223矩形的判定常考题含有详细的解析.docx

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223矩形的判定常考题含有详细的解析

22.3矩形的判定常考题1

一、选择题（共13小题）

1、下列说法错误的是（　　）

A、Rt△ABC中AB=3，BC=4，则AC=5B、极差仅能反映数据的变化范围

C、经过点A（2，3）的双曲线一定经过点B（﹣3，﹣2）D、连接菱形各边中点所得的四边形是矩形

2、（2002•江西）如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是（　　）

A、AB=CDB、AC=BD

C、当AC⊥BD时，它是菱形D、当∠ABC=90°时，它是矩形

3、（2007•连云港）如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（　　）

A、四边形AEDF是平行四边形B、如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形

C、如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形D、如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形

4、（2007•福州）下列命题中，错误的是（　　）

A、矩形的对角线互相平分且相等B、对角线互相垂直的四边形是菱形

C、等腰梯形的两条对角线相等D、等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等

5、（2010•铜仁地区）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（　　）

A、AB∥DCB、AC=BD

C、AC⊥BDD、AB=DC

6、（2010•江津区）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（　　）

A、AB=CDB、AD=BC

C、AB=BCD、AC=BD

7、（2008•深圳）下列命题中错误的是（　　）

A、平行四边形的对边相等B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形

C、矩形的对角线相等D、对角线相等的四边形是矩形

8、（2008•宁夏）平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（　　）

A、AB=BCB、AC=BD

C、AC⊥BDD、AB⊥BD

9、（2007•沈阳）顺次连接菱形的各边中点所得到的四边形是（　　）

A、平行四边形B、菱形

C、矩形D、正方形

10、（2005•扬州）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（　　）

A、测量对角线是否相互平分B、测量两组对边是否分别相等

C、测量一组对角线是否都为直角D、测量其中三角形是否都为直角

11、（2002•天津）已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC一定是（　　）

A、等腰梯形B、正方形

C、菱形D、矩形

12、下列命题中正确的是（　　）

A、对角线互相垂直的四边形是菱形B、对角线相等的四边形是矩形

C、对角线相等且互相垂直的四边形是菱形D、对角线相等的平行四边形是矩形

13、甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测：

检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是（　　）

A、甲量得窗框两组对边分别相等B、乙量得窗框的对角线相等

C、丙量得窗框的一组邻边相等D、丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等

二、填空题（共5小题）

14、用两块完全重合的等腰三角形纸片能拼出什么图形　_________　．

15、（2009•上海）在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，交点为O．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是　_________　．

16、（2009•定西）如图，四边形ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是　_________　．

17、（2008•芜湖）如图，从下列图中选择四个拼图板，可拼成一个矩形，正确的选择方案为　_________　．

（只填写拼图板的代码）

18、（2008•宁德）如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH=3厘米，EF=4厘米，则边AD的长是　_________　厘米．

三、解答题（共12小题）

19、（2003•海南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交BC于D，交AB于点E，F在DE上，并且AF

=CE．

（1）求证：

四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？

请证明你的结论；

（3）四边形ACEF有可能是矩形吗？

为什么？

20、如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于O点（BD＞AC），E、F是BD上的两点．

（1）当点E、F满足条件：

　_________　时，四边形AECF是平行四边形（不必证明）；

（2）若四边形AECF是矩形，那么点E、F的位置应满足什么条件？

并给出证明．

21、（2006•太原）如图所示，在四边形ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=FD．

（1）若四边形AECF是平行四边形，求证：

四边形ABCD是平行四边形；

（2）若四边形AECF是菱形，那么四边形ABCD也是菱形吗？

为什么？

（3）若四边形AECF是矩形，试判断四边形ABCD是否为矩形，不必写理由．

22、（2009•衡阳）如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC和外角的平分线，BE⊥AE．

（1）求证：

DA⊥AE；

（2）试判断AB与DE是否相等？

并证明你的结论．

23、（2008•南京）如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE．

求证：

（1）△ABF≌△DCE；

（2）四边形ABCD是矩形．

24、（2007•荆州）将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1，另一直角边的长为

．

（1）四边形ABCD是平行四边形吗？

说出你的结论和理由：

　_________　．

（2）如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？

说出你的结论和理由：

　_________　．

（3）在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为　_________　时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是　_________　；当点B的移动距离为　_________　时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是　_________　．（图3、图4用于探究）

25、（2006•济宁）直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下：

请你用上面图示的方法，解答下列问题：

（1）对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；

（2）对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．

26、（2006•淮安）如图，AB=CD=ED，AD=EB，BE⊥DE，垂足为E．

（1）求证：

△ABD≌△EDB；

（2）只需添加一个条件，即　_________　等，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．

27、（2006•成都）已知：

如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段

ED的延长线交于点F，连接AE，CF．

（1）求证：

AF=CE；

（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．

28、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，

且AF=BD，连接BF．

（1）求证：

BD=CD；

（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

29、如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE交于点E，四边形OCED是矩形吗？

说说你的理由．

30、如图，平行四边形ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F．

（1）试说明四边形AECF是平行四边形；

（2）若EF与AC垂直，试说明四边形AECF是菱形；

（3）当EF与AC有怎样的数量和位置关系时，四边形AECF是矩形（不必证明）．

答案与评分标准

一、选择题（共13小题）

1、下列说法错误的是（　　）

A、Rt△ABC中AB=3，BC=4，则AC=5B、极差仅能反映数据的变化范围

C、经过点A（2，3）的双曲线一定经过点B（﹣3，﹣2）D、连接菱形各边中点所得的四边形是矩形

考点：

勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的判定；极差。

分析：

分别根据勾股定理，极差，反比例函数图象上点的坐标特征和矩形的判定定理逐一分析解答．

解答：

解：

A、错误，Rt△ABC中知AB与BC的长，但不能确定两边是直角边，故不能确定AC的长；

在Rt△ABC中AB=3，BC=4，但不能确定AB，CD为直角边，故应分情况讨论，

当AB和BC为直角边时，AC=

=

=5；

当BC为斜边，AB为直角边时，AC=

=

=

；

B、正确，极差只指明了测定值的最大离散范围，它能体现一组数据波动的范围；

C、正确，由双曲线的性质可知经过点A（2，3）的双曲线一定经过点B（﹣3，﹣2），都在

的图象上；

D、正确，根据矩形的判定定理可知连接菱形各边中点所得的四边形是矩形．

故选A．

点评：

本题综合考查了勾股定理，极差，反比例函数图象上点的坐标特征和矩形的判定定理，应熟练掌握．

2、（2002•江西）如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是（　　）

A、AB=CDB、AC=BD

C、当AC⊥BD时，它是菱形D、当∠ABC=90°时，它是矩形

考点：

平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定。

分析：

根据平行四边形的性质：

对边平行且相等，对角线互相平分，可知A、C、D正确，B中只要当四边形ABCD是矩形是才能成立．

解答：

解：

A、平行四边形对边相等，故A正确；

B、矩形的对角线才相等，故不对；

C、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故正确；

D、有一个角是90°的平行四边形是矩形．故正确．

故选B．

点评：

主要考查了平行四边形状中的特殊平行四边形的性质．要求熟记这些性质．如菱形中的对角线互相垂直平分和四边相等．

3、（2007•连云港）如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（　　）

A、四边形AEDF是平行四边形B、如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形

C、如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形D、如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形

考点：

菱形的判定；平行四边形的判定；矩形的判定。

分析：

由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；

又有∠BAC=90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形；

如果AD平分∠BAC，那么∠EAD=∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD=∠ADF，

∴∠FAD=∠ADF，

∴AF=FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形；

如果AD⊥BC且AB=AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形．

故以上答案都正确．

解答：

解：

由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；

又有∠BAC=90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A、B正确；

如果AD平分∠BAC，那么∠EAD=∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD=∠ADF，

∴∠FAD=∠ADF，

∴AF=FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，而不一定是矩形．故C错误；

如果AD⊥BC且AB=AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形．故D正确．

故选C．

点评：

本题考查平行四边形、矩形及菱形的判定，具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．

4、（2007•福州）下列命题中，错误的是（　　）

A、矩形的对角线互相平分且相等B、对角线互相垂直的四边形是菱形

C、等腰梯形的两条对角线相等D、等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等

考点：

菱形的判定；等腰三角形的性质；矩形的判定。

分析：

根据矩形、梯形、等腰三角形的性质和菱形的判定，来进行选择．

解答：

解：

因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B不对．

故选B．

点评：

本题主要考查了对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定．

5、（2010•铜仁地区）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（　　）

A、AB∥DCB、AC=BD

C、AC⊥BDD、AB=DC

考点：

矩形的判定。

分析：

根据矩形的判定定理（有一个角为直角的平行四边形是矩形）．先证四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，需要∠EFG=90度．由此推出AC⊥BD．

解答：

解：

依题意得，四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，

连接AC、BD，故EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，

所以四边形EFGH是平行四边形，

要使四边形EFGH为矩形，

根据矩形的判定（有一个角为直角的平行四边形是矩形）

故当AC⊥BD时，∠EFG=∠EHG=90度．四边形EFGH为矩形．

故选C．

点评：

本题考查了矩形的判定定理：

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．

（2）有三个角是直角的四边形是矩形．

（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．难度一般．

6、（2010•江津区）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（　　）

A、AB=CDB、AD=BC

C、AB=BCD、AC=BD

考点：

矩形的判定。

分析：

四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．

解答：

解：

因为四边形ABCD的对角线互相平分，则四边形ABCD为平行四边形，A、B两选项为平行四边形本身具有“对边相等”的性质，C选项添加后ABCD为菱形，运用排除法知D正确．

故选D．

点评：

考查了对四边形性质与判定的综合运用，特殊四边形之间的相互关系是考查重点．

7、（2008•深圳）下列命题中错误的是（　　）

A、平行四边形的对边相等B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形

C、矩形的对角线相等D、对角线相等的四边形是矩形

考点：

矩形的判定；平行四边形的性质；平行四边形的判定；矩形的性质。

分析：

根据平行四边形和矩形的性质和判定进行判定．

解答：

解：

根据平行四边形和矩形的性质和判定可知：

选项A、B、C均正确．D中说法应为：

对角线相等且互相平分的四边形是矩形．

故选D．

点评：

本题利用了平行四边形和矩形的性质和判定方法求解．

8、（2008•宁夏）平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（　　）

A、AB=BCB、AC=BD

C、AC⊥BDD、AB⊥BD

考点：

矩形的判定；平行四边形的性质。

专题：

证明题。

分析：

根据对角线相等的平行四边形是矩形判断．

解答：

解：

A、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；

B、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；

C、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；

D、无法判断．

故选B．

点评：

本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．

9、（2007•沈阳）顺次连接菱形的各边中点所得到的四边形是（　　）

A、平行四边形B、菱形

C、矩形D、正方形

考点：

矩形的判定。

分析：

本题画出辅助线，连接AC、BD，证明连接菱形的各边中点所得到的是平行四边形，再证平行四边形的一个角为直角即可．

解答：

解：

如图，连接AC、BD，

∵四边形ABCD为菱形，E、F、H、G为菱形边上的中点，

∴EH∥FG，EF∥HD，

∴四边形EHGF为平行四边形．

根据菱形的性质可得菱形的对角线互相垂直，

故∠EFG=∠AOD=90°

所以四边形EHGF为矩形．

故选C．

点评：

本题考查的是矩形的判定定理以及菱形的判定．考生应熟记书本上的内容，难度一般．

10、（2005•扬州）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（　　）

A、测量对角线是否相互平分B、测量两组对边是否分别相等

C、测量一组对角线是否都为直角D、测量其中三角形是否都为直角

考点：

矩形的判定。

专题：

方案型。

分析：

根据矩形的判定定理有：

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；

（2）有三个角是直角的四边形是矩形；

（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．

解答：

解：

A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；

B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；

C、一组对角线是否都为直角，不能判定形状；

D、其中三角形是否都为直角，能判定矩形．

故选D．

点评：

本题考查的是矩形的判定定理，难度简单．

11、（2002•天津）已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC一定是（　　）

A、等腰梯形B、正方形

C、菱形D、矩形

考点：

矩形的判定；圆周角定理。

分析：

由直径对的圆周角是直角，则四边形的四角相等，故四边形为矩形．

解答：

解：

∵AB、CD是⊙O的两条直径，

∴四边形的四角是直角，

∴四边形为矩形．

故选D．

点评：

本题利用了直径对的圆周角是直角求解．

12、下列命题中正确的是（　　）

A、对角线互相垂直的四边形是菱形B、对角线相等的四边形是矩形

C、对角线相等且互相垂直的四边形是菱形D、对角线相等的平行四边形是矩形

考点：

矩形的判定；菱形的判定。

专题：

证明题。

分析：

根据矩形的对角线平分相等、菱形的对角线平分垂直的判定定理进行选择即可．

解答：

解：

对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A、C错误；

对角线相等的平行四边形是矩形，故B错误，D正确．

故选D．

点评：

熟练掌握矩形、菱形的判定定理是解答此题的关键．

13、甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测：

检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是（　　）

A、甲量得窗框两组对边分别相等B、乙量得窗框的对角线相等

C、丙量得窗框的一组邻边相等D、丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等

考点：

矩形的判定。

专题：

应用题。

分析：

矩形的判定定理有：

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；

（2）有三个角是直角的四边形是矩形；

（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断．

解答：

解：

A、两组对边相等可以为正方形，平行四边形，菱形，矩形等，所以甲错误；

B、对角线相等的图形有正方形，菱形，矩形等，所以乙错误；

C、邻边相等的图形有正方形，菱形，所以丙错误；

D、根据矩形的判定（矩形的对角线平分且相等），故D正确．

故选D．

点评：

本题考查的是矩形的判定定理，同时也考到了正方形，菱形，平行四边形等图形的性质，难度一般．

二、填空题（共5小题）

14、用两块完全重合的等腰三角形纸片能拼出什么图形　平行四边形或菱形　．

考点：

菱形的判定；等腰三角形的性质；矩形的判定。

分析：

根据等腰三角形的性质，把两个三角形的腰以及底边分别重合可得出两个不同的图形．

解答：

解：

若让两个等腰三角形的腰重合，则一定能拼成一个平行四边形；

若让两个等腰三角形的底边重合，则一定能拼成一个菱形．故答案为平行四边形或菱形．

点评：

拼四边形的时候，显然只有两种方案．注意此等腰三角形是一般的等腰三角形．

15、（2009•上海）在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，交点为O．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是　AC=BD或有个内角等于90度　．

考点：

矩形的判定。

专题：

开放型。

分析：

因为在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的判定条件，可得在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是一个角是直角或者对角线相等，从而得出答案．

解答：

解：

∵对角线AC与BD互相平分，

∴四边形ABCD是平行四边形，

要使四边形ABCD成为矩形，

需添加一个条件是：

AC=BD或有个内角等于90度．

点评：

矩形的判定定理有：

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；

（2）有三个角是直角的四边形是矩形；

（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．

16、（2009•定西）如图，四边形ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是　AC=BD或∠BAD=90°等（答案不唯一）　．

考点：

矩形的判定。

专题：

开放型。

分析：

根据矩形的判定定理解答，常用的有三种：

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；

（2）有三个角是直角的四边形是矩形；

（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．

解答：

解：

因为四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，

所以四边形ABCD是平行四边形，

要判断平行四边形ABCD是矩形，

根据矩形的判定定理，

故填：

∠BAD=90°或AC=BD等．

点评：

此题是一道几何结论开放题，全面地考查了矩形的判定定理，可以大大激发学生的思考兴趣，拓展学生的思维空间，培养学生求异、求变的创新精神．

17、（2008•芜湖）如图，从下列图中选择四个拼图板，可拼成一个矩形，正确的选择方案为　①②③④　．

（只填写拼图板的代码）

考点：

矩形的判定。

专题：

方案型。

分析：

根据矩形的判定，有三个是直角的四边形是矩形．

解答：

解：

根据矩形的判定，有三个是直角的四边形是矩形，由①②③④刚好能组成一个四个角都是直角的四边形．

故填①②③④．

点评：

本题考查的是矩形的判定，是一道几何结论开放题，可以大大激发学生的思考兴趣，拓展学生的思维空间，培养学生求异、求变的创新精神．

18、（2008•宁德）如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH=3厘米，EF=4厘米，则边AD的长是　5　厘米．

考点：

翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的判定。

专题：

计算题。

分析：

利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形EFGH为矩形，那么由折叠可得HF的长即为边AD的长．

解答：

解：

∵HEM=∠AEH，∠BEF=∠FEM，

∴∠HEF=∠HEM+∠FEM=

×180°=90°，

同理可得：

∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°，

∴四边形EFGH为矩形．

∵AD=AH+HD=HM+MF=HF，HF=

=

=5，

∴AD=5厘米．

故答案为5．

点评：

主要考查学生对翻转、折叠矩形、三角形等知识的掌握情况．错误的主要原因是空间观念以及转化的能力