1．把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线b，下列说法中不正确的是______．（填序号）
①曲线b仍然是正态曲线；
②曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等；
③以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2；
④以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2.
【解析】 正态曲线向右平移2个单位，σ不发生变化，故③错误．
【答案】 ③
2．关于正态分布N（μ，σ2），下列说法正确的是________．（填序号）
①随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件；
②随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件；
③随机变量落在（－3σ，3σ）之外是一个小概率事件；
④随机变量落在（μ－3σ，μ＋3σ）之外是一个小概率事件．
【解析】 ∵P（μ－3σ＜X＜μ＋3σ）＝0.9974，
∴P（X＞μ＋3σ或X＜μ－3σ）＝1－P（μ－3σ＜X＜μ＋3σ）＝1－0.9974＝0.0026，
∴随机变量落在（μ－3σ，μ＋3σ）之外是一个小概率事件．
【答案】 ④
3．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N（1，σ2）（σ>0）．若X在（0,1）内取值的概率为0.4，则X在（0,2）内取值的概率为________．
【解析】 ∵X服从正态分布（1，σ2），
∴X在（0,1）与（1,2）内取值的概率相同，均为0.4.
∴X在（0,2）内取值的概率为0.4＋0.4＝0.8.
【答案】 0.8
正态分布的概念及正态曲线的性质
【例1】 如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．
【精彩点拨】 给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式．
【解】 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是
，所以μ＝20.
由
＝
，得σ＝
.
于是概率密度函数的解析式是
f（x）＝
·e－
，x∈（－∞，＋∞），
总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝（
）2＝2.
利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ，具体方法如下：
（1）正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.
（2）正态曲线在x＝μ处达到峰值
，由此性质结合图象可求σ.
1．
（1）设两个正态分布N（μ1，σ
）（σ1>0）和N（μ2，σ
）（σ2>0）的密度函数图象如图所示，则有（ ）
A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ2
【解析】 根据正态分布的性质：
对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形状．由题图可得，选A.
【答案】 A
（2）
如图所示是正态分布N（μ，σ
），N（μ，σ
），N（μ，σ
）（σ1，σ2，σ3>0）相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是（ ）
A．σ1>σ2>σ3B．σ3>σ2>σ1
C．σ1>σ3>σ2D．σ2>σ1>σ3
【解析】 由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1>σ2>σ3.
【答案】 A
服从正态分布变量的概率问题
【例2】
（1）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ<4）＝0.8，则P（0<ξ<2）＝（ ）
A．0.6B．0.4
C．0.3D．0.2
（2）在某项测量中，测量结果服从正态分布N（1,4），求正态总体X在（－1,1）内取值的概率．
【精彩点拨】
（1）根据正态曲线的性质对称性进行求解；
（2）题可先求出X在（－1,3）内取值的概率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在（－1,1）内取值的概率就等于在（－1,3）内取值的概率的一半．
【解】
（1）∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），
∴μ＝2，对称轴是x＝2.∵P（ξ<4）＝0.8，
∴P（ξ≥4）＝P（ξ<0）＝0.2，
∴P（0<ξ<4）＝0.6，∴P（0<ξ<2）＝0.3.故选C.
【答案】 C
（2）由题意得μ＝1，σ＝2，
所以P（－1＜X＜3）＝P（1－2＜X＜1＋2）＝0.6826.
又因为正态曲线关于x＝1对称，
所以P（－1＜X＜1）＝P（1＜X＜3）＝
P（－1＜X＜3）＝0.3413.
利用正态分布求概率的两个方法
1．对称法：
由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：
（1）P（X（2）P（X<μ－a）＝P（X>μ＋a）．
2．“3σ”法：
利用X落在区间（μ－σ，μ＋σ），（μ－2σ，μ＋2σ），（μ－3σ，μ＋3σ）内的概率分别是0.6826,0.9544，0.9974求解．
2．设随机变量X～N（2,9），若P（X>c＋1）＝P（X（1）求c的值；
（2）求P（－4【解】
（1）由X～N（2,9）可知，密度函数关于直线x＝2对称（如图所示），
又P（X>c＋1）＝P（X所以c＝2.
（2）P（－4正态分布的实际应用
[探究问题]
1．若某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N（4,0.25），那么该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是什么？
【提示】 零件外直径的均值为μ＝4，标准差σ＝0.5.
2．某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N（4,0.25），若零件的外直径在（3.5,4.5]内的为一等品．试问1000件这种的零件中约有多少件一等品？
【提示】 P（3.5<ε≤4.5）＝P（μ－σ<ε<μ＋σ）＝0.6826，所以1000件产品中大约有1000×0.6826≈683（件）一等品．
3．某厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N（4，0.25）．质检人员从该厂生产的1000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？
【提示】 由于圆柱形零件的外直径ε～N（4,0.25），
由正态分布的特征可知，正态分布N（4,0.25）在区间（4－3×0.5,4＋3×0.5），
即（2.5,5.5）之外取值的概率只有0.003，而5.7∈（2.5,5.5）．
这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的．
【例3】 设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N（110，202），且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格（即90分以上）的人数和130分以上的人数．
【精彩点拨】 将P（X≥90）转化为P（X－μ≥－σ），然后利用对称性及概率和为1，得到2P（X－μ≤－σ）＋0.6826＝1，进而求出P（X≥90）的值，同理可解得P（X≥130）的值．
【解】 μ＝110，σ＝20，P（X≥90）＝P（X－110≥－20）＝P（X－μ≥－σ），
∵P（X－μ≤－σ）＋P（－σ≤X－μ≤σ）＋P（X－μ≥σ）
＝2P（X－μ≤－σ）＋0.6826＝1，
∴P（X－μ≤－σ）＝0.1587，
∴P（X≥90）＝1－P（X－μ≤－σ）＝1－0.1587＝0.8413.
∴54×0.8413≈45（人），即及格人数约为45人．
∵P（X≥130）＝P（X－110≥20）＝P（X－μ≥σ），
∴P（X－μ≤－σ）＋P（－σ≤X－μ≤σ）＋P（X－μ≥σ）
＝0.6826＋2P（X－μ≥σ）＝1，
∴P（X－μ≥σ）＝0.1587，即P（X≥130）＝0.1587.
∴54×0.1587≈9（人），即130分以上的人数约为9人．
1．本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．
2．解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在（μ－σ，μ＋σ），（μ－2σ，μ＋2σ），（μ－3σ，μ＋3σ）三个区间内的概率．在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．
3．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X（单位：
分）近似服从正态分布X～N（50,102），求他在（30,60]分内赶到火车站的概率．
【解】 ∵X～N（50,102），∴μ＝50，σ＝10.
∴P（30＝
P（μ－2σP（μ－σ＝
×0.9544＋
×0.6826＝0.8185.
即他在（30,60]分内赶到火车站的概率是0.8185.
1．正态分布密度函数为f（x）＝
e－
，x∈（－∞，＋∞），则总体的均值和标准差分别是（ ）
A．0和8 B．0和4
C．0和2D．0和
【解析】 由条件可知μ＝0，σ＝2.
【答案】 C
2．如图是当ξ取三个不同值ξ1，ξ2，ξ3的三种正态曲线N（0，σ2）的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是（ ）
A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3
C．σ1>σ2>1>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ3
【解析】 当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f（x）＝
e－
.在x＝0时，取最大值
，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”，于是有0<σ1<σ2＝1<σ3.
【答案】 D
3．若随机变量X～N（μ，σ2），则P（X≤μ）＝________.
【解析】 由于随机变量X～N（μ，σ2），其正态密度曲线关于直线X＝μ对称，故P（X≤μ）＝
.
【答案】
4．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（X<4）＝0.84，则P（X≤0）＝________.
【解析】 由X～N（2，σ2），可知其正态曲线如图所示，对称轴为x＝2，则P（X≤0）＝P（X≥4）＝1－P（X<4）＝1－0.84＝0.16.
【答案】 0.16
5．随机变量ξ服从正态分布N（0,1），如果P（ξ≤1）＝0.8413，求P（－1<ξ≤0）．
【解】 如图所示，因为P（ξ≤1）＝0.8413，所以P（ξ>1）＝1－0.8413＝0.1587，所以P（ξ≤－1）＝0.1587，所以P（－1<ξ≤0）＝0.5－0.1587＝0.3413.
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