当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.
所以f（x）>1的解集为.
（2）由题设可得，f（x）＝
所以函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B（2a＋1,0），C（a，a＋1），
△ABC的面积为（a＋1）2.
由题设得（a＋1）2>6，故a>2.
所以a的取值范围为（2，＋∞）．
题型二 利用绝对值不等式求最值
例2
（1）对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值；
（2）对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值．
解
（1）∵x，y∈R，
∴|x－1|＋|x|≥|（x－1）－x|＝1，
当且仅当0≤x≤1时等号成立，
∴|y－1|＋|y＋1|≥|（y－1）－（y＋1）|＝2，
当且仅当－1≤y≤1时等号成立，
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3，
当且仅当0≤x≤1，－1≤y≤1同时成立时等号成立．
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.
（2）|x－2y＋1|＝|（x－1）－2（y－1）|≤|x－1|＋|2（y－2）＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
思维升华求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种
（1）利用绝对值的几何意义．
（2）利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||.
（3）利用零点分区间法．
跟踪训练2已知a和b是任意非零实数．
（1）求的最小值；
（2）若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|（|2＋x|＋|2－x|）恒成立，求实数x的取值范围．
解
（1）∵≥＝＝4，
当且仅当（2a＋b）（2a－b）≥0时等号成立，
∴的最小值为4.
（2）若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|（|2＋x|＋|2－x|）恒成立，即|2＋x|＋|2－x|≤恒成立，
故|2＋x|＋|2－x|≤min.
由
（1）可知，的最小值为4，
∴x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解集．
解不等式得－2≤x≤2，
故实数x的取值范围为[－2,2]．
题型三 绝对值不等式的综合应用
例3（2017·全国Ⅲ）已知函数f（x）＝|x＋1|－|x－2|.
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．
解
（1）f（x）＝
当x<－1时，f（x）≥1无解；
当－1≤x≤2时，由f（x）≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；
当x>2时，由f（x）≥1，解得x>2，
所以f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．
（2）由f（x）≥x2－x＋m，得
m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.
而|x＋1|－|x－2|－x2＋x
≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|
＝－2＋≤，
当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.
故m的取值范围为.
思维升华
（1）解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．
（2）数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．
跟踪训练3设函数f（x）＝x＋|x－a|.
（1）当a＝2019时，求函数f（x）的值域；
（2）若g（x）＝|x＋1|，求不等式g（x）－2>x－f（x）恒成立时a的取值范围．
解
（1）由题意得，当a＝2019时，
f（x）＝
因为f（x）在[2019，＋∞）上单调递增，
所以f（x）的值域为[2019，＋∞）．
（2）由g（x）＝|x＋1|，不等式g（x）－2>x－f（x）恒成立，知|x＋1|＋|x－a|>2恒成立，即（|x＋1|＋|x－a|）min>2.
而|x＋1|＋|x－a|≥|（x＋1）－（x－a）|＝|1＋a|，
所以|1＋a|>2，解得a>1或a<－3.
即a的取值范围是（－∞，－3）∪（1，＋∞）．
1．对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围．
解 因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，
所以|3a－3b|≤3，≤，
所以|4a－3b＋2|＝
≤|3a－3b|＋＋≤3＋＋＝6，
即|4a－3b＋2|的最大值为6，
所以m≥|4a－3b＋2|max＝6.
即实数m的取值范围为[6，＋∞）．
2．（2018·河北衡水中学模拟）已知函数f（x）＝|x＋1|－|x－2|，g（x）＝x2－x－a.
（1）当a＝5时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）解集包含[2,3]，求a的取值范围．
解
（1）当a＝5时，不等式f（x）≥g（x）等价于|x＋1|－|x－2|≥x2－x－5，①
当x<－1时，①式化为x2－x－2≤0，无解；当－1≤x≤2时，①式化为x2－3x－4≤0，得－1≤x≤2；
当x>2时，①式化为x2－x－8≤0，得2所以f（x）≥g（x）的解集为.
（2）当x∈[2,3]时，f（x）＝3，
所以f（x）≥g（x）的解集包含[2,3]，等价于x∈[2,3]时g（x）≤3，
又g（x）＝x2－x－a在[2,3]上的最大值为g（3）＝6－a，
所以g（3）≤3，即6－a≤3，得a≥3，
所以a的取值范围为[3，＋∞）．
3．（2018·百校联盟TOP20联考）已知f（x）＝|2x＋a|－|x－2|.
（1）当a＝－2时，求不等式f（x）≤4的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）≥3a2－3|2－x|恒成立，求a的取值范围．
解
（1）当a＝－2时，由f（x）≤4，
得2|x－1|－|x－2|≤4，
当x≤1时，由2（1－x）－（2－x）≤4，得－4≤x≤1；
当1当x≥2时，由2（x－1）－（x－2）≤4，得2≤x≤4.
综上所述，f（x）≤4的解集为[－4,4]．
（2）由不等式f（x）≥3a2－3|2－x|，
得|2x＋a|－|x－2|＋3|x－2|≥3a2，
即|2x＋a|＋|2x－4|≥3a2，
即关于x的不等式|2x＋a|＋|2x－4|≥3a2恒成立，
而|2x＋a|＋|2x－4|≥|（2x＋a）－（2x－4）|＝|a＋4|，
当且仅当（2x＋a）（2x－4）≤0时等号成立，
所以|a＋4|≥3a2，
解得a＋4≥3a2或a＋4≤－3a2，
解得－1≤a≤或a∈∅.
所以a的取值范围是.
4．已知函数f（x）＝|x－1|.
（1）解关于x的不等式f（x）≥1－x2；
（2）若关于x的不等式f（x）解
（1）由题意f（x）≥1－x2可知，|x－1|≥1－x2，
即x－1≥1－x2或x－1≤x2－1，
所以x2＋x－2≥0或x2－x≥0，
即x≤－2或x≥1或x≥1或x≤0，
故原不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}．
（2）f（x）a>x2＋|x－1|－|x＋1|，
由于x2＋|x－1|－|x＋1|＝
所以当x＝1时，x2＋|x－1|－|x＋1|的最小值为－1.
所以实数a的取值范围为（－1，＋∞）．
5．已知函数f（x）＝|x－2|－|2x＋1|.
（1）解不等式f（x）≤2；
（2）若∃b∈R，不等式|a＋b|－|a－b|≥f（x）对∀x∈R恒成立，求a的取值范围．
解
（1）f（x）＝
原不等式等价于
或或
解得x≤－1或－≤x<2或x≥2，
综上所述，不等式的解集是.
（2）∃b∈R，|a＋b|－|a－b|≥f（x）对∀x∈R恒成立等价于
（|a＋b|－|a－b|）max≥f（x）max.
因为|a＋b|－|a－b|≤|（a＋b）＋（a－b）|＝2|a|，
所以|a＋b|－|a－b|的最大值为2|a|；
当x≤－时，f（x）≤；
当－当x≥2时，f（x）≤－5，
所以f（x）max＝，
所以由原不等式恒成立，得2|a|≥，
解得a≥或a≤－.
即a的取值范围是∪.
6．设f（x）＝|x＋1|－|2x－1|.
（1）求不等式f（x）≤x＋2的解集；
（2）若不等式满足f（x）≤|x|（|a－2|＋|a＋1|）对任意实数（x≠0）恒成立，求实数a的取值范围．
解
（1）根据题意可知，原不等式为|x＋1|－|2x－1|≤x＋2，
等价于或或
解得x<－1或－1≤x≤或x>.
综上可得不等式f（x）≤x＋2的解集为R.
（2）不等式f（x）≤|x|（|a－2|＋|a＋1|）等价于≤（|a－2|＋|a＋1|），
因为＝≤＝3，当且仅当≤0时取等号，
因为≤（|a－2|＋|a＋1|），
所以|a－2|＋|a＋1|≥6，
解得a≤－或a≥，
故实数a的取值范围为∪.
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