秋八年级数学上册第13章全等三角形专题训练四等腰三角形性质与判定的三种思想方法练习.docx

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秋八年级数学上册第13章全等三角形专题训练四等腰三角形性质与判定的三种思想方法练习

专题训练（四）　等腰三角形性质与判定的三种思想方法

►　类型一　分类讨论与等腰三角形

1．等腰三角形两边的长分别为5和6，则其周长为________．

2．等腰三角形两边的长分别为4和9，则其周长为________．

3．若等腰三角形的一个内角为70°，则其顶角的度数为________．

4．若等腰三角形的一个角为100°，则其底角的度数为________．

5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则其顶角的度数为________．

图4－ZT－1

6．如图4－ZT－1所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰直角三角形，那么点C的个数是（　　）

A．6B．7C．8D．9

►　类型二　方程思想

7．如图4－ZT－2，点K，B，C分别在GH，GA，KA上，且AB＝AC，BG＝BH，KA＝KG，求∠A的度数．

图4－ZT－2

8．如图4－ZT－3，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE.求∠A的度数．

图4－ZT－3

9．如图4－ZT－4，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点D，AD＝BC.

（1）求∠B的度数；

（2）若点E在BC的延长线上，且CE＝CD，连结AE，求∠CAE的度数．

图4－ZT－4

►　类型三　转化思想

一、运用“三线合一”进行转化

10．如图4－ZT－5，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF.求证：

DE＝DF.

图4－ZT－5

11．如图4－ZT－6，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A的直线EF∥BC，且AE＝AF.连结DE，DF.

求证：

DE＝DF.

图4－ZT－6

12．如图4－ZT－7，△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点，求证：

DG⊥EF.

图4－ZT－7

二、用截长补短法构造等腰三角形进行转化

13．如图4－ZT－8，△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．

图4－ZT－8

14．如图4－ZT－9，△ABC中，∠C＝2∠A，BD平分∠ABC交AC于点D，求证：

AB＝CD＋BC.

图4－ZT－9

15．已知△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC，交BC于点D，E为AB上一点，且∠EDB＝∠B，现有下列两个结论：

①AB＝AD＋CD；②AB＝AC＋CD.

（1）如图4－ZT－10①，若∠C＝90°，则结论________成立；（不证明）

（2）如图②，若∠C＝100°，则结论________成立，请证明．

图4－ZT－10

详解详析

1．16或17

2．22

3．40°或70°

4．40°

5．[答案]45°或135°　[解析]腰上的高分在三角形内和三角形外两种情况．

6．[解析]A　分两种情况讨论：

①AB为等腰直角三角形的底边时，符合条件的点C有2个；②AB为等腰直角三角形的一腰时，符合条件的点C有4个．

7．解：

设∠A＝x.

∵KA＝KG，BG＝BH，∴∠G＝∠H＝∠A＝x，

∴∠ABC＝∠HKC＝2x.

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.

又∠ACB＝∠KCH，

∴∠KCH＝2x.

∵∠H＋∠HKC＋∠KCH＝180°，

∴5x＝180°，∴x＝36°.

即∠A＝36°.

8．解：

∵AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，

∴∠ABC＝∠C＝∠CDB，∠EBD＝∠EDB，∠A＝∠AED.

设∠EBD＝∠EDB＝x，

则∠A＝∠AED＝2x，

∴∠ABC＝∠C＝∠CDB＝3x，

∴∠DBC＝∠ABC－∠EBD＝2x.

∵∠CDB＋∠DBC＋∠C＝180°，

∴3x＋2x＋3x＝180°，∴x＝22.5°，

∴∠A＝45°.

9．解：

（1）连结BD，设∠BAC＝x.

由题意知AD＝BD.

又∵AD＝BC，∴AD＝BD＝BC，

∴∠BAC＝∠ABD＝x，∠BDC＝∠BCD＝2x.

∵AB＝AC，∴∠BCD＝∠ABC＝2x.

∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝x.

∵∠DBC＋∠BCD＋∠BDC＝180°，

∴5x＝180°，∴x＝36°，

∴∠BAC＝36°，∠ABC＝72°.

（2）连结DE.由

（1）可得∠ACB＝72°.

∵CE＝CD，

∴∠CED＝∠CDE＝36°＝∠DBC，

∴BD＝DE＝AD，

∴∠CAE＝

∠CDE＝18°.

10．证明：

连结AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，

∴AD平分∠BAC，

∴∠EAD＝∠FAD.

又∵AE＝AF，AD＝AD，

∴△AED≌△AFD，

∴DE＝DF.

11．证明：

连结AD，易得AD⊥BC.

∵EF∥BC，

∴AD⊥EF.

又∵AE＝AF，

∴AD是EF的垂直平分线，

∴DE＝DF.

12．证明：

连结DE，DF.

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C.

又∵BD＝CF，BE＝CD，

∴△BED≌△CDF，

∴ED＝DF.

∵G是EF的中点，

∴EG＝FG，

∴DG⊥EF.

13．解：

方法一（截长法）：

在CD上取点E，使DE＝BD，连结AE，易得CE＝AB＝AE，

∴∠CAE＝∠C，

∴∠B＝∠AED＝∠C＋∠CAE＝2∠C.

∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAE＋∠CAE＝2（90°－∠AED）＋∠CAE＝2（90°－2∠C）＋∠C＝120°，

∴∠C＝20°.

方法二（补短法）：

延长DB至点F，使BF＝AB，则∠F＝∠FAB，AB＋BD＝DF＝DC.

又∵AD⊥BC，∴AF＝AC，

∴∠C＝∠F＝∠FAB.

又∵∠F＋∠C＋∠FAB＋∠BAC＝180°，

∴∠C＝20°.

14．证明：

方法一（截长法）：

在AB上截取BE＝BC.

∵BD平分∠ABC，

∴∠EBD＝∠CBD.

又∵BD＝BD，BE＝BC，

∴△BED≌△BCD，

∴ED＝CD，∠BED＝∠C.

∵∠C＝2∠A，∠BED＝∠A＋∠ADE，

∴∠A＝∠ADE，

∴AE＝ED＝CD，

∴AB＝AE＋BE＝CD＋BC.

方法二（补短法）：

延长BC至点F，使CF＝CD，连结DF，同方法一可证△BDA≌△BDF.又∵DC＝CF，则AB＝BF＝CD＋BC.

15．解：

（1）②

（2）①

证明：

方法一（截长法）：

∵AC＝BC，∠C＝100°，

∴∠BAC＝∠B＝40°.

∵∠EDB＝∠B，

∴DE＝BE，∠DEA＝2∠B＝80°.

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD＝∠BAD＝20°，

∴∠ADE＝180°－20°－80°＝80°＝∠DEA，

∴AD＝AE.

在AB上截取AM＝AC，连结MD.

易得△CAD≌△MAD.

∴CD＝MD，∠DMA＝∠C＝100°，

∴∠DME＝∠DEM＝80°，

∴DM＝DE，∴CD＝BE，

∴AB＝AE＋BE＝AD＋CD.

方法二（作垂线）：

同方法一可得AD＝AE，BE＝ED.

过点D作DF⊥AB于点F，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，

则∠DGC＝∠DFE＝90°.

又∵AD＝AD，∠CAD＝∠BAD＝20°，

∴△DAG≌△DAF，

∴DG＝DF.

又∵易得∠DCG＝∠DEF＝80°，∠DGC＝∠DFE，

∴△DCG≌△DEF，

∴CD＝ED＝BE，

∴AB＝AE＋BE＝AD＋CD.