高中数学 第3章 空间向量与立体几何 19空间向量的正交分解及其坐标表示课时作业 新人教A版选修2.docx
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高中数学第3章空间向量与立体几何19空间向量的正交分解及其坐标表示课时作业新人教A版选修2
2019-2020年高中数学第3章空间向量与立体几何19空间向量的正交分解及其坐标表示课时作业新人教A版选修2-1
1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A．3a，a－b，a＋2b
B．2b，b－2a，b＋2a
C．a,2b，b－c
D．c，a＋c，a－c
解析：
对于A，有3a＝2（a－b）＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能作为基底；同理可判断B、D错误．
答案：
C
2．如图，在四面体OABC中，
＝a，
＝b，
＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则
＝（ ）
A.
a－
b＋
c
B．－
a＋
b＋
c
C.
a＋
b－
c
D.
a＋
b－
c
解析：
连结ON，
＝
－
＝
（
＋
）－
＝
（b＋c）－
a＝－
a＋
b＋
c.
答案：
B
3．已知O为坐标原点，
在基底{a，b，c}下的坐标为{2,1,3}，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则向量
在基底{i，j，k}下的坐标为（ ）
A．（7,3,12） B．（3,7,12）
C．（2,4,6）D．（8,3,12）
解析：
＝2a＋b＋3c＝8i＋4j＋2j＋3k＋9k－3j＝8i＋3j＋12k.
∴点A的坐标为（8,3,12）．
答案：
D
4．已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，
＝a，
＝c，
＝b，D是四边形OABC的对角线的交点，则（ ）
A.
＝－a＋b＋c
B.
＝－b－
a－
c
C.
＝
a－b－
c
D.
＝
a－b＋
c
解析：
＝
＋
＝－
＋
（
＋
）＝
－
＋
＝
a－b＋
c.
答案：
D
5．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若
＝x
＋y
＋z
，则（x，y，z）为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
如图，由已知
＝
＝
（
＋
）
＝
＝
＋
[（
－
）＋（
－
）]
＝
＋
＋
，
从而x＝y＝z＝
.
答案：
A
6．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为（8,6,4），其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是（ ）
A．（12,14,10）B．（10,12,14）
C．（14,12,10）D．（4,3,2）
解析：
依题意知p＝8a＋6b＋4c＝8（i＋j）＋6（j＋k）＋4（k＋i）＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是（12,14,10）．
答案：
A
7．若A（m＋1，n－1,3），B（2m，n，m－2n），C（m＋3，n－3,9）三点共线，则m＋n＝__________.
解析：
因为
＝（m－1,1，m－2n－3），
＝（2，－2，6），由题意，得
∥
，则
＝
＝
，所以m＝0，n＝0，m＋n＝0.
答案：
0
8．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝__________，y＝________.
解析：
因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有
解得
答案：
1 －1
9．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若
＋λ
＝0（λ∈R），则λ＝________.
解析：
连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上易知EF綊
A1D，
∴
＝
，即
－
＝0.
∴λ＝－
.
答案：
－
10．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，以{
，
，
}为基底，求下列向量的坐标：
（1）
，
，
；
（2）
，
，
.
解：
（1）
＝
＋
＝
＋
＝
＋
＝
，
＝
＋
＝
＋
＝
，
＝
＋
＋
＝
＋
＋
＝
.
（2）
＝
－
＝
－
＝
＋
＝
.
＝
－
＝
－
＝
－
－
＝
，
＝
－
＝
＋
－
＝
－
＝
.
B组 能力提升
11．若向量
，
，
的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量
、
、
成为空间一组基底的关系是（ ）
A.
＝
＋
＋
B.
＝
＋
C.
＝
＋
＋
D.
＝2
－
解析：
对于选项A，由结论
＝x
＋y
＋z
（x＋y＋z＝1）⇔M，A，B，C四点共面知，
，
，
共面；对于B，D选项，易知
、
、
共面，故只有选项C中
、
、
不共面．
答案：
C
12．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2－e3，c＝e1＋e2，d＝e1＋2e2＋3e3（e1、e2、e3为空间一个基底）且d＝xa＋yb＋zc，则x、y、z的值分别为（ ）
A.
，－
，－1
B.
，
，1
C．－
，
，1
D.
，－
，1
解析：
d＝xa＋yb＋zc
＝（x＋y＋z）e1＋（x－y＋z）e2＋（x－y）e3
又∵d＝e1＋2e2＋3e3
∴
解得：
x＝
，y＝－
，z＝－1.
答案：
A
13．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的三等分点，且|NC|＝2|PN|，|AM|＝2|MB|，|PA|＝|AB|＝1，求
的坐标．
解析：
以A为坐标原点．分别以DA，AB，AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
＝
＋
＋
＝－
＋
＋
＝－
＋
＋
（
＋
－
）
＝－
＋
＋
又∵|
|＝|
|＝1，∴
＝
.
14．如图，设四面体OABC的三条棱
＝a，
＝b，
＝c，G为△BCD的重心，以{a，b，c}为空间基底表示向量
，
.
解析：
由G为△BCD的重心易知E为AC的中点，
∴
＝
（
＋
）＝
[（
－
）＋（
－
）]
＝
[（a－b）＋（c－b）]＝
（a＋c－2b），
＝
＋
＝b＋
＝b＋
（a＋c－2b）
＝
（a＋b＋c）．
15．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标是（2,3，－1），求p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标．
解析：
由已知p＝2a＋3b－c，设p＝xa＋y（a＋b）＋z（a＋b＋c）＝（x＋y＋z）a＋（y＋z）b＋zc.
由向量分解的唯一性，
有
解得
∴p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标为（－1,4，－1）．
2019-2020年高中数学第3章空间向量与立体几何2.1直线的方向向量与平面的法向量苏教版选修2-1
课时目标 1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.理解直线的方向向量与平面的法向量在确定直线与平面时的作用．
1．直线的方向向量
直线l上的向量e（e≠0）以及与e共线的非零向量叫做直线l的______________．
2．平面的法向量
如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n__________平面α，记作________，此时把向量n叫做平面α的__________．
3．平面法向量与平面内点之间的关系
在空间直角坐标系内，设平面α经过点P（x0，y0，z0），平面α的法向量n＝（A，B，C），M（x，y，z）为平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式为______________________．
一、填空题
1.已知A（3,5,2），B（-1,2,1），把
按向量a＝（2,1,1）平移后所得的向量是________．
2．从点A（2，－1,7）沿向量a＝（8,9，－12）的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为________．
3．已知a＝（2,4,5），b＝（3，x，y）分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则x＝________；y＝________.
4．设平面α的法向量为（1,2，－2），平面β的法向量为（－2，－4，k），若α∥β，则k＝________.
5．已知l∥α，且l的方向向量为（2，m,1），平面α的法向量为
，则m＝________.
6．若A（－1,0,1），B（1,4,7）在直线l上，则l的一个方向向量
＝
________________________________________________________________________.
7.
如图所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a＝________.
8．已知A（1,0,0），B（0,1,0），C（0,0,1），则平面ABC的单位法向量坐标为________________________．
二、解答题
9．已知平面α经过三点A（1,2,3），B（2,0，－1），C（3，－2，0），试求平面α的一个法向量．
10．△ABC中，A（1，－1,2），B（3,3,1），C（3,1,3），设M（x，y，z）是平面ABC上任一点．
（1）求平面ABC的一个法向量；
（2）求x，y，z满足的关系式．
能力提升
11.
在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2
，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示，求平面CMN的一个法向量．
12.
如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．
求证：
是平面AB1C的法向量．
1．直线的方向向量是一个很重要的概念．由定点A和方向向量a不仅可以确定直线l的位置，还可具体表示出l上的任意点；还可确定直线共线的条件，计算两条直线所成的角等．
2．求解平面的法向量
若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解．
3．由平面的法向量和平面内一点可得到平面上任一点坐标满足的关系式．
§3.2 空间向量的应用
3．2.1 直线的方向向量与平面的法向量
知识梳理
1．方向向量
2．垂直于 n⊥α 法向量
3．A（x－x0）＋B（y－y0）＋C（z－z0）＝0
作业设计
1．（－4，－3，－1）
解析
＝（－4，－3，－1）．平移后向量的模和方向是不改变的，所以平移后的向量和向量
相等．
2．（18,17，－17）
解析 设B（x，y，z），
＝（x－2，y＋1，z－7）＝λ（8,9，－12），λ>0.
故x－2＝8λ，y＋1＝9λ，z－7＝－12λ，又（x－2）2＋（y＋1）2＋（z－7）2＝342，
得（17λ）2＝342，∵λ>0，∴λ＝2.∴x＝18，y＝17，z＝－17，即B（18,17，－17）．
3．6
解析 ∵l1∥l2，∴a∥b，则有2x＝12且2y＝15，
解方程得x＝6，y＝
.
4．4
解析 α∥β（－2，－4，k）＝λ（1,2，－2），
∴λ＝－2，k＝4.
5．－8
解析 （2，m,1）·
＝0，得m＝－8.
6.
或
7．2
解析 以A为原点，AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴正
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