听课手册 破解难点优质课 三 最值 范围 证明问题.docx

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听课手册破解难点优质课三最值范围证明问题

听课手册破解难点优质课三最值范围证明问题

破解难点一　最值问题

1.几何转化代数法:

将常见的几何图形所涉及的结论转化为代数问题求解.常见的几何图形所涉及的结论:

（1）两圆相切时半径的关系;

（2）三角形三边的关系式;（3）动点与定点构成线段的和或差的最小值,经常在两点共线的时候取到,注意同侧与异侧;（4）几何法转化所求目标,常用勾股定理、对称、圆锥曲线的定义等.

案例（选取六年全国卷）

关键步

[2013·全国卷Ⅰ]已知圆M:

（x+1）2+y2=1,圆N:

（x-1）2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程;

（2）l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.

……

（2）对于曲线C上任意一点P（x,y）,由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为（2,0）时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为（x-2）2+y2=4.【关键1:

几何转化代数法,结合椭圆定义及圆与圆的位置关系确定半径最长的圆的方程】

若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=2.【关键2:

分类讨论,计算当斜率不存在时的弦长】

若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,

则=,可求得Q（-4,0）,所以可设l:

y=k（x+4）.由l与圆M相切得=1,解得k=±.【关键3:

当斜率存在时,利用直线与圆相切求直线的斜率】

当k=时,将y=x+代入+=1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=,所以|AB|=|x2-x1|=.【关键4:

联立直线方程与椭圆方程求弦长】

当k=-时,由图形的对称性得|AB|=.

综上,|AB|=2或|AB|=.

2.函数最值法:

结合已知的条件,建立某一变量表示的函数,将所求问题转化为函数的最值问题.求函数最值的常用方法:

（1）配方法;

（2）基本不等式法;（3）判别式法;（4）单调性法;（5）三角换元法.

案例（选取六年全国卷）

关键步

[2016·山东卷]已知椭圆C:

+=1（a>b>0）的长轴长为4,焦距为2.

（1）求椭圆C的方程.

（2）过动点M（0,m）（m>0）的直线交x轴于点N,交C于点A,P（P在第一象限）,且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.

（i）设直线PM,QM的斜率分别为k,k',证明为定值;

（ii）求直线AB的斜率的最小值.

……

（ii）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,直线PA的方程为y=kx+m,直线QB的方程为y=-3kx+m.联立整理得（2k2+1）x2+4mkx+2m2-4=0,由x0x1=,可得x1=,所以y1=kx1+m=+m.

同理x2=,y2=+m.【关键1:

设出A,B点的坐标以及PA,PB的方程,分别与椭圆方程联立,用参数表示A,B点的坐标】

所以x2-x1=-=,

y2-y1=+m--m=.

所以kAB===

6k+

.【关键2:

用直线PA的斜率表示直线AB的斜率】

由m>0,x0>0,可知k>0,所以6k+≥2,等号当且仅当k=时取得.

此时=,即m=,符合题意,【关键3:

用基本不等式求最小值】

所以直线AB的斜率的最小值为.

例1设直线l与抛物线x2=2y交于A,B两点,与椭圆+=1交于C,D两点,直线OA,OB,OC,OD（O为坐标原点）的斜率分别为k1,k2,k3,k4,并且OA⊥OB.

（1）是否存在实数t,满足k1+k2=t（k3+k4）?

请说明理由.

（2）求△OCD的面积的最大值.

[总结反思]

（1）解答直线与椭圆的题目时,常把两个曲线的方程联立,消去x（或y）建立一元方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系,将目标量表示为一个（或者多个）变量的函数,然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决;

（2）涉及直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.

变式题[2018·陕西洛南中学模拟]如图P3-1-1,已知椭圆C:

+=1（a>b>0）的离心率为,以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:

（x+2）2+y2=r2（r>0）,设圆T与椭圆C交于点M,N.

（1）求椭圆C的方程;

（2）求·的最小值,并求此时圆T的方程.

图P3-1-1

破解难点二　范围问题

1.几何转化代数法:

若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决.

案例（选取六年全国卷）

关键步

[2016·江苏卷]如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:

x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A（2,4）.

（1）设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;

（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;

（3）设点T（t,0）满足:

存在圆M上的两点P和Q,使得+=,求实数t的取值范围.

……

（3）设P（x1,y1）,Q（x2,y2）.因为A（2,4）,T（t,0）,+=,所以①【关键1:

设出点的坐标,利用向量相等找出关系】

因为点Q在圆M上,所以（x2-6）2+（y2-7）2=25.②

将①代入②,得（x1-t-4）2+（y1-3）2=25.

于是点P（x1,y1）既在圆M上,又在圆[x-（t+4）]2+（y-3）2=25上,

从而圆（x-6）2+（y-7）2=25与圆[x-（t+4）]2+（y-3）2=25有公共点,

所以5-5≤≤5+5,【关键2:

利用两圆有公共点的几何性质列出不等式求解】

解得2-2≤t≤2+2.

因此,实数t的取值范围是[2-2,2+2].

（续表）

案例（选取六年全国卷）

关键步

[2018·浙江卷]如图所示,已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点,抛物线C:

y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.

（1）设AB中点为M,证明:

PM垂直于y轴;

（2）若P是半椭圆x2+=1（x<0）上的动点,求△PAB面积的取值范围.

……

（2）由

（1）可知

所以|PM|=（+）-x0=-3x0,|y1-y2|=2.

因此,△PAB的面积S△PAB=|PM|·|y1-y2|=（-4x0.【关键1:

利用韦达定理,用P点的坐标表示△PAB的面积】

因为+=1（-1≤x0<0）,所以-4x0=-4-4x0+4∈[4,5].

因此,△PAB面积的取值范围是

6,

.【关键2:

根据半椭圆的范围以及二次函数的性质确定面积的取值范围】

2.用代数法求解范围:

代数法求范围问题,常需要根据条件构造关于某个变量的不等式或函数表达式,然后利用求解不等式、基本不等式、函数值域（导数与不等式、导数与方程）等方法求出范围,要特别注意变量的取值范围.

案例（选取六年全国卷）

关键步

[2016·全国卷Ⅱ]已知A是椭圆E:

+=1的左顶点,斜率为k（k>0）的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.

（1）当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;

（2）当2|AM|=|AN|时,证明:

……

（2）证明:

将直线AM的方程y=k（x+2）（k>0）代入+=1,得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0.由x1·（-2）=,得x1=,故|AM|=|x1+2|=.由题设,直线AN的方程为y=-（x+2）.故同理可得|AN|=.【关键1:

根据弦长计算公式,得出|AM|,|AN|】

由2|AM|=|AN|得=,即4k3-6k2+3k-8=0.【关键2:

根据2|AM|=|AN|,得出关于k的方程】

设f（t）=4t3-6t2+3t-8,则k是f（t）的零点.f'（t）=12t2-12t+3=3（2t-1）2≥0,所以f（t）在（0,+∞）上单调递增.又f（）=15-26<0,f

（2）=6>0,因此f（t）在（0,+∞）上有唯一的零点,且零点k在（,2）内,所以

构造函数,利用函数的单调性和函数的零点存在定理判断k所在的区间】

例2

（1）[2018·唐山三模]已知P是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆（x-4）2+y2=1上任意一点,则|PQ|的最小值为（　　）

A.B.3

C.+1D.2-1

（2）已知椭圆的中心在坐标原点,一个焦点坐标是F1（0,-1）,离心率为.

①求椭圆的标准方程;

②过F1作直线交椭圆于A,B两点,F2是椭圆的另一个焦点,求的取值范围.

[总结反思]求解范围问题的常见方法:

（1）利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;

（2）利用已知参数的范围求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系;

（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;

（4）利用基本不等式求出参数的取值范围;

（5）利用函数的值域求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数,通过求这个函数的值域确定目标变量的范围,在建立函数的过程中,要根据题目的其他已知条件,把需要的量都用已选用的变量表示,同时要特别注意变量的取值范围.

变式题已知椭圆C:

+=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A,B,且长轴长为8,T为椭圆上一点,直线TA,TB的斜率之积为-.

（1）求椭圆C的方程;

（2）设O为坐标原点,过点M（0,2）的动直线与椭圆C交于P,Q两点,求·+·的取值范围.

破解难点三　证明问题

代数转化法:

圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明,比如涉及线段或角相等以及位置关系等等（注意一些常用的结论,如等腰三角形两底角相等,两直线斜率之和为0等）.证明时,常把几何量用坐标表示,建立某个变量的函数,用代数方法证明,常将斜率利用整体法求解.

案例（选取六年全国卷）

关键步

[2018·全国卷Ⅰ]设抛物线C:

y2=2x,点A（2,0）,B（-2,0）,过点A的直线l与C交于M,N两点.

（1）当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;

（2）证明:

∠ABM=∠ABN.

……

（2）当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.【关键1:

首先证明当直线l与x轴垂直时,两角相等】

当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k（x-2）（k≠0）,M（x1,y1）,N（x2,y2）,则x1>0,x2>0.

由得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=,y1y2=-4.

【关键2:

当斜率存在时,设出直线方程,并与抛物线方程联立,得到根与系数的关系】

直线BM,BN的斜率之和为kBM+kBN=+=.①

将x1=+2,x2=+2及y1+y2,y1y2的表达式代入①式分子,可得x2y1+x1y2+2（y1+y2）===0,【关键3:

计算两角对应的直线斜率】

所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN.

综上,∠ABM=∠ABN.

（续表）

案例（选取六年全国卷）

关键步

[2018·全国卷Ⅲ]已知斜率为k的直线l与椭圆C:

+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M（1,m）（m>0）.

（1）证明:

k<-;

（2）设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=0,证明:

2||=||+||.

（1）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则+=1,+=1.

两式相减,并由=k得+·k=0.【关键1:

用点差法求直线斜率】

由题设知=1,=m,于是k=-.【关键2:

构造函数】

由题设得0

求函数值域】

（2）由题意得F（1,0）.设P（x3,y3）,则（x3-1,y3）+（x1-1,y1）+（x2-1,y2）=（0,0）.

由

（1）及题设得x3=3-（x1+x2）=1,y3=-（y1+y2）=-2m<0.

又点P在C上,所以m=,从而P

1,-

||=.

于是||===2-.

同理||=2-,所以||+||=4-（x1+x2）=3.【关键4:

用A,B,P的坐标表示向量,,的模】

故2||=||+||.

[2016·全国卷Ⅲ]已知抛物线C:

y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.

（1）若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:

AR∥FQ;

（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.

（1）由题可知F

0

.设l1:

y=a,l2:

y=b,则ab≠0,且A

a

B

b

P

-,a

Q

-,b

R

-,

.

记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-（a+b）y+ab=0.【关键1:

根据条件写出F的坐标,设出l1与l2的方程,并求出AB的方程】

由于F在线段AB上,所以1+ab=0.

记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=====-b=k2,所以AR∥FQ.

【关键2:

通过计算证明AR的斜率k1与FQ的斜率k2相等,进而得到AR∥FQ】

例3[2018·河南商丘二模]已知椭圆C:

+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆上一点P满足|PF1|+|PF2|=4,过点R（4,0）的直线l与椭圆C交于两点M,N.

（1）求椭圆C的方程;

（2）过点M作x轴的垂线,交椭圆C于G,求证:

存在实数λ,使得=λ.

[总结反思]

（1）存在实数λ,使得=λ,就是证明G,F2,N三点共线,也就是证明直线NG过定点（1,0）,所以解答本题的关键是读懂命题并能转化命题.

（2）圆锥曲线中常见的证明问题:

①位置关系方面,如相切、垂直、过定点等;②数量关系方面,如存在定值、恒成立等.在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下,要多采用直接证明法,但有时也会用到反证法.

变式题[2018·江西新余四中适应性考试]已知A（-2,0）,B（2,0）为椭圆C的左、右顶点,F为其右焦点,P是椭圆C上异于A,B的动点,且△APB的面积的最大值为2.

（1）求椭圆C的方程;

（2）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D,当点P在椭圆上运动时,求证:

以BD为直径的圆与直线PF恒相切.

例4[2018·北京西城区二模]已知直线l:

y=kx+1与抛物线C:

y2=4x相切于点P.

（1）求直线l的方程及点P的坐标;

（2）设Q在抛物线C上,A为PQ的中点,过A作y轴的垂线,分别交抛物线C和直线l于M,N,记△PMN的面积为S1,△QAM的面积为S2,证明:

S1=S2.

[总结反思]解决与圆锥曲线有关的证明问题时,主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.常用的证明方法有:

（1）证明A,B,C三点共线,可证kAB=kAC或=λ;

（2）证明直线MA⊥MB,可证kMA=-或·=0;

（3）证明|AB|=|AC|,可证点A在线段BC的垂直平分线上.

完成专题突破训练（三）