∴φ（a，b）＝0是a与b互补的充要条件．

第Ⅱ卷（非选择题　共100分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上）

11．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是__________．

[答案]　存在x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3

[解析]　本题考查全称命题的否定，注意量词改变后，把它变为特称命题．

12．（2012·江苏南通一模）设全集U＝R，A＝{x|

<0}，B＝{x|sinx≥

}，则A∩B＝________.

[答案]　[

，2）

[解析]　∵A＝{x|－1

≤x≤2kπ＋

}，∴A∩B＝[

，2）．

13．（2012·武汉模拟）已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面．

命题p：

若α∥β，mα，nβ，则m∥n；

命题q：

若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；

下面的命题中，①p或q；②p且q；③p或綈q；④綈p且q.

真命题的序号是________（写出所有真命题的序号）．

[答案]　①④

[解析]　∵命题p是假命题，命题q是真命题．

∴綈p是真命题，綈q是假命题，

∴p或q是真命题，p且q是假命题，

p或綈q是假命题，綈p且q是真命题．

14．（2012·宜昌一模）命题“∃x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，是“－16≤a≤0”的________条件．

[答案]　充要

[解析]　∵“∃x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，

∴“∀x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题，

∴Δ＝a2＋16a≤0，即－16≤a≤0.故为充要条件．

15．下列各小题中，p是q的充要条件的是________．

①p：

m<－2或m>6；q：

y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点

②p：

＝1；q：

y＝f（x）是偶函数

③p：

cosα＝cosβ；q：

tanα＝tanβ

④p：

A∩B＝A；q：

（∁UB）⊆（∁UA）

[答案]　①④

[解析]　①y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点⇔Δ>0⇔m<－2或m>6，

∴p是q的充要条件．

②y＝f（x）＝x2是偶函数，但

没意义，即

≠1，∴p不是q的充要条件．

③当α＝β＝

时，cosα＝cosβ，但此时tanα，tanβ都没有意义，

∴tanα≠tanβ.∴p不是q的充要条件．

④由韦恩图

，可得A∩B＝A⇔（∁UB）⊆（∁UA）．

三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）（2012·广州模拟）设集合A＝{x||x－a|<2}，B＝{x|

<1}，若A∩B＝A，求实数a的取值范围．

[解析]　A＝{x||x－a|<2}＝{x|a－2

B＝{x|

<1}＝{x|－2

因为A∩B＝A，即A⊆B，

所以

解得0≤a≤1，故实数a的取值范围为[0,1]．

17．（本小题满分12分）

（1）是否存在实数m，使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件？

（2）是否存在实数m，使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件？

[解析]　

（1）欲使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件，则只要{x|x<－

}⊆{x|x<－1或x>3}，则只要－

≤－1，即m≥2，故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件．

（2）欲使2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件，则只要{x|x<－

}⊇{x|x<－1或x>3}，这是不可能的，故不存在实数m，使2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件．

18．（本小题满分12分）（2012·济南模拟）记函数f（x）＝lg（x2－x－2）的定义域为集合A，函数g（x）＝

的定义域为集合B.

（1）求A∩B和A∪B；

（2）若C＝{x|4x＋p<0}，C⊆A，求实数p的取值范围．

[解析]　

（1）依题意，得A＝{x|x2－x－2>0}

＝{x|x<－1或x>2}，

B＝{x|3－|x|≥0}＝{x|－3≤x≤3}，

∴A∩B＝{x|－3≤x<－1或2

（2）由4x＋p<0，得x<－

，

而C⊆A，∴－

≤－1，∴p≥4.

19．（本小题满分12分）π为圆周率，a、b、c、d∈Q，已知命题p：

若aπ＋b＝cπ＋d，则a＝c且b＝d.

（1）写出p的非并判断真假；

（2）写出p的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假；

（3）“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的什么条件？

并证明你的结论．

[解析]　

（1）原命题p的非是：

“若aπ＋b＝cπ＋d，则a≠c或b≠d”，假命题．

（2）逆命题：

“若a＝c且b＝d，则aπ＋b＝cπ＋d”，真命题．

否命题：

若“aπ＋b≠cπ＋d，则a≠c或b≠d”．真命题．

逆否命题：

“若a≠c或b≠d，则aπ＋b≠cπ＋d”真命题．

（3）“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的充要条件．

证明如下：

充分性：

若a＝c，则aπ＝cπ，

∵b＝d，∴aπ＋b＝cπ＋d.

必要性：

∵aπ＋b＝cπ＋d，∴aπ－cπ＝d－b.

即（a－c）π＝d－b.

∵d－b∈Q，∴a－c＝0，d－b＝0.

即a＝c，b＝d，

∴“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的充要条件．

20．（本小题满分13分）（2012·太原模拟）已知命题p：

A＝{x|a－1

B＝{x|x2－4x＋3≥0}．

（1）若A∩B＝∅，A∪B＝R，求实数a；

（2）若非q是p的必要条件，求实数a.

[解析]　由题意得B＝{x|x≥3或x≤1}，

（1）由A∩B＝∅，A∪B＝R，可知A＝∁RB＝（1,3），

∴

，∴a＝2.

（2）∵B＝{x|x≥3或x≤1}，∴非q：

{x|1

∴非q是p的必要条件，即p⇒非q，

∴A⊆∁RB＝（1,3），

∴

∴2≤a≤2，∴a＝2.

21．（本小题满分14分）设命题p：

函数f（x）＝lg（ax2－x＋

a）的定义域为R；命题q：

不等式

<1＋ax对一切正实数均成立，如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．

[解析]　命题p为真命题⇔函数f（x）＝lg（ax2－x＋

a）的定义域为R，

即ax2－x＋

a>0对任意实数x均成立，

得a＝0时，－x>0的解集为R，不可能；

或者

⇔a>2.

所以命题p为真命题⇔a>2.

命题q为真命题⇔

－1

即a>

＝

对一切正实数x均成立，

由于x>0，所以

>1.

所以

＋1>2，所以

<1.

所以，命题q为真命题⇔a≥1.

∵p或q为真命题，p且q为假命题，

∴p、q一真一假．

若p为真命题，q为假命题，无解；

若p为假命题，q为真命题，则1≤a≤2.

∴a的取值范围是[1,2]．