5上海第五届浦东金桥杯中学生.docx

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5上海第五届浦东金桥杯中学生

3．5上海市第五届“浦东金桥杯”中学生

数学知识应用竞赛（1996）

　　上海市第五届“浦东金桥杯”中学生数学知识应用竞赛初赛于1996年6月举行，决赛于1996年9月举行．

　　【初赛试题】

　　初赛试题共有15题，前10题每题满分为10分，后5题每题满分为16分，总共满分为180分．

　　一、某人身高为a，在黄浦江边测得东方明珠塔尖的仰角为α，而在黄浦江的倒影中测得塔尖俯角为β，求东方明珠塔电视塔高h（写出计算公式）．

　　如果具体测得α＝75.5°，β＝75.6°，α＝1.77米，那么塔高是多少米（保留一位小数）？

　　二、某股份公司向社会公开发行4170万股股票，共有1652158人申购，每人申购1000股，现由计算机按申购先后次序给每个申购者一个编号，并在公众监督下摇号决定中签号码，申购者的编号末位数和中签号相同者可以购买股票，问应摇出几个不同的一位数，几个不同的二位数……几个不同的七位数？

　　三、A、B两镇相距50公里，A镇位于一直线形河岸边，B镇离河岸BD＝30公里，两镇在此河边C处合设一个水厂取水，如图3－65所示，从水厂C到A镇和B镇水管费用每公里分别为500元和700元，问此水厂应设在何处，才能使水管费用最省，求出水管费用的最小值．

　　四、在长为60cm、宽为40cm的矩形铁皮中要切成长为10.2cm、宽为9.3cm的长方形单件，怎样截法才能使材料的利用率最高，具体画出落料方案图，并求出材料利用率的最大值．

　　五、一块矩形截去1/4圆的均匀的金属片，尺寸如图3－66所示，试确定它的重心位置．

　　六、某学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌，已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10∶7，问30名工人应如何分组（一组制作课桌，另一组制作椅子）能使完成全部任务最快．

　　七、用量球测量锥形套筒零件的上下底的内直径，已知套筒的高为30mm，先用半径r1＝5mm，r2＝15mm两个量球分别放入上、下底量出两端距离L1＝66mm，如图3－67所示．然后将r3＝10mm代替r1，再量出L2＝76.5mm，试求出套筒零件上、下底的内直径（结果保留一位小数）．

　　八、某零件厂需要合金材料圆棒，长度13cm、18cm、25cm三种规格按1∶3∶2配套，现有2m长规格100根棒，问怎样落料使材料利用率最高，最多能裁出几套？

此时材料利用率最大值是多少？

　　九、某食品店每天顾客需求100、150、200、250、300只蛋糕的可能性分别为0.2、0.25、0.3、0.15和0.1，每个蛋糕的进货价为2.5元，销售价为4元，若当天不能售完，剩下的以每只2元的价格处理，问该店每天进货多少只蛋糕为宜（进货量必须是50倍数）？

　　十、一艘货船可装货物500吨，装载体积不能超过200立方，现有6件货物待运，它们需求量、利润列表如下：

　　问如何确定运输方案能获利最高？

　　十一、某工程总费用包括设计费、基建费、装修费和绿化费四个部分，设计方案有三种记为①、②、③；装修与绿化有二种记为（i）、（ii），每种方案可由不同的工程队记为A、B、C承建，它们的价格由下表给出，问如何安排可使总费用最省？

　　十二、有两个投资方案，方案Ⅰ：

投资41万元，每年收益5万元，可持续收益10年；方案Ⅱ：

投资32万元，每年收益3万元，可持续收益14年，试问那个投资方案更好？

　　十三、

（1）为了加速物资流通，现拟从陆家咀隧道出口处到上海第二国际机场沿原有的交通线路铺设一条轻轨线，浦东新区的交通简图如图3－68所示，图中的数字为距离（km）．设计一条最为经济的路线（即求最短路）．

（2）金桥出口加工区正在研究如何进一步加强与新区各主要城镇的信息联络和建立电脑联网，为了降低成本，试设计一个布线方案，既能与各城镇连通（见3－68图），且所花费用最少（已知电脑缆线0.8万元/km）．

　　十四、工艺设计人员用十块边长为a的正三角形，二块边长为a的正五边形，拼成一个封闭的十二面体作为纪念塑像的底座平台，试画出它的立体图、三视图、展开图（画图时，a取2cm），如果底座平台用铝合金制造成实心的实体，以及用1mm厚的合金铁皮制造成空心的几何体，试求用这两种材料制成的平台的重量（用含a表示）．

　　铁皮比重7.2克/cm3，铝合金比重2.7克/cm3．

　　十五、为了检验X射线的杀菌作用，用200千伏的X射线来照射细菌，每次照射6分钟，照射次数记为t，共照射8次，各次照射后所剩细菌数y，按负指数规律减少，统计如下：

　　试问：

（1）如果照射10次，那么细菌数是多少？

（2）如果细菌数控制在4以下，那么至少照几次？

　　【决赛试题】

　　一、在气象台A的正东方向300千米处有一台风中心．该台风中心正以每小时40千米的速度向西北方向移动，离台风中心250千米以内的地方将受其影响．问大约经过多少时间气象台所在地将受到台风影响？

影响的持续时间将是多少？

　　二、股票交易的开盘价是这样决定的：

每天开盘前由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数．然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多．试根据以下数据，确定该种股票的开盘价以及能即时成交的股数．

　　（注：

当卖方意向价低于开盘价以及买方意向价高于开盘价时即可成交）

　　三、水上游乐场的人工瀑布是在离地面10米处建造一段水平的水槽．在水槽的末端设置一个坡度为30°，坡长为60厘米的挑水坎．用水泵把水抽入水槽中，冲上挑水坎，最后在空中下落形成美丽的瀑布（见图3－69）．已知槽内水的流速为6米/秒，试分析出槽水流曲线的类型，并计算人工瀑布下端与水槽基底的水平距离S．

　　四、图画挂在墙上，它的下缘在观察者的眼睛上方a米处，而上边缘在b米处，问观察者在离墙多远的地方，才能使视角最大（从而看得最清楚）？

　　五、附表给出五位工人完成五种工作所能取得的效益，试求出分配该五位工人分别担任一项工作的方案，使取得的效益最大．

　　六、如图3－70所示的镀锌铁皮材料ABCD，上沿AD为圆弧，其圆心O在BC上．圆半径为2米，AB、CD均垂直于BC，且BO＝CD＝1m．

　　现要用这材料裁一个矩形做圆柱的侧面，裁一个圆做圆柱的底，做一个有底无盖的圆柱形桶（这里不考虑拚接、裁剪的损耗）．试问怎样落料能使水桶体积最大？

并求出材料的利用率．

　　七、一零件的轮廓由边长为a的正三角形ABC的等距曲线构成，等距为r（如图3－71）．为了用数控机床加工，要求出轮廓线的精确公式．设坐标原点O与三角形的重心重合，x轴与AB平行．试求曲线的

七个工件安排在同一台机床上加工．设各工件的加工时间依次为14，6，24，12，6，18，12（分钟）．该机床一次只能加工一个工件，每一工件加工完毕即可运走投入下一工序．

（1）试安排一个加工次序，使各工件的加工和等待时间之总和最小并说明理由．

（2）若工件6，7必须先于工件2加工，工件1，2，4必须先于工件3加工，工件7必须先于工件4加工，工件3必须先于工件5加工，试找出使各工件的加工和等待时间之总和最短的加工次序．

　　【初赛试题解答要点与参考答案】

　　　　h＝490.1m．

　　二、2个两位数，5个三位数，2个四位数，3个五位数，9个六位数，1个七位数．

　　三、水厂设在离A镇9.4公里处，可使水管费用最省，水管费用最少值为34700元．

　　四、可截24块，落料图略，利用率为94.86％．

　　五、重心位置：

距60一边为17.8；距50一边为13.4．

　　六、用17名工人制椅、13名工人制课桌可使全部任务完成最快．

　　七、上、下底内径分别为5.8、18.2．

　　八、12根截13cm、18cm规格；42根截25cm规格；

　　45根截18cm规格；1根截13cm×2，18cm×3，25cm×4，这样共可配170套，最高利用率为99.45％．

　　九、

　　进货量为200只或250只，期望收益值最大为235元．

　　十、装载2、3、5号货物可获利最大为210万元．

　　十一、采用方案③由C工程队施工，按装修与绿化，总费用为7百万元．

　　十二、方案Ⅰ：

投资收益率r1＝0.0378．

　　方案Ⅱ：

投资收益率r2＝0.0385，因此方案Ⅱ比较好．

　　十三、1．陆家咀→洋泾→金桥→合庆→蔡路→机场，距离为28.3公里．

　　2．各城镇连通图：

如下图所示：

　　各边之和所需电缆线的长为84.8km．

　　最少费用＝84.8×0.8＝67.84万元．

　　十四、三视图、立体图、展开图，如图3—72所示．

　　h＝0.85a，V＝1.6a3，S表＝7.8a2．

　　w1＝1.6a3×2.7＝4.3a3克．

　　w2＝7.8a2×0.1×7.2＝5.6a2克．

　　十五、y＝ae－kt＝547.028e－0.4533e．

（1）f（10）＝5.88≈6．细菌个数是6．

（2）f（11）＝3.7≈4．至少照11次控制细菌个数4以下．

　　【决赛试题解答要点与参考答案】

　　一、以气象台A为坐标原点，正东方向为x轴正向建立平面直角坐标系，则台风中心B坐标参数方程为

　　时气象台将受到台风的影响．解此不等式，得

　　即1.99≤t≤8.61．

　　约经过2小时后，气象台所在地将开始受到台风的影响，持续时间大约7小时．

　　二、

　　可确定开盘价为2.20，可能成交股数为600．

　　三、以挑水坎末端A为坐标原点，以水平方向和垂直方向分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系．水离开A点时的速度Vt可由下式求得．

　　方向沿挑水坎方向．设当时间t＝0时，某个水质点D在A处，则当时间为t时，D点坐标满足方程

　　得人工瀑布下端与水槽基底的水平距离S＝8.3米．

　　四、由题意，观察者的视角θ＝∠BPA＝∠BPH－∠APH．显然0＜θ＜90°，故

　　tgθ＝tg（∠BPH－∠APH）

　　五、首先取附表中每一列之最大值，如下页表所示．表中有“*”号的数字为所在列蝗最大值，显然．这些有“*”号的数字和（最后一列有两个带“*”号的数字，求和时取一个）是进行五项工作的最大效益．但

　　不满足每人一项工作的要求．以此表为基础进行调整，使调整后满足每人一项工作的要求，且与上表的差值最小．容易验证下表所示为调整后的最佳方案．

　　即最佳方案为A→4（A做第四项工作），B→2，C→1，D→3，E→5．

　　六、根据经验可按下图所示裁剪矩形与圆．第一种方法：

以BE为圆柱底周长进行裁剪．此时应满足

　　可见按第一种方法进行裁剪所得圆柱之体积最大．裁BE＝2.07，EG＝1.69的矩形．剩下材料裁半径为0.33的圆．得到的圆柱体积为0.58m3．

　　七、弧段LM由直线部分LN与圆弧NM构成．圆弧NM的表示式为

　　八、

（1）因为加工和等待时间的总和为T＝∑（8－i）Ti，其中Ti为安排在第i位加工的工件的加工时间．因此使其总和最小的加工顺序应是

2→5→4→7→1→6→3

　　其中2和5，4和7的位置可以对调．

（2）根据给出的条件可画出下面的网络：

　　据此网络图，可先对工件1，2，4，6，7进行排序．首先，4，2，7，6这四个工件可有以下几种排序法：

　　6→7→4→2，7→6→4→2，7→4→6→2，6→7→2→4，7→6→2→4．

　　由于t6＝18＞t7＝12，6→7→4→2和6→7→2→4两种情况可不考虑．又因t4＝12＞t2＝6，

7→6→4→2情况也可不考虑．这样就剩下以下两种情况：

　　7→4→6→2，7→6→2→4．

　　再考虑工件1的位置．对7→4→6→2情况，可有以下几种情形：

　　（a）1→7→4→6→2，（b）7→1→4→6→2，（c）7→4→1→6→2，（d）7→4→6→1→2，

（e）7→4→6→2→1．由于t1＝14＞t7＝12，t1＝14＞t4＝12知（b）优于（a），（c）优于（b）；又由于t1＝14＞t2＝6，可知（e）优于（d）．比较（e）与（c）两种情况下的等待与加工的总耗时：

（e）5t7＋4t4＋3t6＋2t2＋t1，（c）5t7＋4t4＋3t1＋2t6＋t2，可知（e）优于（c）也就是说情形7→4→6→2→1→3→5耗时最少．同理可判定情形7→4→6→2→1→3→5耗时也最少．最少的耗时为

　　T＝7t7＋6t4＋5t6＋4t2＋3t1＋2t3＋t5＝366（分钟）．